第9课时 正弦定理、余弦定理的应用举例
[考试要求] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
测量中的几个常用术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做______，目标视线在水平视线下方的叫做______
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做________，方位角θ的范围是___________
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向． ( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. ( )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系． ( )
(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是. ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A．a，c，α
B．b，c，α
C．c，a，β
D．b，α，γ
2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船以18 n mile/h的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10 n mile处有一灯塔，继续行驶20 min后，轮船与灯塔的距离为( )
A．17 n mile B．16 n mile
C．15 n mile D．14 n mile
3．(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A．10 m B．5 m
C．5(－1) m D．5(＋1) m
4．(人教A版必修第二册P52习题6.4T8改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________m.
考点一 测量距离问题
[典例1] (2025·山东青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝8 n mile，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________ n mile.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
距离问题的解题思路
这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．
提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．
[跟进训练]
1．一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，1小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离约为( )
A．10 n mile B．10 n mile
C．20 n mile D．20 n mile
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考点二 测量高度问题
[典例2] (1)(2024·浙江台州期末)如图所示，A，B，P，Q在同一个铅垂面上，在山脚A测得山顶P的仰角∠QAP为60°，∠QAB＝30°，斜坡AB长为m，在B处测得山顶P的仰角∠CBP为α，则山的高度PQ为( )
A． B．
C． D．
(2)(2024·广东湛江二模)为测量某大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得BC＝102 m，∠BOC＝120°，在点B处测得点A的仰角为θ(tan θ＝2)，在点C处测得点A的仰角为45°，则该大厦的高度OA＝________m.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决高度问题的三个注意事项
(1)要理解仰角、俯角的定义．
(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
[跟进训练]
2．(2025·湖南长郡中学模拟)如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0＜a＜3b)，则此山的高度为( )
A． B．
C． D．
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考点三 测量角度问题
[典例3] 一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为12 n mile，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则此时灯塔C位于游轮的( )
A．正西方向 B．南偏西75°方向
C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决角度问题的三个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．
提醒：理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键．
[跟进训练]
3．(2025·广东广州模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 km的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 km/h的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以14 km/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为________ h，角α的正弦值为________.
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第9课时 正弦定理、余弦定理的应用举例
梳理·必备知识
仰角 俯角 方位角 [0，2π)
激活·基本技能
一、(1)√ (2)× (3)√ (4)√
二、1．D
2．D [记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20 min后轮船的位置为C，如图所示．则AB＝10 n mile，AC＝6 n mile，∠CAB＝120°，所以BC2＝102＋62－2×10×6×＝196，所以BC＝14 n mile.故20 min后，轮船与灯塔的距离为14 n mile.故选D.
]
3．D [法一：设AB＝x，则BC＝x.
∴BD＝10＋x，
∴tan ∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1)．
∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m.
法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理，得
AC＝·sin ∠ADC
＝·sin 30°＝ .
∴AB＝AC sin 45°＝5(＋1) m．]
4．200 [在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.
设AB＝h，则BC＝h，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝h.
在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200 m，
由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos ∠CBD，即40 000＝h2＋3h2－2h·h·，
解得h＝200，所以塔高AB＝200 m．]
考点一
典例1 8 [在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝135°＋15°＝150°，∠CAD＝180°－150°－15°＝15°，
所以AD＝CD＝8，
所以AC＝＝8×(n mile)，
在△BCD中，
∠BDC＝15°，∠BCD＝15°＋120°＝135°，∠CBD＝180°－15°－135°＝30°，
由正弦定理得＝，BC＝＝16×sin
＝16×＝16×
＝4(n mile)，
在△ABC中，∠ACB＝120°，
所以AB＝
＝
＝＝
＝＝8(n mile)．]
跟进训练
1．C [由题设知∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，且AB＝40 n mile，在△ABC中，＝，
则BC＝＝＝20(n mile)．
]
考点二
典例2 (1)D (2)204 [(1)如图所示，
因为∠APQ＝30°，∠CPB＝90°－α，
所以∠APB＝30°－90°＋α＝α－60°，
则∠PBA＝180°－30°－α＋60°＝180°＋30°－α，
在△PBA中，由正弦定理得，
＝，
则＝，
得PA＝，
在直角三角形PAQ中，sin 60°＝，
得PQ＝.故选D.
(2)设OA＝h m，因为在点B处测得点A的仰角为θ，所以＝2，所以OB＝ m.
因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以OC＝h m.
在△BOC中，由余弦定理，可得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos ∠BOC，
即1022×7＝h2＋h2＋h2＝h2，解得h＝204.]
跟进训练
2．D [如图，设点P在地面上的正投影为点O，则
∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°，设山高PO＝h，则AO＝h，BO＝h，CO＝，在△AOC中，cos ∠ABO＝－cos ∠CBO，
由余弦定理的推论，
得＝－，
整理得h2＝，所以h＝.
故选D.]
考点三
典例3 C [如图，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得＝，则AD＝＝24.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得＝，则sin ∠CDA＝，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°.
因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，即此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向上．]
跟进训练
3．2 [设红方侦察艇经过x h后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x km，BC＝10x km，∠ABC＝120°.
在△ABC中，根据余弦定理得＝122＋－240×x×cos 120°，解得x＝2，
故AC＝28 km，BC＝20 km.
根据正弦定理得＝，解得sin α＝＝.]
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第四章
三角函数与解三角形
第9课时 正弦定理、余弦定理的应用举例
[考试要求] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
链接教材·夯基固本
测量中的几个常用术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做______，目标视线在水平视线下方的叫做______
仰角
俯角
术语名称 术语意义 图形表示
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做________，方位角θ的范围是___________
方位角
[0，2π)
术语名称 术语意义 图形表示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向． ( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. ( )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系． ( )
(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是. ( )
√
×
√
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A．a，c，α
B．b，c，α
C．c，a，β
D．b，α，γ
2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船以18 n mile/h的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10 n mile处有一灯塔，继续行驶20 min后，轮船与灯塔的距离为( )
A．17 n mile B．16 n mile
C．15 n mile D．14 n mile
√
D [记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20 min后轮船的位置为C，如图所示．则AB＝10 n mile，AC＝6 n mile，∠CAB＝120°，所以BC2＝102＋62－2×10×6×＝196，所以BC＝
14 n mile.故20 min后，轮船与灯塔的距离为14 n mile.
故选D.]
3．(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A．10 m B．5 m
C．5(－1) m D．5(＋1) m
√
D [法一：设AB＝x，则BC＝x.
∴BD＝10＋x，
∴tan ∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1)．
∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m.
法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理，得
AC＝·sin ∠ADC＝·sin 30°＝ .
∴AB＝AC sin 45°＝5(＋1) m．]
4．(人教A版必修第二册P52习题6.4T8改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________m.
200
200 [在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.
设AB＝h，则BC＝h，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝h.
在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200 m，
由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos ∠CBD，即40 000＝h2＋3h2－2h·h·，
解得h＝200，所以塔高AB＝200 m．]
考点一 测量距离问题
[典例1] (2025·山东青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝8 n mile，∠ADB＝135°，
∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，
则A，B两点的距离为________ n mile.
典例精研·核心考点
8
8 [在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝135°＋15°＝150°，∠CAD＝180°－150°－15°＝15°，
所以AD＝CD＝8，
所以AC＝＝8×(n mile)，
在△BCD中，
∠BDC＝15°，∠BCD＝15°＋120°＝135°，∠CBD＝180°－15°－135°＝30°，
由正弦定理得＝，BC＝＝16×sin
＝16×＝16×＝4(n mile)，
在△ABC中，∠ACB＝120°，
所以AB＝
＝
＝＝
＝＝8(n mile)．]
【教用·备选题】
1．(2025·陕西西安模拟)在100 m高的楼顶A处，测得正西方向地面上B，C两点(B，C与楼底在同一水平面上)的俯角分别是75°和15°，则B，C两点之间的距离为( )
A．200 m
B．240 m
C．180 m
D．200 m
√
D [由题意，BC＝
＝100×
＝100×.
而tan 15°tan 75°＝＝＝1，
所以BC＝100×2＝200(m)．故选D.]
2．如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，在四边形ABCD中，测得AB＝50 m，∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°.
(1)试求B，D之间的距离及B，C之间的距离；
(2)求应开凿的隧道CD的长．
[解] (1)在△ABD中，∵∠DAC＝75°，∠CAB＝45°，∴∠DAB＝120°，
又∠DBA＝30°，∴∠ADB＝30°，
∴△ABD为等腰三角形， ∴AB＝AD＝50 m.
由余弦定理可得
BD2＝502＋502－2×50×50cos 120°＝502×3，
∴BD＝50 m.
在△ABC中，∠CAB＝45°，
∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝30°＋75°＝105°，
∴∠ACB＝30°，
由正弦定理可得＝，
∴BC＝50 m.
(2)在△BCD中，∠DBC＝75°，BC＝50 m，BD＝50 m，根据余弦定理可得
CD＝＝25() m．
名师点评 距离问题的解题思路
这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．
提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．
[跟进训练]
1．一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，1小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离约为( )
A．10 n mile B．10 n mile
C．20 n mile D．20 n mile
√
C [由题设知∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，且AB＝40 n mile，在△ABC中，＝，
则BC＝＝＝20(n mile)．]
考点二 测量高度问题
[典例2] (1)(2024·浙江台州期末)如图所示，A，B，P，Q在同一个铅垂面上，在山脚A测得山顶P的仰角∠QAP为60°，∠QAB＝30°，斜坡AB长为m，在B处测得山顶P的仰角∠CBP为α，则山的高度PQ为( )
A． B．
C． D．
√
(2)(2024·广东湛江二模)为测量某大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得BC＝102 m，∠BOC＝120°，在点B处测得点A的仰角为θ(tan θ＝2)，在点C处测得点A的仰角为45°，则该大厦的高度OA＝________m.
204
(1)D (2)204 [(1)如图所示，
因为∠APQ＝30°，∠CPB＝90°－α，
所以∠APB＝30°－90°＋α＝α－60°，
则∠PBA＝180°－30°－α＋60°＝180°＋30°－α，
在△PBA中，由正弦定理得，
＝，
则＝，
得PA＝，
在直角三角形PAQ中，sin 60°＝，
得PQ＝.故选D.
(2)设OA＝h m，因为在点B处测得点A的仰角为θ，所以＝2，所以OB＝ m.
因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以OC＝h m.
在△BOC中，由余弦定理，可得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos ∠BOC，
即1022×7＝h2＋h2＋h2＝h2，解得h＝204.]
名师点评 解决高度问题的三个注意事项
(1)要理解仰角、俯角的定义．
(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
[跟进训练]
2．(2025·湖南长郡中学模拟)如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0＜a＜3b)，则此山的高度为( )
A． B．
C． D．
√
D [如图，设点P在地面上的正投影为点O，则
∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°，设山高PO＝h，则AO＝h，BO＝h，CO＝，在△AOC中，cos ∠ABO＝－cos ∠CBO，
由余弦定理的推论，
得＝－，
整理得h2＝，所以h＝.
故选D.]
考点三 测量角度问题
[典例3] 一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为
12 n mile，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则此时灯塔C位于游轮的( )
A．正西方向 B．南偏西75°方向
C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向
√
C [如图，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得＝，则AD＝＝24.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得＝，则sin ∠CDA＝，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°.
因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，
即此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向上．]
名师点评 解决角度问题的三个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．
提醒：理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键．
[跟进训练]
3．(2025·广东广州模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 km的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 km/h的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以14 km/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为
________ h，角α的正弦值为________.
2
2 [设红方侦察艇经过x h后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x km，BC＝10x km，∠ABC＝120°.
在△ABC中，根据余弦定理得＝122＋－240×x×
cos 120°，解得x＝2，
故AC＝28 km，BC＝20 km.
根据正弦定理得＝，解得sin α
＝＝.]
【教用·备选题】
(1)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos ∠DEF＝
________．
－
(2)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距
40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．
(1)－ (2)
[(1)如图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，则DF＝
＝＝(m)，
DE＝
＝＝100(m)，
EF＝＝＝130(m)，
在△DEF中，由余弦定理的推论得cos ∠DEF
＝＝＝－.
(2)由题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20，
由正弦定理得
sin ∠ACB＝·sin ∠BAC＝，
由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，
故cos ∠ACB＝.
故cos θ＝cos (∠ACB＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACBsin 30°＝.]
一、单项选择题
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
1
题号
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3
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5
6
7
8
9
√
10
课后作业（二十八） 正弦定理、余弦定理的应用举例
A [由正弦定理得＝，∵B＝30°，
∴AB＝＝＝50(m)．]
1
题号
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10
2．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔大约为(≈1.4，≈1.7)( )
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
√
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题号
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B [如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000(m)，
由正弦定理得＝，
则BC＝×sin 15°＝10 500(m)，因为CD⊥AB，所以CD＝BC sin 45°＝10 500()×＝10 500≈7 350(m)，所以山顶的海拔大约为10 000－7 350＝2 650.故选B.]
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题号
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3．(2025·江苏南通模拟)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为
(cos 10°≈0.985)( )
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
√
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题号
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B [如图，
设球的半径为R，则AB＝R，AC＝.
∵BC＝R＝100，
∴R＝＝
＝＝＝＝≈，
∴2R≈≈50.76，故选B.]
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题号
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4．(2024·广东广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度．如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00 m，之后将小镜子前移a＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60 m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是( )
A．27.75 m B．27.25 m
C．26.75 m D．26.25 m
√
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题号
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D [如图，设钟楼的高度为PQ，
由△MKE∽△PQE，可得
EQ＝＝，
由△NTF∽△PQF，可得
FQ＝＝，
故EQ－FQ＝＝a，
故PQ＝＝＝＝26.25(m)．故选D.]
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题号
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二、多项选择题
5．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，
∠ADC＝30°，则( )
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题号
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A．观测点B位于A处的北偏东75°方向
B．当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km
C．当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km
D．该船在由C行驶至A的这5分钟内行驶了 km
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题号
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√
√
√
ACD [A选项中，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，∠CDB＝∠ADC＋∠BDA＝30°＋60°＝90°，
因为B在D的正北方向，所以B位于A的北偏东75°方向，故A正确；
B选项中，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，则∠BCD＝45°，又因为BD＝2 km，
所以BC＝2 km，故B错误；
C选项中，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，则∠BAD＝45°，
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题号
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由正弦定理得＝，即AB＝＝＝(km)，故C正确；
D选项中，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝6＋8－2××2＝2，
即AC＝ km，故D正确．故选ACD.]
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题号
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6．如图，甲船从A1出发以25 n mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距5 n mile.当甲船航行12 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5 n mile，下列说法正确的是( )
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是15 n mile/h
C．甲、乙两船相遇时，甲行驶了 h
D．甲、乙两船不可能相遇
√
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题号
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√
AD [如图，连接A1B2，依题意，A1A2＝25×＝5(n mile)，而B2A2＝5 n mile，∠A1A2B2＝60°，
则△A1A2B2是正三角形，∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5 n mile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，A1B1＝5 n mile，
由余弦定理得：
B1B2＝
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题号
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＝＝5(n mile)，且有∠A1B1B2＝45°，所以乙船的行驶速度是＝25(n mile/h)，A正确，B不正确；
延长B1B2与A1A2交于点O，显然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10 n mile，OB2＝5 n mile，OB1＝5(＋1) n mile，
所以甲船从出发到点O用时t1＝＝(h)，乙船从出发到点O用时t2＝＝(h)，t1＜t2，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确．故选AD.]
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三、填空题
7．(人教A版必修第二册P51练习T2改编)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________．
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[在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，
由正弦定理得
PD＝·sin 15°＝＝，
在△PDC中，PC＝10 m，
故sin ∠PCD＝·PD＝，
因为cos θ＝sin ∠PCD，所以cos θ＝.]
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8．如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东 60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为________n mile.
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2
2 [由题意知，AB＝ n mile，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，所以BC＝
sin ∠BAC＝×sin 45°＝2(n mile)．
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile.]
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四、解答题
9．如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶
4 km后到达B处，测得此山顶在北偏西30°的方向上．
(1)求此山的高度；
(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，
求tan θ.
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[解] (1)设此山高h km，则AC＝，
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4 km.
根据正弦定理得＝，
即＝，
解得h＝2() km.
所以此山的高度为2()km.
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(2)由题意可知，当点C到公路的距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE.
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝＝.
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10．如图，五边形ABCDE是规划修建的公路自行车比赛赛道平面示意图，运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝2 km，DE＝8 km.
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(1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝；②cos ∠DBE＝.
(2)在(1)的条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA＋AE最大)，最长为多少？
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[解] (1)在△BCD中，由正弦定理知
＝，∴＝，
解得BD＝6 km.
选①：∵∠BCD＝，∠CBD＝，
∴∠BDC＝π－(∠BCD＋∠CBD)＝π－＝，∴∠BDE＝∠CDE－∠BDC＝＝，
在Rt△BDE中，BE＝＝＝10(km)．
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选②：在△BDE中，由余弦定理的推论知cos ∠DBE＝，∴＝，化简得5BE2－36BE－140＝0，解得BE＝10或
－(舍去)，故服务通道BE的长度为10 km.
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(2)在△ABE中，由余弦定理知，
BE2＝BA2＋AE2－2BA·AE·cos ∠BAE，
∴100＝BA2＋AE2＋BA·AE，
∴(BA＋AE)2－BA·AE＝100，
即(BA＋AE)2－100＝BA·AE≤，当且仅当BA＝AE时，等号成立，此时(BA＋AE)2＝100，所以BA＋AE的最大值为.
所以当BA＝AE＝km时，折线段赛道BAE最长，最长为km.
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谢 谢！课后作业(二十八) 正弦定理、余弦定理的应用举例
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共70分
一、单项选择题
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
2．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔大约为(≈1.4，≈1.7)( )
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
3．(2025·江苏南通模拟)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)( )
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
4．(2024·广东广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度．如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00 m，之后将小镜子前移a＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60 m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是( )
A．27.75 m B．27.25 m
C．26.75 m D．26.25 m
二、多项选择题
5．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则( )
A．观测点B位于A处的北偏东75°方向
B．当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km
C．当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km
D．该船在由C行驶至A的这5分钟内行驶了 km
6．如图，甲船从A1出发以25 n mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距5 n mile.当甲船航行12 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5 n mile，下列说法正确的是( )
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是15 n mile/h
C．甲、乙两船相遇时，甲行驶了 h
D．甲、乙两船不可能相遇
三、填空题
7．(人教A版必修第二册P51练习T2改编)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________．
8．如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东 60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为________n mile.
四、解答题
9．如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在北偏西30°的方向上．
(1)求此山的高度；
(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ.
10．如图，五边形ABCDE是规划修建的公路自行车比赛赛道平面示意图，运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝2 km，DE＝8 km.
(1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝；②cos ∠DBE＝.
(2)在(1)的条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA＋AE最大)，最长为多少？
课后作业(二十八)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [由正弦定理得＝，∵B＝30°，
∴AB＝＝＝50(m)．]
2．B [如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000(m)，
由正弦定理得＝，
则BC＝×sin 15°＝10 500(m)，因为CD⊥AB，所以CD＝BC sin 45°＝10 500()×＝10 500≈7 350(m)，所以山顶的海拔大约为10 000－7 350＝2 650.故选B.]
3．B [如图，
设球的半径为R，则AB＝R，AC＝.
∵BC＝R＝100，
∴R＝＝
＝＝＝＝≈，
∴2R≈≈50.76，故选B.]
4．D [如图，设钟楼的高度为PQ，
由△MKE∽△PQE，可得
EQ＝＝，
由△NTF∽△PQF，可得
FQ＝＝，
故EQ－FQ＝＝a，
故PQ＝＝＝＝26.25(m)．故选D.]
5．ACD [A选项中，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，∠CDB＝∠ADC＋∠BDA＝30°＋60°＝90°，
因为B在D的正北方向，所以B位于A的北偏东75°方向，故A正确；
B选项中，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，则∠BCD＝45°，又因为BD＝2 km，
所以BC＝2 km，故B错误；
C选项中，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，则∠BAD＝45°，
由正弦定理得＝，即AB＝＝＝(km)，故C正确；
D选项中，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝6＋8－2××2＝2，
即AC＝ km，故D正确．故选ACD.]
6．AD [如图，连接A1B2，依题意，A1A2＝25×＝5(n mile)，而B2A2＝5 n mile，∠A1A2B2＝60°，
则△A1A2B2是正三角形，∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5 n mile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，A1B1＝5 n mile，
由余弦定理得：
B1B2＝
＝＝5(n mile)，且有∠A1B1B2＝45°，所以乙船的行驶速度是＝25(n mile/h)，A正确，B不正确；
延长B1B2与A1A2交于点O，显然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10 n mile，OB2＝5 n mile，OB1＝5(＋1) n mile，
所以甲船从出发到点O用时t1＝＝(h)，乙船从出发到点O用时t2＝＝(h)，t1＜t2，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确．故选AD.]
7． [在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，
由正弦定理得
PD＝·sin 15°＝＝，
在△PDC中，PC＝10 m，
故sin ∠PCD＝·PD＝，
因为cos θ＝sin ∠PCD，所以cos θ＝.]
8．2 [由题意知，AB＝ n mile，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，所以BC＝sin ∠BAC＝×sin 45°＝2(n mile)．
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile.]
9．解：(1)设此山高h km，则AC＝，
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4 km.
根据正弦定理得＝，
即＝，
解得h＝2() km.
所以此山的高度为2()km.
(2)由题意可知，当点C到公路的距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE.
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝＝.
[B组 在综合中考查关键能力]
10．解：(1)在△BCD中，由正弦定理知
＝，∴＝，
解得BD＝6 km.
选①：∵∠BCD＝，∠CBD＝，
∴∠BDC＝π－(∠BCD＋∠CBD)＝π－＝，∴∠BDE＝∠CDE－∠BDC＝＝，
在Rt△BDE中，BE＝＝
＝10(km)．
选②：在△BDE中，由余弦定理的推论知cos ∠DBE＝，∴＝，化简得5BE2－36BE－140＝0，解得BE＝10或－(舍去)，故服务通道BE的长度为10 km.
(2)在△ABE中，由余弦定理知，
BE2＝BA2＋AE2－2BA·AE·cos ∠BAE，
∴100＝BA2＋AE2＋BA·AE，
∴(BA＋AE)2－BA·AE＝100，
即(BA＋AE)2－100＝BA·AE≤，当且仅当BA＝AE时，等号成立，此时(BA＋AE)2＝100，所以BA＋AE的最大值为.
所以当BA＝AE＝km时，折线段赛道BAE最长，最长为km.
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