三角函数中ω的范围问题
题型一 三角函数的单调性与ω的关系
[典例1] (1)已知函数f＝cos ，其中ω>0.若f在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·山东威海模拟)已知函数f＝在上单调递增，则ω的取值范围是________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
先依据题设信息，确定函数的单调区间，再根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围．
[跟进训练]
1．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0)满足f＝2，f (π)＝0，且f (x)在区间上单调，则符合条件的ω的值有________个．
题型二 三角函数图象的对称性与ω的关系
[典例2] (1)(2025·广东实验中学模拟)已知函数f＝cos 的图象关于原点中心对称，则ω的最小值为( )
A． B．
C． D．
(2)若函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A．(5，8) B．(5，8]
C．(5，11] D．[5，11)
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为.所以可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而研究“ω”的范围．
[跟进训练]
2．(2025·湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)，若直线x＝是函数y＝f (x)的图象的一条对称轴，点是函数y＝f (x)的图象的一个对称中心，则ω的最小值为________．
题型三 三角函数的最值与ω的关系
[典例3] (1)(2024·浙江温州一模)若函数f＝2sin ，ω>0，x∈的值域为[－，2]，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·山东日照模拟)已知函数f (x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，且f (x)在区间上只取得一次最大值，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用三角函数的最值、极值与区间的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的取值范围．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f＝sin 在上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的可能取值是________．(填一个即可)
(2)若函数f (x)＝sin (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是________．
题型四 三角函数的零点与ω的关系
[典例4] 已知函数f (x)＝sin πωx－cos πωx(ω＞0)在[0，1]内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三角函数相邻两个零点之间的距离为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围．
[跟进训练]
4．(多选)(2025·江苏无锡模拟)已知函数f (x)＝cos (ω＞0)，则下列说法正确的是( )
A．若f (x)＝f (π－x)，则ω的最小值为
B．若将f (x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数，则ω的最小值为
C．若f (x)在上单调递减，则0＜ω≤
D．若f (x)在上只有1个零点，则0＜ω＜
重点培优课4 三角函数中ω的范围问题
题型一
典例1 (1)A (2) [(1)由题意得，函数f的单调递增区间满足－π＋2kπ≤ωx－≤2kπ，且ω>0，解得≤x≤.
由题意可知：
.
于是
解得－＋6k≤ω≤k.
又ω>0，于是0<ω≤.故选A.
(2)根据题意，，解得ω≤1，又ω>0，则ω∈.
当x∈时，ωx－∈，
由题意可得－ω－≥－ω－，解得ω≤.
综上所述，ω的取值范围是.]
跟进训练
1．9 [设函数f(x)的最小正周期为T，
由f＝2，f(π)＝0，
结合正弦函数图象的特征可知，k∈N，故T＝，k∈N.
又因为f(x)在区间上单调，
所以，故T≥，
所以ω＝≤12，即≤12，
所以k≤，k∈N，所以k＝0，1，2，…，8，符合条件的ω的值有9个．]
题型二
典例2 (1)B (2)B [(1)函数f＝cos 的图象关于原点中心对称，则－ω＋＝kπ＋，解得ω＝－3k－，k∈Z，因为ω>0，当k＝－1时，ω取得最小值.故选B.
(2)由题意，函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，因为x∈，所以＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f (x)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8].]
跟进训练
2． [根据题意可得ω×＋φ＝＋k1π，ω×＋φ＝k2π，k1，k2∈Z，
两式相减得ωπ＝＋(k1－k2)π＝＋kπ，k∈Z，
又ω＞0，故ωmin＝.]
题型三
典例3 (1)D (2)B [(1)由x∈，得ωx－∈.
显然当x＝0时，可得2sin＝－，
由f 的值域为，利用三角函数图象性质可得ω－＋π，解得≤ω≤，即ω的取值范围是.故选D.
(2)由于函数f (x)＝sin (ω＞0)在上单调递增，x∈，ωx＋∈，
－ω＋≥－且ω＋，
解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤.
又因为f (x)在区间上只取得一次最大值，
即x∈时，ωx＋∈.
所以ω＋＜，解得≤ω＜.
综上，ω的取值范围是.故选B.]
跟进训练
3．(1)3(或4) (2) [(1)由x∈，得ωx＋∈，
画出函数y＝sin x的图象，如图，
由图可知，<，解得<ω≤.
因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4.
(2)由f (x)在区间(π，2π)内没有最值，知f (x)在区间(π，2π)上单调．由x∈(π，2π)可得ωx＋∈.当f (x)在区间(π，2π)上单调递增时，可得－＋2kπ≤ωπ＋<2ωπ＋＋2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤ω≤＋k，k∈Z，当k≠0时，无解，令k＝0，得－≤ω≤，又ω>0，故0<ω≤；当f (x)在区间(π，2π)上单调递减时，可得＋2kπ≤ωπ＋<2ωπ＋＋2kπ，k∈Z，解得＋2k≤ω≤＋k，k∈Z，当k≠0时，无解，令k＝0，得≤ω≤.综上，ω∈.]
题型四
典例4 [因为f (x)＝sin πωx－cos πωx＝2sin (ω＞0)，且当0≤x≤1时，－≤πωx－≤πω－，因为函数f (x)在[0，1]内恰有3个最值点和4个零点，所以3π≤πω－＜，解得≤ω＜.]
跟进训练
4．ABC [对于A，由f (x)＝f (π－x)，可得f (x)的图象关于直线x＝对称，
所以ω·＝kπ，k∈Z，可得ω＝2k－，k∈Z，
因为ω＞0，所以ω的最小值为，故A正确；
对于B，将f (x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是g(x)＝cos ＝cos ，因为g(x)为奇函数，
所以－ω＋＝＋kπ，k∈Z，则ω＝－－2k，k∈Z，所以ω的最小值为，故B正确；
对于C，函数f (x)＝cos (ω＞0)的单调递减区间满足2kπ≤ωx＋≤π＋2kπ，k∈Z，则
≤x≤，k∈Z，
令k＝0，－≤x≤，则≥π 0＜ω≤，故C正确；
对于D，若f (x)在上只有1个零点，则0＜ω＜，取ω＝1，令f (x)＝cos ＝0，则x＋＝＋kπ，k∈Z，
则x＝＋kπ，k∈Z，所以当x∈时，f (x)无零点，故D错误．故选ABC.]
1 / 4(共53张PPT)
第四章
三角函数与解三角形
重点培优课4 三角函数中ω的范围问题
题型一 三角函数的单调性与ω的关系
[典例1] (1)已知函数f ＝cos ，其中ω>0.若f在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·山东威海模拟)已知函数f＝在上单调递增，则ω的取值范围是________．
√
(1)A (2) [(1)由题意得，函数f的单调递增区间满足－π＋2kπ≤ωx－≤2kπ，且ω>0，解得≤x≤.
由题意可知：
.
于是
解得－＋6k≤ω≤k.
又ω>0，于是0<ω≤.故选A.
名师点评 先依据题设信息，确定函数的单调区间，再根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围．
(2)根据题意，，解得ω≤1，又ω>0，则ω∈.
当x∈时，ωx－∈，
由题意可得－ω－≥－ω－，解得ω≤.
综上所述，ω的取值范围是．]
[跟进训练]
1．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0)满足f＝2，f (π)＝0，且f (x)在区间上单调，则符合条件的ω的值有________个．
9
9 [设函数f (x)的最小正周期为T，
由f＝2，f (π)＝0，
结合正弦函数图象的特征可知＝，k∈N，
故T＝，k∈N.
又因为f (x)在区间上单调，
所以，故T≥，
所以ω＝≤12，即≤12，
所以k≤，k∈N，所以k＝0，1，2，…，8，符合条件的ω的值有9个．]
题型二 三角函数图象的对称性与ω的关系
[典例2] (1)(2025·广东实验中学模拟)已知函数f＝
cos 的图象关于原点中心对称，则ω的最小值为( )
A． B．
C． D．
√
(2)若函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A．(5，8) B．(5，8]
C．(5，11] D．[5，11)
√
(1)B (2)B [(1)函数f＝cos 的图象关于原点中心对称，则－ω＋＝kπ＋，解得ω＝－3k－，k∈Z，因为ω>0，当k＝－1时，ω取得最小值.故选B.
(2)由题意，函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，因为x∈，所以＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f (x)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8].]
名师点评 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为.所以可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而研究“ω”的范围．
[跟进训练]
2．(2025·湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)，若直线x＝是函数y＝f (x)的图象的一条对称轴，点是函数y＝f (x)的图象的一个对称中心，则ω的最小值为________．
[根据题意可得ω×＋φ＝＋k1π，ω×＋φ＝k2π，k1，k2∈Z，
两式相减得ωπ＝＋(k1－k2)π＝＋kπ，k∈Z，
又ω＞0，故ωmin＝.]
题型三 三角函数的最值与ω的关系
[典例3] (1)(2024·浙江温州一模)若函数f＝2sin ，ω>0，x∈的值域为[－，2]，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
√
(2)(2025·山东日照模拟)已知函数f (x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，且f (x)在区间上只取得一次最大值，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
√
(1)D (2)B [(1)由x∈，得ωx－∈.
显然当x＝0时，可得2sin＝－，
由f 的值域为，利用三角函数图象性质可得ω－＋π，解得≤ω≤，即ω的取值范围是.故选D.
(2)由于函数f (x)＝sin (ω＞0)在上单调递增，x∈，ωx＋∈，
－ω＋≥－且ω＋，
解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤.
又因为f (x)在区间上只取得一次最大值，
即x∈时，ωx＋∈.
所以ω＋＜，解得≤ω＜.
综上，ω的取值范围是.故选B.]
名师点评 利用三角函数的最值、极值与区间的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的取值范围．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f＝sin 在上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的可能取值是________．(填一个即可)
(2)若函数f (x)＝sin (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的
取值范围是____________________．
3(或4)
(1)3(或4) (2) [(1)由x∈，得ωx＋∈，
画出函数y＝sin x的图象，如图，
由图可知，<，解得<ω≤.
因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4.
(2)由f (x)在区间(π，2π)内没有最值，知f (x)在区间(π，2π)上单调．由x∈(π，2π)可得ωx＋∈.当f (x)在区间(π，2π)上单调递增时，可得－＋2kπ≤ωπ＋<2ωπ＋＋2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤ω≤＋k，k∈Z，当k≠0时，无解，令k＝0，得－≤ω≤，又ω>0，故0<ω≤；当f (x)在区间(π，2π)上单调递减时，可得＋2kπ≤ωπ＋<2ωπ＋＋2kπ，k∈Z，解得＋2k≤ω≤＋k，k∈Z，当k≠0时，无解，令k＝0，得≤ω≤.综上，ω∈.]
题型四 三角函数的零点与ω的关系
[典例4] 已知函数f (x)＝sin πωx－cos πωx(ω＞0)在[0，1]内恰有3
个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是________．
[因为f (x)＝sin πωx－cos πωx＝2sin (ω＞0)，且当0≤x≤1时，－≤πωx－≤πω－，因为函数f (x)在[0，1]内恰有3个最值点和4个零点，所以3π≤πω－＜，解得≤ω＜.]
【教用·备选题】
(2025·湖南长沙模拟)已知函数f＝cos在区间上恰有3个零点、2个极值点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
√
B [当ω<0时，无法满足函数f在区间上的零点比极值点多，所以ω>0，
函数f＝cos 在区间上恰有3个零点、2个极值点，
令t＝ωx＋∈，则相当于函数y＝cos t在区间上恰有3个零点，2个极值点．如图，要使函数y＝cos t恰有3个零点，2个极值点π，2π，
则<≤3π，所以<ω≤.
故选B.]
名师点评 三角函数相邻两个零点之间的距离为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围．
[跟进训练]
4．(多选)(2025·江苏无锡模拟)已知函数f (x)＝cos (ω＞0)，则下列说法正确的是( )
A．若f (x)＝f (π－x)，则ω的最小值为
B．若将f (x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数，则ω的最小值为
C．若f (x)在上单调递减，则0＜ω≤
D．若f (x)在上只有1个零点，则0＜ω＜
√
√
√
ABC [对于A，由f (x)＝f (π－x)，可得f (x)的图象关于直线x＝对称，
所以ω·＝kπ，k∈Z，可得ω＝2k－，k∈Z，
因为ω＞0，所以ω的最小值为，故A正确；
对于B，将f (x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是g(x)＝cos ＝cos ，因为g(x)为奇函数，
所以－ω＋＝＋kπ，k∈Z，则ω＝－－2k，k∈Z，所以ω的最小值为，故B正确；
对于C，函数f (x)＝cos (ω＞0)的单调递减区间满足2kπ≤ωx＋≤π＋2kπ，k∈Z，则
≤x≤，k∈Z，
令k＝0，－≤x≤，则≥π 0＜ω≤，故C正确；
对于D，若f (x)在上只有1个零点，则0＜ω＜，取ω＝1，令
f (x)＝cos ＝0，则x＋＝＋kπ，k∈Z，
则x＝＋kπ，k∈Z，所以当x∈时，f (x)无零点，故D错误．故选ABC.]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
√
10
培优训练（四） 三角函数中ω的范围问题
一、单项选择题
1．(2025·江苏无锡模拟)将函数f＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为( )
A． B．
C． D．
C [ f＝sin ＝sin 的图象关于y轴对称，则ω＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝－－4k，k∈Z，又因为ω>0，则当k＝－1时，ωmin＝.故选C.]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2．(2025·浙江新高考联盟)函数f (x)＝cos (ω>0)的图象在区间(0，1)上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C [由x∈(0，1)，得<ωx＋<ω＋，
由f (x)的图象在区间(0，1)上恰有一个对称中心，得<ω＋，所以<ω≤.故选C.]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3．(2024·浙江杭州二模)设甲：“函数f＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0<ω≤2”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A [若函数f＝2sin ωx在上单调递增，则ω＞0，由
－≤ωx≤得－≤x≤，
则解得0<ω≤.
所以甲是乙的充分不必要条件．故选A.]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4．(2025·广东深圳模拟)已知函数f＝2cos(ω>0)在上恰有2个零点，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B [因为x∈，所以ωx＋∈.
令2cos ＝0，则cos ＝.
因为f＝2cos 在上有2个零点，所以<，解得22≤ω<42.
故ω的取值范围为，故B项正确．故选B.]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5．(2025·湖北孝感模拟)函数f＝cos 的两个零点分别为－，且ω>0，在上f的图象仅有两条对称轴，则ω·φ可以是( )
A． B．
C． D．
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A [因为函数f (x)的两个零点为－，且图象在上仅有两条对称轴，
所以T＝＝π，又T＝且ω>0，得ω＝2.
由函数f (x)的零点为－，得2·＋φ＝＋kπ，k∈Z，
得φ＝＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，φ＝，此时ω·φ＝.故选A.]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6．(2025·江苏南通模拟)已知ω≠0，函数f＝的图象在上有三条对称轴和两个极小值，则( )
A．<ω≤ B．<ω≤
C．－≤ω<－ D．－≤ω<－
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C [当ω>0时，由x∈，得ωx＋∈，
由函数f (x)的图象在上有三条对称轴，得<ω＋，
由函数f (x)在上有两个极小值，得<ω＋，显然无解；
当ω<0时，由x∈，得
ωx＋∈，
则解得－≤ω<－.故选C.]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、多项选择题
7．(2024·山西太原三模)已知函数f (x)＝m cos ωx＋2sin ωx，若
f ＝2，且f (x)≥f，则ω的取值可能是( )
A． B．
C． D．
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
BC [因为f (x)≥f，所以x＝时函数取得最小值，即直线x＝是函数f图象的一条对称轴，又因为f ＝2，所以f＝2，即f＝mcos 0＋2sin 0＝2，所以m＝2，
所以f＝2cos ωx＋2sin ωx＝4＝4sin ，
所以ω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋8k，k∈Z，
当k＝0时，ω＝，当k＝1时，ω＝.
故选BC.]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8．(2025·河南郑州模拟)已知f (x)＝1－2cos2(ω＞0)．则下列判断正确的是( )
A．若f (x1)＝1，f (x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2
B．存在ω∈(0，2)，使得f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C．若f (x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为
D．若f (x)在上单调递增，则ω的取值范围为
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
CD [因为f (x)＝1－2cos2＝－cos＝sin ，所以周期T＝＝.
对于A，由条件知，周期为2π，所以＝2π，解得ω＝，故A错误；
对于B，函数f (x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝sin 的图象，
若其关于y轴对称，则－＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，故对任意整数k，ω (0，2)，故B错误；
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋＜8π，解得≤ω＜，故C正确；
对于D，由条件得
解得ω≤，
又ω＞0，
所以0＜ω≤，故D正确．]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
三、填空题
9．(2024·福建厦门二模)已知函数f＝在上单调，f＝f＝－f，则ω的可能取值为
____________．
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
[设f＝sin 的周期为T，函数f在上单调，
故T＝≥2＝π，∴0<ω≤2，
由f ＝－f 以及函数f 在上单调，得f ＝
f ＝0，
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由f ＝f ＝，T≥π，得＝T或＝－或＝－，
若＝T，则＝，∴ω＝；
若＝－，则＝－，∴ω＝；
若＝－，则＝－，∴ω＝.
故ω的可能取值为.]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
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10．设函数f (x)＝sin (ωx＋φ).若x＝－为函数f (x)的零点，x＝为函数f (x)的图象的对称轴，且f (x)在区间上单调，则ω的最大值为________．
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[由题意得k1，k2∈Z，
则
又f (x)在上单调，
则＝＝，解得0<ω≤5，
即0<≤5，k1，k2∈Z，
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则－当k2－k1＝2时，ω＝，此时φ＝，
f (x)＝sin ，
当x∈时，x＋∈，
∴f (x)单调递减，符合题意，故ωmax＝.]
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谢 谢！培优训练(四) 三角函数中ω的范围问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共52分
一、单项选择题
1．(2025·江苏无锡模拟)将函数f＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为( )
A． B．
C． D．
2．(2025·浙江新高考联盟)函数f (x)＝cos (ω>0)的图象在区间(0，1)上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
3．(2024·浙江杭州二模)设甲：“函数f＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0<ω≤2”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2025·广东深圳模拟)已知函数f＝2cos(ω>0)在上恰有2个零点，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
5．(2025·湖北孝感模拟)函数f＝cos 的两个零点分别为－，且ω>0，在上f的图象仅有两条对称轴，则ω·φ可以是( )
A． B．
C． D．
6．(2025·江苏南通模拟)已知ω≠0，函数f＝的图象在上有三条对称轴和两个极小值，则( )
A．<ω≤ B．<ω≤
C．－≤ω<－ D．－≤ω<－
二、多项选择题
7．(2024·山西太原三模)已知函数f (x)＝m cos ωx＋2sin ωx，若f ＝2，且f (x)≥f，则ω的取值可能是( )
A． B．
C． D．
8．(2025·河南郑州模拟)已知f (x)＝1－2cos2(ω＞0)．则下列判断正确的是( )
A．若f (x1)＝1，f (x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2
B．存在ω∈(0，2)，使得f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C．若f (x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为
D．若f (x)在上单调递增，则ω的取值范围为
三、填空题
9．(2024·福建厦门二模)已知函数f＝在上单调，f＝f＝－f，则ω的可能取值为________．
10．设函数f (x)＝sin (ωx＋φ).若x＝－为函数f (x)的零点，x＝为函数f (x)的图象的对称轴，且f (x)在区间上单调，则ω的最大值为________．
培优训练(四)
1．C [f＝sin ＝sin 的图象关于y轴对称，则ω＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝－－4k，k∈Z，又因为ω>0，则当k＝－1时，ωmin＝.故选C.]
2．C [由x∈(0，1)，得<ωx＋<ω＋，
由f (x)的图象在区间(0，1)上恰有一个对称中心，得<ω＋，所以<ω≤.故选C.]
3．A [若函数f＝2sin ωx在上单调递增，则ω＞0，由－≤ωx≤得－≤x≤，
则解得0<ω≤.
所以甲是乙的充分不必要条件．故选A.]
4．B [因为x∈，所以ωx＋∈.
令2cos ＝0，则cos ＝.
因为f＝2cos 在上有2个零点，所以<，解得22≤ω<42.
故ω的取值范围为，故B项正确．故选B.]
5．A [因为函数f (x)的两个零点为－，且图象在上仅有两条对称轴，
所以T＝＝π，又T＝且ω>0，得ω＝2.
由函数f (x)的零点为－，得2·＋φ＝＋kπ，k∈Z，
得φ＝＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，φ＝，此时ω·φ＝.故选A.]
6．C [当ω>0时，由x∈，得ωx＋∈，
由函数f (x)的图象在上有三条对称轴，得<ω＋，
由函数f (x)在上有两个极小值，得<ω＋，显然无解；
当ω<0时，由x∈，得
ωx＋∈，
则解得－≤ω<－.故选C.]
7．BC [因为f (x)≥f，所以x＝时函数取得最小值，即直线x＝是函数f图象的一条对称轴，又因为f ＝2，所以f＝2，即f＝mcos 0＋2sin 0＝2，所以m＝2，
所以f＝2cos ωx＋2sin ωx＝4＝4sin ，
所以ω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋8k，k∈Z，
当k＝0时，ω＝，当k＝1时，ω＝.
故选BC.]
8．CD [因为f (x)＝1－2cos2＝－cos＝sin ，所以周期T＝＝.
对于A，由条件知，周期为2π，所以＝2π，解得ω＝，故A错误；
对于B，函数f (x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝sin 的图象，
若其关于y轴对称，则－＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，故对任意整数k，ω (0，2)，故B错误；
对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋＜8π，解得≤ω＜，故C正确；
对于D，由条件得
解得ω≤，
又ω＞0，
所以0＜ω≤，故D正确．]
9． [设f＝sin 的周期为T，函数f在上单调，
故T＝≥2＝π，∴0<ω≤2，
由f ＝－f 以及函数f 在上单调，得f ＝f ＝0，
由f ＝f ＝，T≥π，得＝T或＝－或＝－，
若＝T，则＝，∴ω＝；
若＝－，则＝－，∴ω＝；
若＝－，则＝－，∴ω＝.
故ω的可能取值为.]
10． [由题意得k1，k2∈Z，
则
又f (x)在上单调，
则＝＝，解得0<ω≤5，
即0<≤5，k1，k2∈Z，
则－当k2－k1＝2时，ω＝，此时φ＝，
f (x)＝sin ，
当x∈时，x＋∈，
∴f (x)单调递减，符合题意，故ωmax＝.]
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