(共36张PPT)
第四章
三角函数与解三角形
阶段提能(四) 三角函数的图象与性质
题号
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√
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一、单项选择题
1．(2023·天津高考)已知函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，
f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝sin B．f (x)＝cos
C．f (x)＝sin D．f (x)＝cos
题号
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B [对于A，f (x)＝sin ，最小正周期为＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin 的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cos ，最小正周期为＝4，因为f (2)＝cos π＝
－1，所以函数f (x)＝cos 的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin 和y＝cos 的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D.综上，故选B.]
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2．(2025·山东济南模拟)为了得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
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B [因为y＝sin ＝cos
＝cos ＝cos ，则向左平移个单位长度后得y＝
cos ＝cos .故选B.]
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3．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
√
D [y＝2sin ＝2sin .故选D.]
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4．(2025·安徽江南十校联考)“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan 的图象关于点对称”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
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A [若函数y＝tan 的图象关于对称，
则＋φ＝，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，
因为是的真子集，所以“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan 的图象关于点对称”的充分不必要条件．故选A.]
题号
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5．(2024·天津高考)已知函数f (x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值是( )
A．－ B．－
C．0 D．
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A [f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)
＝－sin 3ωx，由T＝＝π得ω＝，
即f (x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈，
sin 2x∈，所以f (x)min＝－.故选A.]
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6．设a＝cos ，b＝sin ，c＝tan ，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
D [因为当0＜x＜时，sin x所以sin <而＝3tan >3×＝1，所以b>a，所以c>b>a.故选D.]
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7．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(ω>0，A>0，0<φ<π，b∈R)的部分图象如图所示，则( )
A．φ＝
B．f＝－2
C．点为曲线y＝f (x)的一个对称中心
D．将曲线y＝f (x)向右平移个单位长度得到曲线y＝4cos 3x＋2
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D [由题图知解得
将点(0，4)的坐标代入f＝4sin (ωx＋φ)＋2得sin φ＝，由题图可知，点(0，4)在y＝f (x)图象的下降部分上，且0<φ<π，所以φ＝，所以A错误；
将点的坐标代入f (x)＝4sin ＋2，得ω·＝，解得ω＝3，所以f (x)＝4sin ＋2，所以f ＝4sin ＋2＝2－2，所以B错误；
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令3x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
取k＝0，则x＝－，所以对称中心为，所以C错误；
将曲线向右平移个单位长度得到曲线y＝4sin ＋2＝4cos 3x＋2，所以D正确．
故选D.]
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8．(2025·福建福州模拟)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0，2π))在区间上单调递减，＝－＝1，则φ＝( )
A． B．
C． D．
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C [∵在区间上单调递减，∴，∴0<ω≤2，
由＝1，得sin ＝，∴ω·＋φ＝2k1π＋①.
又＝－＝1，∴f (x)的图象关于点对称，
即ω·＋φ＝2k2π＋π②.
由②－①得ω·＝2π＋ ω＝＋8，由于0<ω≤2，
则ω＝，代入①，
即＋φ＝2k1π＋ φ＝2k1π＋，
由于φ∈，则φ＝.故选C.]
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二、多项选择题
9．已知函数f (x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)在(0，π)上单调递增
C．f (x)的图象的对称中心为点(kπ，0)(k∈Z)
D．f (x)在(π，2π)上单调递减
√
√
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ABC [f (x)＝＝＝tan，
∴f (x)的最小正周期为＝2π，故A正确；
当x∈(0，π)时，∈，∴f (x)在(0，π)上单调递增，故B正确；
由＝(k∈Z)，得x＝kπ(k∈Z)，
∴f (x)的图象的对称中心为点(kπ，0)(k∈Z)，故C正确；
当x∈(π，2π)时，∈，∴f (x)在(π，2π)上单调递增，故D错误．
故选ABC.]
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10．(2025·河南郑州模拟)已知函数f＝，f ＝，则( )
A．＝
B．＝－f
C．在上单调递减
D．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称
√
√
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BCD [由题意得函数f＝sin (2x＋2φ)的图象的一条对称轴方程为x＝，
所以＋2φ＝kπ＋，所以φ＝，
因为0<φ<，所以φ＝，即f＝sin .
对于A，f＝sin ＝，A错误；
对于B，因为f＝sin ＝sin π＝0，所以f图象的一个对称中心为，
即f＝－f ，B正确；
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对于C，当x∈时，2x＋∈ ，
所以f 在上单调递减，C正确；
对于D，f的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为f ＝sin＝cos 2x，显然y＝f是偶函数，其图象关于y轴对称，D正确．故选BCD.]
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11．(2024·江西上饶二模)已知函数f＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋，则下列说法正确的是( )
A．若ω＝1，则将y＝f的图象向左平移个单位长度，能得到函数y＝cos2x的图象
B．若ω＝2，则当x∈时，f的值域为
C．若f在区间上恰有5个零点，则<ω≤
D．若f在区间上单调递增，则0<ω≤
√
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AD [f ＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋
＝sin2ωx＋cos 2ωx＝sin ，
当ω＝1时，f (x)＝sin ，则将y＝f (x)的图象向左平移个单位长度得到：
y＝sin ＝cos 2x，故A正确；
当ω＝2时，f (x)＝sin ，当0≤x≤时，≤4x＋，
故－≤sin ≤1，则f 的值域为，故B错误；
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令2ωx＋＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z，
又ω>0，
若f 在区间上恰有5个零点，则解得≤ω<，故C错误；
若f (x)在区间上单调递增，
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则＝，又ω>0，所以解得0<ω≤，又x∈，所以2ωx＋∈，
由0<ω≤可得<ω＋，
要使f (x)在区间上单调递增，则解得0<ω≤，故D正确．故选AD.]
题号
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三、填空题
12．(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________．
－
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－ [因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos (2kπ＋π＋α)＝－cos α.因为α∈，所以cos α∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值为－.]
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13．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在
上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为
______________．
(－2，－]
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(－2，－] [由f (x)的部分图象，可得A＝1.
由题图可知点在f (x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－，
由五点作图法可得ω×＋φ＝，ω×＋φ＝2π－，解得ω＝，φ＝，则f (x)＝sin .
将函数f (x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin 的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象．
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作出函数g(x)的部分图象，如图所示，
根据函数g(x)的图象知：
当－2＜m≤－时，直线y＝m与函数g(x)在
上的图象有两个交点，
即方程g(x)＝m在上有两个不相等的
实数根．]
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14．(2024·安徽芜湖二模)已知偶函数f＝sin的图象关于点中心对称，且在区间上具有单调性，则ω＝ ________．
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[由偶函数f ＝sin ，得φ＝kπ＋，k∈Z，
即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx，
又f ＝sin 的图象关于点中心对称，
所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝3k＋，k∈Z，
因为函数f (x)在区间上具有单调性，所以0≤ωx≤≤π，即0<ω≤4，
所以当k＝0时，ω＝符合条件．]
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四、解答题
15．(2024·浙江台州一模)已知f ＝sin ωx＋sin x＋cos x.
(1)当ω＝0时，求f 的最小正周期以及单调递减区间；
(2)当ω＝2时，求f 的值域．
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[解] (1)当ω＝0时，f ＝sin x＋cos x＝sin ，T＝＝2π，
令＋2kπ≤x＋＋2kπ，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，
所以函数f 的最小正周期为2π，单调递减区间为.
(2)当ω＝2时，f ＝sin 2x＋sin x＋cos x
＝2sin x cos x＋sin x＋cos x，
设sin x＋cos x＝sin ＝t，
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则sin 2x＝t2－1，
令g＝t2＋t－1，t∈，
又g＝－，
故当t＝时，g取得最大值1＋，
当t＝－时，g取得最小值－，
所以f 的值域为.
谢 谢！阶段提能(四) 三角函数的图象与性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共86分
一、单项选择题
1．(2023·天津高考)已知函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝sin B．f (x)＝cos
C．f (x)＝sin D．f (x)＝cos
2．(2025·山东济南模拟)为了得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．(2025·安徽江南十校联考)“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan 的图象关于点对称”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2024·天津高考)已知函数f (x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值是( )
A．－ B．－
C．0 D．
6．设a＝cos ，b＝sin ，c＝tan ，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
7．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(ω>0，A>0，0<φ<π，b∈R)的部分图象如图所示，则( )
A．φ＝
B．f＝－2
C．点为曲线y＝f (x)的一个对称中心
D．将曲线y＝f (x)向右平移个单位长度得到曲线y＝4cos 3x＋2
8．(2025·福建福州模拟)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0，2π))在区间上单调递减，＝－＝1，则φ＝( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知函数f (x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)在(0，π)上单调递增
C．f (x)的图象的对称中心为点(kπ，0)(k∈Z)
D．f (x)在(π，2π)上单调递减
10．(2025·河南郑州模拟)已知函数f＝，f＝，则( )
A．＝
B．＝－f
C．在上单调递减
D．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称
11．(2024·江西上饶二模)已知函数f＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋，则下列说法正确的是( )
A．若ω＝1，则将y＝f的图象向左平移个单位长度，能得到函数y＝cos2x的图象
B．若ω＝2，则当x∈时，f的值域为
C．若f在区间上恰有5个零点，则<ω≤
D．若f在区间上单调递增，则0<ω≤
三、填空题
12．(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________．
13．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
14．(2024·安徽芜湖二模)已知偶函数f＝sin的图象关于点中心对称，且在区间上具有单调性，则ω＝ ________．
四、解答题
15．(2024·浙江台州一模)已知f ＝sin ωx＋sin x＋cos x.
(1)当ω＝0时，求f 的最小正周期以及单调递减区间；
(2)当ω＝2时，求f 的值域．
阶段提能(四)
1．B [对于A，f (x)＝sin ，最小正周期为＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin 的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cos ，最小正周期为＝4，因为f (2)＝cos π＝－1，所以函数f (x)＝cos 的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin 和y＝cos 的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D.综上，故选B.]
2．B [因为y＝sin ＝cos
＝cos ＝cos ，则向左平移个单位长度后得y＝cos ＝cos .故选B.]
3．D [y＝2sin ＝2sin .故选D.]
4．A [若函数y＝tan 的图象关于对称，
则＋φ＝，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，
因为是的真子集，所以“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan 的图象关于点对称”的充分不必要条件．故选A.]
5．A [f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)
＝－sin 3ωx，由T＝＝π得ω＝，
即f (x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈，sin 2x∈，所以f (x)min＝－.故选A.]
6．D [因为当0＜x＜时，sin x所以sin <而＝3tan >3×＝1，所以b>a，所以c>b>a.故选D.]
7．D [由题图知解得
将点(0，4)的坐标代入f＝4sin (ωx＋φ)＋2得sin φ＝，由题图可知，点(0，4)在y＝f (x)图象的下降部分上，且0<φ<π，所以φ＝，所以A错误；
将点的坐标代入f (x)＝4sin ＋2，得ω·＝，解得ω＝3，所以f (x)＝4sin ＋2，所以f ＝4sin ＋2＝2－2，所以B错误；
令3x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
取k＝0，则x＝－，所以对称中心为，所以C错误；
将曲线向右平移个单位长度得到曲线y＝4sin ＋2＝4cos 3x＋2，所以D正确．
故选D.]
8．C [∵在区间上单调递减，∴，∴0<ω≤2，
由＝1，得sin ＝，∴ω·＋φ＝2k1π＋①.
又＝－＝1，∴f (x)的图象关于点对称，
即ω·＋φ＝2k2π＋π②.
由②－①得ω·＝2π＋ ω＝＋8，由于0<ω≤2，
则ω＝，代入①，
即＋φ＝2k1π＋ φ＝2k1π＋，
由于φ∈，则φ＝.故选C.]
9．ABC [f (x)＝＝＝tan，
∴f (x)的最小正周期为＝2π，故A正确；
当x∈(0，π)时，∈，∴f (x)在(0，π)上单调递增，故B正确；
由＝(k∈Z)，得x＝kπ(k∈Z)，
∴f (x)的图象的对称中心为点(kπ，0)(k∈Z)，故C正确；
当x∈(π，2π)时，∈，∴f (x)在(π，2π)上单调递增，故D错误．
故选ABC.]
10．BCD [由题意得函数f＝sin (2x＋2φ)的图象的一条对称轴方程为x＝，
所以＋2φ＝kπ＋，所以φ＝，
因为0<φ<，所以φ＝，即f＝sin .
对于A，f＝sin ＝，A错误；
对于B，因为f＝sin ＝sin π＝0，所以f图象的一个对称中心为，
即f＝－f ，B正确；
对于C，当x∈时，2x＋∈ ，
所以f在上单调递减，C正确；
对于D，f的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为f ＝sin＝cos 2x，显然y＝f是偶函数，其图象关于y轴对称，D正确．故选BCD.]
11．AD [f＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋
＝sin2ωx＋cos 2ωx＝sin ，
当ω＝1时，f (x)＝sin ，则将y＝f (x)的图象向左平移个单位长度得到：
y＝sin ＝cos 2x，故A正确；
当ω＝2时，f (x)＝sin ，当0≤x≤时，≤4x＋，
故－≤sin ≤1，则f的值域为，故B错误；
令2ωx＋＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z，
又ω>0，
若f在区间上恰有5个零点，则解得≤ω<，故C错误；
若f (x)在区间上单调递增，
则＝，又ω>0，所以解得0<ω≤，又x∈，所以2ωx＋∈，
由0<ω≤可得<ω＋，
要使f (x)在区间上单调递增，则解得0<ω≤，故D正确．故选AD.]
12．－ [因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos (2kπ＋π＋α)＝－cos α.因为α∈，所以cos α∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值为－.]
13．(－2，－] [由f (x)的部分图象，可得A＝1.
由题图可知点在f (x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－，
由五点作图法可得ω×＋φ＝，ω×＋φ＝2π－，解得ω＝，φ＝，则f (x)＝sin .
将函数f (x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin 的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象．
作出函数g(x)的部分图象，如图所示，
根据函数g(x)的图象知：
当－2＜m≤－时，直线y＝m与函数g(x)在上的图象有两个交点，
即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．]
14． [由偶函数f＝sin ，得φ＝kπ＋，k∈Z，
即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx，
又f＝sin 的图象关于点中心对称，
所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝3k＋，k∈Z，
因为函数f (x)在区间上具有单调性，所以0≤ωx≤≤π，即0<ω≤4，
所以当k＝0时，ω＝符合条件．]
15．解：(1)当ω＝0时，f ＝sin x＋cos x＝sin ，T＝＝2π，
令＋2kπ≤x＋＋2kπ，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，
所以函数f 的最小正周期为2π，单调递减区间为.
(2)当ω＝2时，f ＝sin 2x＋sin x＋cos x
＝2sin x cos x＋sin x＋cos x，
设sin x＋cos x＝sin ＝t，
则sin 2x＝t2－1，
令g＝t2＋t－1，t∈，
又g＝－，
故当t＝时，g取得最大值1＋，
当t＝－时，g取得最小值－，
所以f 的值域为.
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