【期末热点.重难点】从位移、速度、力到向量（含解析）2024-2025学年北师大版（2019）必修第二册数学高一下册

期末热点.重难点 从位移、速度、力到向量
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 丽水期末）已知点O（0，0），向量，向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 昆明一模）已知向量（0，2），（1，0），则||＝（　　）
A． B． C．2 D．
3．（2024秋 浙江期末）已知向量，不共线且满足，则t＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 北京校级期末）已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中i＝1，2，j＝1，2， ，k），则k的最大值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2025 新余校级模拟）已知平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，﹣2），B（1，2），，若，则P的坐标为：（　　）
A． B．（0，2） C．（3，6） D．（3，4）
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 岳阳县校级期末）下列关于向量的说法错误的是（　　）
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，则s＝t＝0
D．若且，则
（多选）7．（2024秋 大连期末）下列关于向量说法，正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥
B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为1：3
C．两个非零向量，，若||＝||+||，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数λ使得λ
（多选）8．（2024 故城县校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．若空间向量，满足，则
B．空间任意两个单位向量必相等
C．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
D．向量的模为
（多选）9．（2024秋 昭通校级期中）如图，在菱形ABCD中，若∠DAB＝120°，则以下说法中正确的是（　　）
A．与不平行
B．的模恰为模的倍
C．与的模相等的向量有9个（不含）
D．与相等的向量只有一个（不含）
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 抚顺期末）若非零向量与单位向量共线，且||＝||，则||＝ 　 　．
11．（2024秋 延庆区期末）已知||＝2，||＝4，则||的最大值为 　 　，最小值为 　 　．
12．（2024秋 西城区校级期末）向量，满足，其中x∈R，那么x＝ 　 　，||＝ 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．
（1）求；
（2）若，λ，μ为正实数，求2λ+8μ的最小值．
14．（2024秋 淮安月考）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
15．（2024春 顺义区期末）已知，是两个单位向量，其夹角为120°，，．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求与的夹角．
期末热点.重难点 从位移、速度、力到向量
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 丽水期末）已知点O（0，0），向量，向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】设，表示出、的坐标，从而得到方程组，解得x，y求出，再由模长公式求解即可．
【解答】解：设，
由题意可知，，
，
因为，
所以，解得，
所以．
故．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的模，属于基础题．
2．（2025 昆明一模）已知向量（0，2），（1，0），则||＝（　　）
A． B． C．2 D．
【考点】平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】首先求出，再根据坐标法计算其模．
【解答】解：因为向量（0，2），（1，0），
所以，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的模，是基础题．
3．（2024秋 浙江期末）已知向量，不共线且满足，则t＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据向量共线的判定定理可知存在k∈R，使得，进而列式求解即可．
【解答】解：已知向量，不共线，则，
由，得存在k∈R，使得，
又向量，不共线，∴，解得．
故选：D．
【点评】本题考查共线向量基本定理的应用，是基础题．
4．（2024秋 北京校级期末）已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中i＝1，2，j＝1，2， ，k），则k的最大值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据条件不妨设，，，这样由模的几何意义可得满足的点（x，y）所在曲线，满足的点（x，y）所在曲线，两曲线的公共点即为所求，由此可得结论．
【解答】解：根据条件不妨设，，，
因为，
由，可得x2+y2＝1，
由，可得x2+y2＝4，
如图这两个圆用实线表示；
由，可得x2+（y﹣1）2＝1，
由，可得x2+（y﹣1）2＝4，
如图这两个圆用虚线表示；
由条件可知点（x，y）既要在实线曲线上，又要在虚线曲线上，
由图象可知，共有6个交点，即k是最大值是6．
故选：B．
【点评】本题考查向量的模的结合意义，考查圆与圆的位置关系，属中档题．
5．（2025 新余校级模拟）已知平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，﹣2），B（1，2），，若，则P的坐标为：（　　）
A． B．（0，2） C．（3，6） D．（3，4）
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算及向量平行的坐标表示求得，即可得出结论．
【解答】解：由题意，，
，
由，可得8﹣4λ＝2（5﹣3λ），解得λ＝1，
故，即P（0，2）．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 岳阳县校级期末）下列关于向量的说法错误的是（　　）
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，则s＝t＝0
D．若且，则
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据投影向量的定义分析判断；对于C：根据向量共线的判定定理分析判断；对于D：根据数量积的定义分析判断．
【解答】解：A：当时，满足，，但与不一定平行，A错误；B：单位向量，夹角为，可得向量在向量上的投影向量为，B正确；
C：不妨假设s≠0，则，可知与共线，这与题设相矛盾，假设不成立，
所以s＝t＝0，C正确；
D：因为，则，
又，则，显然不能确定，D错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查向量的相关知识，考查计算能力，属于中档题也是易错题．
（多选）7．（2024秋 大连期末）下列关于向量说法，正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥
B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为1：3
C．两个非零向量，，若||＝||+||，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数λ使得λ
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】时，可判断A的正误；
根据条件得出O为△ABC的重心，然后即可判断B的正误；
根据向量减法的三角形法则即可判断C的正误；
根据共线向量基本定理即可判断D的正误．
【解答】解：，满足，得不出，A错误；
若，则，则O是△ABC的重心，
根据重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍即可得出：，B正确；
都为非零向量，满足，则得出向量反向，C正确；
，只有时，才存在唯一的实数λ，使得，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，重心的定义，共线向量基本定理，是基础题．
（多选）8．（2024 故城县校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．若空间向量，满足，则
B．空间任意两个单位向量必相等
C．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
D．向量的模为
【考点】平面向量的概念与平面向量的模；命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；向量法；空间向量及应用；数学抽象．
【答案】CD
【分析】根据空间向量的定义以及模长即可结合选项逐一判断．
【解答】解：对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到，A错误；
对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，的方向相同，长度相等，故，故C正确；
对于D，由向量，可得||，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查空间向量的基本概念及模长公式，属基础题．
（多选）9．（2024秋 昭通校级期中）如图，在菱形ABCD中，若∠DAB＝120°，则以下说法中正确的是（　　）
A．与不平行
B．的模恰为模的倍
C．与的模相等的向量有9个（不含）
D．与相等的向量只有一个（不含）
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断．
【解答】解：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误；
因为，则，
所以的模恰为模的倍，故B正确；
根据菱形的性质结合∠DAB＝120°，可知对角线AC与菱形的边长相等，
故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确；
与相等的向量只有，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查相等向量、共线向量的定义，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 抚顺期末）若非零向量与单位向量共线，且||＝||，则||＝ 　2　．
【考点】平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】先判断非零向量与单位向量反向共线，再结合单位向量的定义，即可求解．
【解答】解：||＝||，非零向量与单位向量共线，
则非零向量与单位向量反向共线，
则，
故||＝ 2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平面向量的模，属于基础题．
11．（2024秋 延庆区期末）已知||＝2，||＝4，则||的最大值为 　6　，最小值为 　2　．
【考点】平面向量的模．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；数学抽象．
【答案】6；2．
【分析】根据向量加法的几何性质即可得出结论．
【解答】解：根据向量模长的性质，
当向量和同向时，取得最大值，
等于两个向量模长之和，即2+4＝6；
当向量和反向时，取得最小值，
等于两个向量模长之差的绝对值，即|2﹣4|＝2；
因此，的最大值为6，最小值为2．
故答案为：6；2．
【点评】本题考查向量的模的性质，属基础题．
12．（2024秋 西城区校级期末）向量，满足，其中x∈R，那么x＝ 　﹣3　，||＝ 　　．
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】﹣3；．
【分析】结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：向量，满足，
则﹣4x＝12，解得x＝﹣3，
故，
所以||．
故答案为：﹣3；．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．
（1）求；
（2）若，λ，μ为正实数，求2λ+8μ的最小值．
【考点】平面向量的概念与平面向量的模；运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）由重心性质可得得坐标，从而求得模长；
（2）由平面向量基本定理的推论得，再利用基本不等式求得最值．
【解答】解：（1）根据题意：，，
由G是△ABC的重心，
可得，
所以；
（2）由，
可得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，所以，
则，
当且仅当，即λ＝1，时等号成立，
所以2λ+8μ的最小值为6．
【点评】本题考查平面向量的模长公式及平面向量基本定理，考查基本不等式求最值，属中档题．
14．（2024秋 淮安月考）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量数量积的坐标运算．
【专题】方程思想；数形结合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）D（4，3）；
（2）．
【分析】（1）设D（x，y），利用，可求D点的坐标；
（2）利用三点共线，可得，可得D（3﹣4λ，1+3λ），利用数量积可求D点的坐标．
【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），
∴（1，2），
∵四边形ABCD为平行四边形，∴，
设D（x，y），则（x﹣3，y﹣1），
∴，解得，∴D（4，3）；
（2）由A，C，D三点共线，且，
可设，
又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴，
又 4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得λ．
∴．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．
15．（2024春 顺义区期末）已知，是两个单位向量，其夹角为120°，，．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求与的夹角．
【考点】平面向量的模；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）直接利用向量的数量积运算求出结果；
（Ⅱ）利用向量的夹角公式求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）已知，为单位向量，夹角为120°，故4+2+1＝7，故；
同理9﹣6+4＝7，故；
（Ⅱ）由已知条件得：6﹣2，
故，
由于，
故．
【点评】本题考查的知识点：向量的夹角运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
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