【期末热点.重难点】二倍角的三角函数公式（含解析）2024-2025学年北师大版（2019）必修第二册数学高一下册

期末热点.重难点 二倍角的三角函数公式
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 遵义期末）若角α满足tanα＝﹣2，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 广东校级期末）已知α为直线y＝2x﹣1的倾斜角，则tan2α＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 通辽校级期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 河南期末）若，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 龙岗区校级期末）设P（﹣4，3）是角α终边上的一点，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 永寿县校级期末）已知函数，则（　　）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）的最小正周期为π
C．f（x）的图象关于直线x＝π对称
D．f（x）的最大值为
（多选）7．（2024秋 盐津县期末）已知α∈（0，π），，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．sin
C． D．
（多选）8．（2024秋 哈尔滨校级期末）已知f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小正周期是π
C．f（x）最大值为2
D．将y＝cosx的图象经过纵坐标不变，横坐标缩短原来的2倍得到函数f（x）＝cos2x﹣sin2x图象
（多选）9．（2024秋 河南期末）若函数，则（　　）
A．f（x）在上单调递增
B．f（x）的图象关于点对称
C． m∈（0，+∞），为定值
D．函数的图象关于点（﹣π，0）对称
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 广州期末）方程sinx＝cos2x在[0，3π]上的实数解之和为　 　．
11．（2024秋 通州区期末）已知角α为第二象限角，且cos，则sinα＝ 　 　；cos2α＝ 　 　．
12．（2024秋 益阳期末）若tanα＝2，则 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 常德校级期末）计算：
（1）已知，求sin2α﹣cos2α的值．
（2）求的值．
14．（2024秋 通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（，）．
（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；
（Ⅱ）若角β的终边与角α的终边关于原点对称，且与单位圆交于点Q．
（i）求点Q的坐标；
（ii）求tan2β的值．
15．（2024秋 陕西校级期末）已知，．
（1）求sinθ的值；
（2）求cos2θ﹣sin2θ的值．
期末热点.重难点 二倍角的三角函数公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 遵义期末）若角α满足tanα＝﹣2，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】借助二倍角公式与同角三角函数基本关系，将弦化为切后计算即可得．
【解答】解：由题意角α满足tanα＝﹣2，
所以cos2α＝cos2α﹣sin2α
．
故选：C．
【点评】本题考查了二倍角公式与同角三角函数基本关系在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2．（2024秋 广东校级期末）已知α为直线y＝2x﹣1的倾斜角，则tan2α＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求二倍角的三角函数值；直线的倾斜角．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得tanα＝2，再利用正切的二倍角公式即可得到结果．
【解答】解：由题意得tanα＝2，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，还考查了二倍角公式，属于基础题．
3．（2024秋 通辽校级期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式，计算即可求得结果．
【解答】解：∵，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于中档题．
4．（2024秋 河南期末）若，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】首先将已知等式进行化简，得到关于sinαcosα的表达式，再利用二倍角公式求出sin2α的值．
【解答】解：由可得，即，则，
两边同时平方得：cos2α﹣2sinαcosα+sin2α＝3sin2αcos2α，即3sin2αcos2α+2sinαcosα﹣1＝0，
解得或﹣1，当sin时，；
当sinαcosα＝﹣1时，sin2α＝2sinαcosα＝﹣2，由于sin2α∈[﹣1，1]，这种情况舍去，
综上，sin2．
故选：D．
【点评】本题考查了倍角公式以及同角的平方关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
5．（2024秋 龙岗区校级期末）设P（﹣4，3）是角α终边上的一点，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求二倍角的三角函数值；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可求tanα的值，进而利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为P（﹣4，3）是角α终边上的一点，
所以tanα，
则sin2α．
故选：C．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 永寿县校级期末）已知函数，则（　　）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）的最小正周期为π
C．f（x）的图象关于直线x＝π对称
D．f（x）的最大值为
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AD
【分析】先用二倍角公式化简，再利用函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：，
则，
所以f（x）为奇函数，A正确；
，
所以f（x）的最小正周期不是π，B不正确；
，
所以f（x）的图象不关于直线x ＝π对称，C不正确；
，
显然f（x）＝f（x+2π），且f（0）＝f（π） ＝0，
当x∈（0，π）时，，
由0＜sinx≤1，得，
所以f（x），
当x∈（π，2π）时，f（x）＜0，所以f（x）的最大值为，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查三角函数性质，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 盐津县期末）已知α∈（0，π），，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．sin
C． D．
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AB
【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数与二倍角公式求解．
【解答】解：已知α∈（0，π），，
又sin2α+cos2α＝1，
则，
即，，
对于A，sin2α＝2sinαcosα，
即A正确；
对于B，，
即B正确；
对于C，cos2α＝1﹣2sin2α，
即C错误；
对于D，，
即D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数与二倍角公式，属中档题．
（多选）8．（2024秋 哈尔滨校级期末）已知f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小正周期是π
C．f（x）最大值为2
D．将y＝cosx的图象经过纵坐标不变，横坐标缩短原来的2倍得到函数f（x）＝cos2x﹣sin2x图象
【考点】二倍角的三角函数的逆用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AB
【分析】先利用余弦的二倍角公式化简f（x），再根据余弦函数的图象和性质、伸缩变换的概念逐一判断即可．
【解答】解：因为f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，
选项A：f（x）＝cos2x是偶函数，正确；
选项B：f（x）＝cos2x的最小正周期T＝π，正确；
选项C：f（x）＝cos2x的最大值为1，错误；
选项D：将y＝cosx的图象经过纵坐标不变，横坐标缩短原来的得到函数f（x）＝cos2x图象，错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了三角函数的奇偶性，周期性的判断，还考查了余弦函数最值的求解，三角函数图像的变换，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 河南期末）若函数，则（　　）
A．f（x）在上单调递增
B．f（x）的图象关于点对称
C． m∈（0，+∞），为定值
D．函数的图象关于点（﹣π，0）对称
【考点】二倍角的三角函数；正弦函数的单调性；两角和与差的三角函数．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】结合同角平方关系及二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：，
若，则，
则f（x）在上单调递增，A正确；
因为f（x）的图象的对称中心在直线上，所以f（x）的图象不关于点对称，B错误；
因为，，
所以，又，
所以m∈（0，+∞），为定值，C正确；
设，因为，
所以g（x）的图象关于点（﹣π，0）对称，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 广州期末）方程sinx＝cos2x在[0，3π]上的实数解之和为　　．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解．
【解答】解：由sinx＝cos2x得sinx＝1﹣2sin2x，解得sinx＝﹣1或，
因为x∈[0，3π]，所以或或或或，
所以方程sinx＝cos2x在区间[0，π]上的解集为．
它们的和为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
11．（2024秋 通州区期末）已知角α为第二象限角，且cos，则sinα＝ 　　；cos2α＝ 　　．
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】利用正余弦的平方关系以及余弦的倍角公式化简即可求解．
【解答】解：由题意可得sin；
cos21﹣2．
故答案为：．
【点评】本题考查了倍角公式以及同角的平方关系的应用，属于基础题．
12．（2024秋 益阳期末）若tanα＝2，则 　　．
【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】利用同角的三角函数关系，求解即可．
【解答】解：因为tanα＝2，所以cosα≠0，
所以
．
故答案为：．
【点评】本题考查了同角的三角函数关系应用问题，是基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 常德校级期末）计算：
（1）已知，求sin2α﹣cos2α的值．
（2）求的值．
【考点】求二倍角的三角函数值；求两角和与差的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正切的和角公式求出tanα的值，再利用正弦的倍角公式以及弦化切化简即可求解；（2）利用正弦的倍角公式以及两角和与差的三角函数公式化简即可求解．
【解答】解：（1）由可得：，解得tanα，
所以sin2α﹣cos2α；
（2）原式
2cos（15°+30°）＝2cos45．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦公式和化一公式的应用，属于基础题．
14．（2024秋 通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（，）．
（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；
（Ⅱ）若角β的终边与角α的终边关于原点对称，且与单位圆交于点Q．
（i）求点Q的坐标；
（ii）求tan2β的值．
【考点】求二倍角的三角函数值；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（）；（ii）．
【分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义求出sinα，cosα的值，进而可以求解；（Ⅱ）（i）利用对称性即可求出Q的坐标；（ii）利用三角函数的定义求出tanβ的值，再利用正切的倍角公式化简即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得sinα，
所以；
（Ⅱ）（i）由题意可得点Q的坐标为（）；
（ii）由（i）可得tan，
所以tan2．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及正切的倍角公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
15．（2024秋 陕西校级期末）已知，．
（1）求sinθ的值；
（2）求cos2θ﹣sin2θ的值．
【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系得，化简后根据平方关系得4sinθ﹣1＝0，即可求解sinθ的值；
（2）根据同角三角函数的平方关系，结合角的象限得，再利用二倍角的正弦公式、余弦公式求值即可．
【解答】解：（1）已知，．
则，
则4sinθ﹣sin2θ﹣cos2θ＝0，
即4sinθ﹣（sin2θ+cos2θ）＝0，
即4sinθ﹣1＝0，
解得．
（2）由（1）知，
又，
所以，
所以cos2θ﹣sin2θ＝1﹣2sin2θ﹣2sinθcosθ．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了二倍角的正弦公式、余弦公式，属中档题．
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