【期末热点.重难点】函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象（含解析）2024-2025学年北师大版（2019）必修第二册数学高一下册

期末热点.重难点 函数y＝Asin(ωx+φ)的性质与图象
一．选择题（共5小题）
1．（2025 九江一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的值可能是（　　）
A．5 B．8 C．11 D．13
2．（2024秋 西安期末）将函数f（x）＝sinx图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数图象的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 通州区期末）已知函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜π）的图象关于原点对称，且f（）＝﹣1，将f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为g（x），则（　　）
A．g（x）＝sinx B．g（x）＝2sinx
C．g（x）＝sin（x） D．g（x）＝2sin（2x）
4．（2024秋 市北区校级期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（　　）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
5．（2025 株洲一模）已知三个电流瞬时值的函数表达式为I1（t）＝sint，I2（t）＝sin（t+φ），I3（t）＝sin（t+2φ），φ∈（0，π），它们合成后的电流瞬时值的函数为I（t）＝I1（t）+I2（t）+I3（t）的部分图象如图所示，则I（t）的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
二．多选题（共5小题）
（多选）6．（2024秋 安徽校级期末）关于函数，下列说法正确的有（　　）
A．函数f（x）与函数的图象重合
B．函数f（x）的最大值为1
C．函数f（x）的图象关于点中心对称
D．函数f（x）在区间内单调递减
（多选）7．（2024秋 沧州期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．g（x）＝2sin2x
B．
C．g（x）的图象关于直线对称
D．g（x）的图象关于直线对称
（多选）8．（2024秋 扬州期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）的图象可由函数y＝2sinx的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到
D．若f（x1）＝f（x2），则x1＝x2+kπ（k∈Z）
（多选）9．（2024秋 杭州校级期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．f（x）向右平移个单位得到的图象关于x＝0对称
D．若函数f（λx）（λ＞0）在[0，π]上没有零点，则
（多选）10．（2025 湖北模拟）已知函数f（x）＝sin2x，若将f（x）的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．g（x）的图象关于点对称
C．g（x）的图像关于直线对称
D．g（x）的图像与f（x）的图像在[0，2π]内有4个交点
三．填空题（共2小题）
11．（2024秋 仓山区校级期末）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）在区间上的值域为　 　．
12．（2025 安徽模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．若在△BCD中，，则△BCD面积的最大值为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 海淀区校级期末）已知函数，且f（x）在区间上单调．请在下面三个条件中再选两个，回答下面两个问题：
① x∈R，；②f（x）关于点对称；③f（x）关于对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若（1）中所求f（x）在[0，m]上有唯一零点，求实数m的取值范围．
14．（2024秋 福州期末）已知函数f（x）＝2sinx．
（1）根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数f（x）在[0，2π]的图象；
x 0 2π
y 0
（2）将y＝f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y＝g（x）的图象，求g（x）的解析式，并写出曲线y＝g（x）的一个对称中心．
15．（2024秋 安徽校级期末）已知函数．
（1）若，求f（x）的值域和单调递增区间；
（2）将f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式和它的对称轴．
期末热点.重难点 函数y＝Asin(ωx+φ)的性质与图象
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 九江一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的值可能是（　　）
A．5 B．8 C．11 D．13
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】由函数的平移及三角函数的性质可得关于ω的方程，解得答案．
【解答】解：将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为y＝sin[ω（x）]＝sin（ωxω]，
而函数y的图象关于y轴对称，所以ωkπ，k∈Z，
解得ω＝1+6k，k∈Z，
只有当k＝2时，ω＝13，即D正确，其它都不正确．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
2．（2024秋 西安期末）将函数f（x）＝sinx图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数图象的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】根据三角函数图象变换的知识来确定正确答案．
【解答】解：将函数f（x）＝sinx图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到函数图象解析式：．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：函数图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3．（2024秋 通州区期末）已知函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜π）的图象关于原点对称，且f（）＝﹣1，将f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为g（x），则（　　）
A．g（x）＝sinx B．g（x）＝2sinx
C．g（x）＝sin（x） D．g（x）＝2sin（2x）
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意可得f（x）为奇函数，结合诱导公式算出φ＝0，f（x）＝Asin2x，然后根据f（）＝﹣1列式算出A＝1，进而根据三角函数图象的变换公式求出答案．
【解答】解：根据f（x）的图象关于原点对称，可知f（x）为奇函数，
所以φ＝kπ，k∈Z，结合|φ|＜π可得φ＝0，f（x）＝Asin2x，
由f（）＝﹣1，可得Asin1，解得A＝1，所以f（x）＝sin2x，
将f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
得到的图象对应的解析式为f（）＝sinx，即g（x）＝sinx，A项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式、三角函数图象的变换公式等知识，属于中档题．
4．（2024秋 市北区校级期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（　　）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】利用三角函数的平移规则即可得解．
【解答】解：将f（x）进行化简，即可得到，
根据三角函数的性质，，
故将f（x）的图象向左平移个单位可得到g（x）的图象．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的平移规则，属于基础题．
5．（2025 株洲一模）已知三个电流瞬时值的函数表达式为I1（t）＝sint，I2（t）＝sin（t+φ），I3（t）＝sin（t+2φ），φ∈（0，π），它们合成后的电流瞬时值的函数为I（t）＝I1（t）+I2（t）+I3（t）的部分图象如图所示，则I（t）的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】先化简I（t）＝I1（t）+I2（t）+I3（t）为I（t）＝（2cosφ+1）sin（t+φ），再根据函数图象求出参数，进而写出I（t）解析式即可．
【解答】解：由题意知I1（t）＝sint，I2（t）＝sin（t+φ），I3（t）＝sin（t+2φ），
可得I（t）＝I1（t）+I2（t）+I3（t）
＝sint+sin（t+φ）+sin（t+2φ）
＝sint+sin（t+φ）+sintcos2φ+costsin2φ
＝sint（1+cos2φ）+sin（t+φ）+costsin2φ
＝2sintcos2φ+sin（t+φ）+2costsinφcosφ
＝2cosφ（sintcosφ+costsinφ）+sin（t+φ）
＝2cosφsin（t+φ）+sin（t+φ）
＝（2cosφ+1）sin（t+φ），
根据图象知，，
可得直线是I（t）的一条对称轴，且是最大值，
可得，解得，
又φ∈（0，π），
可得，
可得，
可得I（t）的最大值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换，由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
（多选）6．（2024秋 安徽校级期末）关于函数，下列说法正确的有（　　）
A．函数f（x）与函数的图象重合
B．函数f（x）的最大值为1
C．函数f（x）的图象关于点中心对称
D．函数f（x）在区间内单调递减
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据诱导公式可判断A；根据余弦型函数的最大值可判断B；利用代入检验法判断对称中心可判断C；整体代入法求出f（x）的单调递减区间，令k＝0可判断D．
【解答】解：函数，
对于A：，故A正确；
对于B：函数f（x）的最大值为2，故B错误；
对于C：因为，所以函数f（x）的图像不关于点中心对称，故C不正确；
对于D：令，解得，
令k＝0可知函数f（x）在区间内单调递减，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 沧州期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．g（x）＝2sin2x
B．
C．g（x）的图象关于直线对称
D．g（x）的图象关于直线对称
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据三角函数的图象平移变换得出g（x）的解析式，再判断选项中命题是否正确即可．
【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度，得y＝f（x）＝2sin[2（x）]＝2sin（2x）的图象，
所以函数g（x）＝2sin（2x），选项A错误，选项B正确；
因为g（）＝2sin[2×（）]＝﹣2sin1，所以g（x）的图象不关于直线x对称，选项C错误；
由g（）＝2sin[2×（）]＝﹣2，所以g（x）的图象关于直线x对称，选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
（多选）8．（2024秋 扬州期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）的图象可由函数y＝2sinx的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到
D．若f（x1）＝f（x2），则x1＝x2+kπ（k∈Z）
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性和对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据函数的最大值与最小值算出A＝2，利用三角函数的周期公式算出ω＝2，然后根据当x时函数有最大值2，列式算出φ的值，进而可得f（x）的解析式，接下来运用正弦函数的图象与性质、三角函数图象的变换公式，对各项中的结论依次加以验证，可得正确答案．
【解答】解：由f（x）的最大值为2，最小值为﹣2，可得A＝2．
因为f（x）的周期Tπ，所以，解得ω＝2，
根据x时，f（x）取得最大值为2，可得，k∈Z．
结合|φ|，取k＝0得φ，所以f（x）＝2sin（2x）．
对于A，由前面的分析可知φ，所以A项正确；
对于B，当x时，f（）＝2sin2π＝0，不是最大值或最小值，
所以f（x）的图象不关于直线x对称，故B项不正确；
对于C，函数y＝2sinx的图象向左平移个单位长度，可得到y＝2sin（x）的图象，
然后将所得图象上点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
可得到y＝2sin（2x）的图象，即y＝f（x）的图象，故C项正确；
对于D，若f（x1）＝f（x2），则2x12x22kπ或2x1π﹣（2x2）+2kπ，k∈Z．
可得x1＝x2+kπ或x1x2+kπ，k∈Z，故D项不正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式、正弦函数的图象与性质、三角函数图象的变换公式等知识，属于中档题．
（多选）9．（2024秋 杭州校级期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．f（x）向右平移个单位得到的图象关于x＝0对称
D．若函数f（λx）（λ＞0）在[0，π]上没有零点，则
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象求出解析式，再结合正弦函数性质逐项判断即可．
【解答】解：由图象知，函数f（x）的周期满足，可得T＝π，解得ω＝2，
又，得，且函数在x处单调递减，则φ＝π+2kπ，k∈Z，而，解得，
由，解得A＝2，因此，
对于A，，所以A正确；
对于B，因为2×（）π，所以2sin（﹣π）＝0，所以函数f（x）的图象关于点对称，所以B正确；
对于C，y＝f（x）＝2sin[2（x）]＝2sin（2x），
因为2×0kπ，k∈Z，所以函数f（x）的图象不关于x＝0对称，所以C错误；
对于D，f（λx）的图象是由f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到的，
由函数f（x）在（0，上没有零点，得f（λx）在（0，上没有零点，则，解得，即λ∈（0，），所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
（多选）10．（2025 湖北模拟）已知函数f（x）＝sin2x，若将f（x）的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．g（x）的图象关于点对称
C．g（x）的图像关于直线对称
D．g（x）的图像与f（x）的图像在[0，2π]内有4个交点
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BD
【分析】结合函数图象的平移及伸缩变换求出g（x），然后结合正弦函数的性质检验各选项即可求解．
【解答】解：将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数g（x）＝sin（x），A错误；
因为g（）＝0，即g（x）的图象关于点对称，B正确；
因为g（）＝sin，函数g（x）的图像不关于直线对称，C错误；
令f（x）＝g（x），则sin2x＝sin（x），
所以2x＝x2kπ或2x＝π﹣（x）+2kπ，k∈Z，
解得x2kπ或xkπ，k∈Z，
因为x∈[0，2π]，
所以x，，，共4个，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了三角函数图象的变换，还考查了正弦函数对称性的应用，属于中档题．
三．填空题（共2小题）
11．（2024秋 仓山区校级期末）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）在区间上的值域为　　．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】求出函数g（x）的解析式，再利用余弦函数的性质求出值域．
【解答】解：依题意，，
当时，，则，
所以g（x）在区间上的值域为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，余弦形函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12．（2025 安徽模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．若在△BCD中，，则△BCD面积的最大值为 　　．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】结合周期先求出ω，结合特殊点求出φ，结合最值求A，进而可得f（x）及B，然后结合余弦定理及三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵，∴ω＝2，
又，∴．
又，∴A＝2．
∵，∴，又0＜B＜π，∴，
设角B，C，D的对边为b，c，d，则b2＝c2+d2﹣cd 2cd﹣cd，当且仅当时等号成立．
∴cd 3，
∴，
∴△BCD面积最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数性质在y＝Asin（ωx+φ）的解析式求解中的应用，还考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 海淀区校级期末）已知函数，且f（x）在区间上单调．请在下面三个条件中再选两个，回答下面两个问题：
① x∈R，；②f（x）关于点对称；③f（x）关于对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若（1）中所求f（x）在[0，m]上有唯一零点，求实数m的取值范围．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解；结构不良题．
【答案】（1）选择①②或①③或②③，都可求得f（x）＝2sin（2x）；
（2）[，）．
【分析】（1）选择①②，根据三角函数的周期公式算出ω的值，结合x时f（x）取得最大值，列式算出f（x）的解析式；
选择①③，根据f（x）相邻的最值点算出周期T，从而求得ω的值，结合x时f（x）取得最大值，列式算出f（x）的解析式；
选择②③，根据f（x）图象的对称中心到相邻对称轴的距离算出周期T，结合f（）＝0列式算出f（x）的解析式．
（2）根据f（x）的解析式，求出x∈[0，m]时，ωx+φ∈[，2m]，利用正弦函数的图象与性质，结合题意建立关于m的不等式，解之即可得到实数m的取值范围．
【解答】解：（1）根据f（x）在区间上单调，可知f（x）的周期T≥2（）．
若选择①②，则f（）是f（x）的最大值，且f（）＝0，
结合f（x）的周期T，可知，解得T＝π，故ω2，
由2φ2kπ，k∈Z，且|φ|，解得φ，所以f（x）＝2sin（2x）；
若选择①③，则f（）是f（x）的最大值，且f（x）图象关于对称．
结合f（x）在区间上单调，可知f（x）在[，]上为减函数，f（）是f（x）的最小值．
所以f（x）的周期T＝2（）＝π，故ω2．
由2φ2kπ，k∈Z，且|φ|，解得φ，所以f（x）＝2sin（2x）；
若选择②③，则f（）＝0，且f（x）图象关于对称．
结合f（x）在区间上单调，可知f（x）的周期T满足，解得T＝π，故ω2．
可得f（x）＝2sin（2x+φ），根据f（）＝0可知 2φ＝kπ，k∈Z，
结合|φ|，取k＝1解得φ，所以f（x）＝2sin（2x）．
（2）由（1）得f（x）＝2sin（2x），当x∈[0，m]时，2x∈[，2m]．
若f（x）在[0，m]上有唯一零点，
则π≤2m2π，解得m，即实数m的取值范围是[，）．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式、正弦函数的图象与性质、函数的零点及其应用等知识，属于中档题．
14．（2024秋 福州期末）已知函数f（x）＝2sinx．
（1）根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数f（x）在[0，2π]的图象；
x 0 2π
y 0
（2）将y＝f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y＝g（x）的图象，求g（x）的解析式，并写出曲线y＝g（x）的一个对称中心．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；函数解析式的求解及常用方法；五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）表格见解析，作图见解析；
（2），一个对称中心为．
【分析】（1）完善题干的表格，应用五点法画出函数图象；
（2）根据函数图象的平移写出解析式，再由正弦型函数的性质及整体法求对称中心．
【解答】解：（1）列表得
x 0 π 2π
y 0 2 0 ﹣2 0
再描点，得图象如下，
（2）将y＝f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象，
再将其各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得到的图象，故g（x）的解析式为．
由，故函数g（x）图象的一个对称中心为．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（2024秋 安徽校级期末）已知函数．
（1）若，求f（x）的值域和单调递增区间；
（2）将f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式和它的对称轴．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1），；（2），对称轴为．
【分析】（1）求出即可求出值域，利用正弦函数的递增区间可求得函数f（x）的递增区间；
（2）利用图象变换规律求出g（x）的解析式，再利用三角函数的性质求解．
【解答】解：（1）函数，因为，所以，
所以f（x）的值域是，
因为y＝sint在的单调递增区间是，
，
所以f（x）的单调递增区间为．
（2）f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的可得，
的图象上所有点的纵坐标变为原来两倍可得；
因为y＝sint的对称轴是，
所以令，k∈Z，
所以f（x）的对称轴为．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
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