【期末热点.重难点】弧度制（含解析）2024-2025学年北师大版（2019）必修第二册数学高一下册

期末热点.重难点 弧度制
一．选择题（共6小题）
1．（2024秋 广东期末）在半径为4的圆中，弧长为3π的弧所对的圆心角为（　　）
A．45° B．90° C．120° D．135°
2．（2024秋 泉州期末）《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题．弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分所示）．有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为（　　）
（参考数据：sin1≈0.8）
A．10 B．12.5 C．13 D．26
3．（2024秋 深圳期末）已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 佛山期末）已知某扇形的弧长和面积数值均为2sin2，则该扇形的圆心角（正角）为（　　）
A． B．sin2 C．1 D．2
5．（2024秋 沙坪坝区校级期末）已知扇形的周长为6，则该扇形的面积最大值为（　　）
A． B． C．2 D．1
6．（2024秋 泗阳县期末）已知扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）7．（2024秋 铜仁市期末）在平面直角坐标系中，角α、β的终边与单位圆O分别交于点A、B，下列说法正确的是（　　）
A．若A、B两点重合，则α＝β
B．若α为第一象限角，则为第一或第三象限角
C．若，，则扇形AOB的面积为
D．若α+β＝π，则sinα＝sinβ
（多选）8．（2024秋 张家界期末）下列说法中正确的是（　　）
A．﹣π＝﹣180°
B．第一象限角都是锐角
C．一个扇形半径扩大一倍，圆心角减小一半，则面积不变
D．终边在直线y＝﹣x上的角的集合是
（多选）9．（2024秋 常德期末）已知某扇形纸片的周长和圆心角分别为44和2，则（　　）
A．该扇形纸片的半径为12
B．该扇形纸片的半径为11
C．该扇形纸片的面积为121
D．该扇形纸片的面积为125
（多选）10．（2024秋 定西期末）下列说法错误的是（　　）
A．若α终边上一点的坐标为（3k，4k）（k≠0），则
B．若角α为锐角，则2α为钝角
C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
D．若，且0＜α＜π，则
三．填空题（共3小题）
11．（2024秋 福州期末）已知弧AB的长为2πcm，其所对的圆心角，则OA＝ 　 　cm．
12．（2024秋 宝山区校级期末）半径为2的扇形面积为8，则其圆心角的弧度数是 　 　．
13．（2024秋 黔东南州期末）已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为4π，则这个扇形的面积为 　 　．
四．解答题（共2小题）
14．（2024秋 仓山区校级期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA＝OD．
（1）若∠BOP＝α，求线段AB的长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值．
15．（2024秋 哈尔滨校级期末）已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l．
（1）若α＝45°，r＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角．
期末热点.重难点 弧度制
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2024秋 广东期末）在半径为4的圆中，弧长为3π的弧所对的圆心角为（　　）
A．45° B．90° C．120° D．135°
【考点】弧长公式．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】D
【分析】根据弧长公式和弧度与角度的转换计算．
【解答】解：根据弧长公式可得：圆心角为．
故选：D．
【点评】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．
2．（2024秋 泉州期末）《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题．弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分所示）．有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为（　　）
（参考数据：sin1≈0.8）
A．10 B．12.5 C．13 D．26
【考点】扇形面积公式．
【专题】转化思想；定义法；解三角形；运算求解．
【答案】C
【分析】用扇形的面积减去三角形的面积来求得正确答案．
【解答】解：由题意，，
所以，
又扇形的半径，面积为，
则三角形的面积为，
所以弧田的面积约为25﹣12＝13．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的弧长公式及面积公式，属基础题．
3．（2024秋 深圳期末）已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】根据弧度和角度的换算得到，然后利用弧长公式和扇形面积公式计算．
【解答】解：由题意，扇形的圆心角，
设扇形的半径为r，
由扇形的弧长，
所以r＝2，
所以该扇形的面积为．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．
4．（2024秋 佛山期末）已知某扇形的弧长和面积数值均为2sin2，则该扇形的圆心角（正角）为（　　）
A． B．sin2 C．1 D．2
【考点】扇形面积公式．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】B
【分析】根据扇形的弧长、面积公式列方程组来求得正确答案．
【解答】解：根据题意，某扇形的弧长和面积数值均为2sin2，
设圆心角为α，半径为r，
则，解得r＝2，α＝sin2．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的弧长、面积公式，属于基础题．
5．（2024秋 沙坪坝区校级期末）已知扇形的周长为6，则该扇形的面积最大值为（　　）
A． B． C．2 D．1
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式及基本不等式求出结果．
【解答】解：由于扇形的周长为6，
所以2r+l＝6，
故S扇形 l r 2 l r （）232，当且仅当2r＝l时等号成立，
则该扇形的面积最大值为．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：扇形的周长公式和面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
6．（2024秋 泗阳县期末）已知扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积公式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】利用扇形面积公式即可求解．
【解答】解：由已知可得r＝2，，
则扇形的面积为S．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）7．（2024秋 铜仁市期末）在平面直角坐标系中，角α、β的终边与单位圆O分别交于点A、B，下列说法正确的是（　　）
A．若A、B两点重合，则α＝β
B．若α为第一象限角，则为第一或第三象限角
C．若，，则扇形AOB的面积为
D．若α+β＝π，则sinα＝sinβ
【考点】扇形面积公式；任意角的三角函数的定义．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】BCD
【分析】选项AB：根据终边相同角的定义即可判断；C：利用扇形面积公式即可判断；D：利用诱导公式即可判断求解．
【解答】解：A：若A，B重合，则α＝β+2kπ，k∈Z，故A错误；
B：由可得：k，
当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角，故B正确；
C：由题意可得扇形AOB的圆心角为，扇形半径为1，则扇形面积为S，故C正确；
D：由题意可得α＝π﹣β，则sinα＝sin（π﹣β）＝sinβ，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了终边相同角的定义以及扇形面积公式，涉及到诱导公式的应用，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 张家界期末）下列说法中正确的是（　　）
A．﹣π＝﹣180°
B．第一象限角都是锐角
C．一个扇形半径扩大一倍，圆心角减小一半，则面积不变
D．终边在直线y＝﹣x上的角的集合是
【考点】扇形面积公式；弧度制．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用弧度制与角度制互换判断A；举例说明判断B；利用扇形面积公式计算判断C；求出角的集合判断D．
【解答】解：对于A，由π＝180°，得﹣π＝﹣180°，故A正确；
对于B，是第一象限角，而它不是锐角，故B错误；
对于C，设原扇形半径为r，所对圆心角为α，则该扇形面积，
变换后的扇形半径为2r，圆心角为，对应扇形面积，故C错误；
对于D，终边为射线y＝﹣x（x≥0）的角集合为，终边为射线y＝﹣x（x≤0）的角集合为，因此终边在直线y＝﹣x上的角的集合为{α|α＝kπ}，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了扇形面积公式以及终边相同角的集合表示，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
（多选）9．（2024秋 常德期末）已知某扇形纸片的周长和圆心角分别为44和2，则（　　）
A．该扇形纸片的半径为12
B．该扇形纸片的半径为11
C．该扇形纸片的面积为121
D．该扇形纸片的面积为125
【考点】扇形面积公式；弧长公式．
【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】BC
【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，然后根据已知以及弧长公式建立方程，由此求出扇形半径，进而求出扇形面积，由此即可判断各个选项．
【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，
则由已知可得2r+l＝44，且α＝2，又l＝αr，解得r＝11，l＝22，故A错误，B正确；
扇形的面积为S121，故C正确，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了扇形面积公式以及弧长公式的应用，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 定西期末）下列说法错误的是（　　）
A．若α终边上一点的坐标为（3k，4k）（k≠0），则
B．若角α为锐角，则2α为钝角
C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
D．若，且0＜α＜π，则
【考点】扇形面积公式；任意角的三角函数的定义；命题的真假判断与应用；任意角的概念．
【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】AB
【分析】由三角函数的定义可判断A；取可判断B；由扇形的面积公式可判断C；对两边同时平方可得，可得或，再由|sinα|＞|cosα|可判断D．
【解答】解：对于A，（3k，4k）（k≠0）到原点的距离为r＝5|k|，
若r＞0时，；若r＜0时，，选项A错误；
对于B，若为锐角，所以选项B错误；
对于C，设扇形的半径为r，则，解得：r＝3，
所以扇形面积，选项C正确；
对于D，因为，则，
所以，
所以，解得或．
因为，，且0＜α＜π，
所以|sinα|＞|cosα|，所以，选项D正确．
故选：AB．
【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2024秋 福州期末）已知弧AB的长为2πcm，其所对的圆心角，则OA＝ 　6　cm．
【考点】弧长公式．
【专题】对应思想；数学模型法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】6．
【分析】将已知的弧长和圆心角代入弧长公式，求出半径．
【解答】解：已知弧AB的长为2πcm，其所对的圆心角，
根据弧长公式可得，即，
则OA＝6cm．
故答案为：6．
【点评】本题考查弧长公式的应用，是基础题．
12．（2024秋 宝山区校级期末）半径为2的扇形面积为8，则其圆心角的弧度数是 　4　．
【考点】扇形面积公式．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】4．
【分析】直接根据扇形的面积公式和弧长公式求解即可．
【解答】解：已知半径为2的扇形面积为8，
设圆心角的弧度数为α，半径为r，面积为S，
又，
则α＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了扇形的面积公式和弧长公式，属基础题．
13．（2024秋 黔东南州期末）已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为4π，则这个扇形的面积为 　12π　．
【考点】扇形面积公式．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】12π．
【分析】利用弧度制下扇形的弧长、面积公式计算即可．
【解答】解：已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为4π，
设扇形半径为r，且，
根据弧长公式，
则r＝6，
又，
所以扇形的面积为12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查了扇形的弧长公式及面积公式，属基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2024秋 仓山区校级期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA＝OD．
（1）若∠BOP＝α，求线段AB的长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值．
【考点】扇形面积公式；弧长公式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用三角函数的关系的应用求出AB的长；
（2）利用矩形的面积和三角函数关系式的变换的和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（1）∵且OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴，
又四边形ABCD为矩形，，
∴
在扇形OPQ中，半径OP＝1．
过B作OP的垂线，垂足为N，
∴BN＝OBsinα＝sinα，
在△ABN中
（2）矩形ABCD面积S＝|AB∥AD|，设∠BOP＝α，
由（1）可知|AB|＝2sinα，|BN|，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴当，
即时，矩形ABCD面积取最大值，
最大值为．
【点评】本题考查的知识要点：解三角形知识的应用，矩形的面积公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
15．（2024秋 哈尔滨校级期末）已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l．
（1）若α＝45°，r＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角．
【考点】扇形面积公式；弧长公式．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；
（2）弧度．
【分析】（1）由扇形的弧长公式即可求解；
（2）由扇形的周长和面积公式即可求解．
【解答】解：（1）因为弧度，
所以；
（2）由题意得，
解得（舍去）或，
故扇形圆心角为弧度．
【点评】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，考查了方程思想，属于基础题．
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