【期末热点.重难点】两角和与差的三角函数公式（含解析）2024-2025学年北师大版（2019）必修第二册数学高一下册

期末热点.重难点 两角和与差的三角函数公式
一．选择题（共5小题）
1．（2025 江西模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 嘉兴模拟）已知α，β∈（0，），sin2α＝msin2β，tan（α+β）＝ntan（α﹣β），则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 拱墅区校级期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 湛江校级期末）已知，则（　　）
A． B．﹣3 C．3 D．
5．（2024秋 沧州期末）已知0＜α＜π，，且tanα＝2，cos（α+β），则tanβ＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 通辽校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则cos（2α+2β）
B．若α为第三象限角，则
C．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4．
D．“”是“”的充分不必要条件
（多选）7．（2025 安顺模拟）对于任意角α，β，下列结论正确的是（　　）
A．（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2＝2﹣2cos（α﹣β）
B．sin（α+β）sin（α﹣β）＝sin2α﹣sin2β
C．
D．
（多选）8．（2024秋 通辽校级期末）下列等式成立的有（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）9．（2024秋 丽水期末）如图所示，在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点．若点A的横坐标为，点B的纵坐标为，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 庐阳区校级期末）已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则ω的取值范围是 　 　．
11．（2024秋 河南期末）若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）＝ 　 　．
12．（2024秋 仓山区校级期末）已知，若sin（α+β）＝2cosβ，则tan（α+β）＝　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 安庆期末）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2）．
（1）求的值；
（2）若β为锐角，且，求cosβ．
14．（2024秋 通辽校级期末）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期、对称中心和f（x）的单调递减区间；
（2）当时，求函数f（x）的最小值及取得最小值时x的值．
15．（2024秋 西安期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）讨论函数f（x）在区间[0，π]上的单调性；
（3）当x∈[0，π]时，求不等式的解集．
期末热点.重难点 两角和与差的三角函数公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 江西模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数；运用诱导公式化简求值．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合诱导公式及和差角公式进行化解即可求解．
【解答】解：∵，
由诱导公式可得，，
由和差角公式可得，，
则cosα＝sinα，
可得tanα＝1，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了诱导公式，和差角公式的应用，属于基础题．
2．（2025 嘉兴模拟）已知α，β∈（0，），sin2α＝msin2β，tan（α+β）＝ntan（α﹣β），则（　　）
A． B． C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值；二倍角的三角函数．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
【解答】解：已知α，β∈（0，），sin2α＝msin2β，
则sin[（α+β）+（α﹣β）]＝msin[（α+β）﹣（α﹣β）]，
即sin[（α+β）+（α﹣β）]＝msin[（α+β）﹣（α﹣β）]，
即（m﹣1）sin（α+β）cos（α﹣β）＝（m+1）cos（α+β）sin（α﹣β），
即（m﹣1）tan（α+β）＝（m+1）tan（α﹣β），
又tan（α+β）＝ntan（α﹣β），
则，
则，
即选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
3．（2024秋 拱墅区校级期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果．
【解答】解：因为，
又，
所以
．
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式以及二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4．（2024秋 湛江校级期末）已知，则（　　）
A． B．﹣3 C．3 D．
【考点】求两角和与差的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系结合题设可得，进而结合两角和的正切公式计算即可．
【解答】解：由，整理得，解得，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（2024秋 沧州期末）已知0＜α＜π，，且tanα＝2，cos（α+β），则tanβ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式即可求解．
【解答】解：因为0＜α＜π，，所以，
因为，所以．，
因为，所以，所以，，
所以tan（α+β﹣α），
则．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 通辽校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则cos（2α+2β）
B．若α为第三象限角，则
C．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4．
D．“”是“”的充分不必要条件
【考点】两角和与差的三角函数；扇形面积公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ACD
【分析】对于A，利用两角和（差）的正弦公式，二倍角的余弦公式求解即可；对于B，假设，即可判断；对于C，根据扇形的面积求出半径，再根据弧长公式求解即可；对于D，根据诱导公式，三角函数的定义即可判断．
【解答】解：对于A，由，得，
又，
所以sinαcosβcosαsinβ，
所以，
所以，故A正确；
对于B，设，满足α为第三象限角，此时，故B错误；
对于C，设扇形的弧长为l，半径为r，
由题意可得，解得r＝2，
可得扇形的弧长为l＝r α＝4，故C正确；
对于D，若，则，
此时，故充分；
若，则或，
即或，故不必要，
所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了两角和（差）的正弦公式，二倍角的余弦公式，诱导公式以及扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于中档题．
（多选）7．（2025 安顺模拟）对于任意角α，β，下列结论正确的是（　　）
A．（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2＝2﹣2cos（α﹣β）
B．sin（α+β）sin（α﹣β）＝sin2α﹣sin2β
C．
D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用同角三角函数的平方关系与两角差的余弦公式可判断选项A；根据两角和差的正弦公式化简可判断选项B和C；根据两角和差的余弦公式化简可判断选项D．
【解答】解：选项A，（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2
＝cos2α+2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+sin2β
＝（cos2α+sin2α）+（cos2β+sin2β）+2（cosαcosβ+sinαsinβ）
＝2+2cos（α﹣β），故选项A错误；
选项B，sin（α+β）sin（α﹣β）＝（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ﹣cosαsinβ）
＝sin2αcos2β﹣cos2αsin2β＝sin2α（1﹣sin2β）﹣（1﹣sin2α）sin2β＝sin2α﹣sin2β，故选项B正确；
选项C，，
，故选项C正确；
选项D，，故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查三角恒等变换公式的应用，熟练掌握两角和差公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 通辽校级期末）下列等式成立的有（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据两角和与差的正弦、余弦、正切公式，可判断A，B，D选项；由二倍角的余弦公式，可判断C选项．
【解答】解：A项，根据正切公式，两角和与差公式，
，
故，故A项正确；
B项，根据两角和与差公式，，故B项错；
C项，，故C项错；
D项，，故D项正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 丽水期末）如图所示，在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点．若点A的横坐标为，点B的纵坐标为，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】两角和与差的三角函数；任意角的三角函数的定义．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ACD
【分析】先求得A，B的坐标，然后根据三角函数的定义、三角恒等变换等知识来确定正确答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点．若点A的横坐标为，点B的纵坐标为，
则，，
又，
所以，
又，
所以，
A选项正确．
，
B选项错误．
，
C选项正确．
cos（2α﹣β）＝cos2αcosβ+sin2αsinβ
＝（cos2α﹣sin2α）cosβ+2sinαcosαsinβ
，
D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了三角函数的定义，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 庐阳区校级期末）已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则ω的取值范围是 　　．
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简f（x），然后根据x即可得出2的范围，然后根据f（x）在上只有一个最大值点和零点即可得出关于ω的不等式，解出ω的范围即可．
【解答】解：，
x，且ω＞0，则，且f（x）在区间上只有一个最大值点和一个零点，
∴，解得，
∴ω的取值范围为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，正弦函数的图象和最大值点，零点的定义，是中档题．
11．（2024秋 河南期末）若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）＝ 　2　．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】2．
【分析】利用两角和的正切公式可得出tanα+tanβ＝tanαtanβ﹣1，由此可求得（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值．
【解答】解：因为，
则，
所以，tanα+tanβ＝tanαtanβ﹣1，
因此，（1﹣tanα）（1﹣tanβ）＝1+tanαtanβ﹣（tanα+tanβ）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
12．（2024秋 仓山区校级期末）已知，若sin（α+β）＝2cosβ，则tan（α+β）＝　　．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】根据给定条件，求出cosα，再利用差角的余弦公式化简得解．
【解答】解：由，
则cosα＞0，
得，
则，
即13sin（α+β）＝6cos（α+β），
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 安庆期末）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2）．
（1）求的值；
（2）若β为锐角，且，求cosβ．
【考点】求两角和与差的三角函数值；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由任意角的三角函数定义求得sinα，cosα的值，再利二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦公式即可求解；
（2）先由，α终边的位置结合β的范围确定α+β是第二象限角，求得cos（α+β），再由cosβ＝cos[（α+β）﹣α]利用两角差的余弦公式求值即可．
【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（1，2），
∴；
∴，
所以，，
∴．
（2）由题意知，又，∴α+β∈（2kπ，π+2kπ），k∈Z，
若，则sin（α+β）＞sinα，
与不符；
∴，即α+β是第二象限角．
于是；
所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的定义，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14．（2024秋 通辽校级期末）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期、对称中心和f（x）的单调递减区间；
（2）当时，求函数f（x）的最小值及取得最小值时x的值．
【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性；正弦函数的单调性；三角函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）π；中心为；；
（2）时，最小值为﹣2．
【分析】（1）利用辅助角公式，二倍角公式进行化简，对应y＝sinx的性质求解即可．
（2）利用整体法的思想，利用y＝sinx的最值进行求解即可．
【解答】解：（1），
则y＝f（x）的最小正周期为．
根据y＝sinx的性质，可令，得，
则y＝f（x）的对称中心为；
令，解得．
因此，y＝f（x）的单调递减区间为；
（2）由于，则，根据三角函数的性质，
当，即时，y＝f（x）取得最小值，最小值为﹣2．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简，考查三角函数的性质，属于中档题．
15．（2024秋 西安期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）讨论函数f（x）在区间[0，π]上的单调性；
（3）当x∈[0，π]时，求不等式的解集．
【考点】两角和与差的三角函数；解一元二次不等式．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）π；
（2）f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
（3）．
【分析】（1）先利用正弦、余弦的二倍角公式和余弦的两角差公式化简f（x），再根据周期公式求解即可；
（2）根据余弦函数的图象和性质求解即可；
（3）令解得或，结合（2）中单调性即可求解．
【解答】解：（1）已知函数，
则f（x）
，
函数f（x）的最小正周期为．
（2）因为函数y＝cosx的单调递增区间为[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z），单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），
由，
解得，
当k＝1时，，
由，
解得，
当k＝0时，；当k＝1时，，
所以函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（3）令，
解得或，
即或，
当x∈[0，π]时，方程的解为或，
结合（2）中单调性的结论知，当时，，
所以当x∈[0，π]时，不等式的解集为．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
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