【期末热点.重难点】平面向量在几何、物理中的应用举例（含解析）2024-2025学年北师大版（2019）必修第二册数学高一下册

期末热点.重难点 平面向量在几何、物理中的应用举例
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 山西月考）四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2024秋 普陀区校级期中）已知点A1，A2， ，An（n∈N，n≥2）均在圆O上，若有，则必有A1，A2， ，An平分圆O．则满足要求的n的个数为（　　）
A．0个 B．仅有1个 C．仅有2个 D．3个或以上
3．（2024春 永州期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（0，1），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，0） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣3）
4．（2024秋 朝阳区校级月考）已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝60°，若（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024春 绵阳期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假统行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为α，下列结论中正确的是（　　）
A．当时，|F1|＝|G|
B．当时，
C．当时，|F1|有最小值
D．α越小越费力，α越大越省力
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 山东期中）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，若O为△ABC的外心，则（　　）
A． B．
C． D．
（多选）7．（2024秋 南山区期中）已知O为坐标原点，过点P（﹣5，0）的直线1与圆x2+y2＝9交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（　　）
A．直线1的斜率k的取值范围是[，]
B．点M的轨迹为圆的一部分
C．为定值
D．为定值
（多选）8．（2024秋 信州区校级月考）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M是△ABC的重心
B．若，则点M在边BC的延长线上
C．若O在△ABC所在的平面内，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，满足以下条件，则
D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的
（多选）9．（2024春 通州区校级期末）武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，点F在弧AB上，且∠BOF＝120°，点E在弧CD上运动．则下列结论正确的有（　　）
A．
B．，则
C．在方向上的投影向量为
D．的最大值是﹣1
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 滨州期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作CD∥OQ，交OP于点D，则△OCD的面积的最大值为 　 　．
11．（2024秋 天津期末）在△ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，线段AD与BE相交于G点，H，F分别为AB，AC边上一点，且G，H，F三点共线，若，其中λ，μ为实数，则λ+μ＝ 　 　；的最小值为 　 　．
12．（2024秋 浦东新区校级期中）已知△ABC是边长为4的正三角形，平面上两动点O，P满足且λ1，λ2，λ3≥0）．若，则的最大值为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024春 浦东新区校级月考）如图，点G是△OAB重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
（1）设，将用λ、、表示；
（2）设，，问：是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T，求的取值范围．
14．（2024春 青浦区校级月考）在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（0，1），设点P1、P2、P3、…、Pn﹣1是线段AB的n等分点，其中n为正整数且n≥2．
（1）当n＝3时，试用、表示、；
（2）当n＝2024时，求的值；
（3）当n＝8时，求（1≤i，j≤n﹣1，i，j∈N*）的最小值．
15．（2024春 南充期末）对于平面向量，定义“Fθ变换”：，（0＜θ＜π）
（1）若向量，，求；
（2）求证：；
（3）已知，，且与不平行，，，求证：S△OAB＝S△OA′B′．
期末热点.重难点 平面向量在几何、物理中的应用举例
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 山西月考）四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】平面向量的综合题．
【专题】转化思想；数形结合法；向量与圆锥曲线；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意建立直角坐标系，设P（x，y），写出A，B，C，D坐标，可得P点的轨迹方程，进而可求出的最大值．
【解答】解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设P（x，y），A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），
则，，，，
故，
所以，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，
故点P在以点（2，2）为圆心，1为半径的圆周上运动，
所以的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查向量的应用，属于中档题．
2．（2024秋 普陀区校级期中）已知点A1，A2， ，An（n∈N，n≥2）均在圆O上，若有，则必有A1，A2， ，An平分圆O．则满足要求的n的个数为（　　）
A．0个 B．仅有1个 C．仅有2个 D．3个或以上
【考点】平面向量的综合题．
【专题】分类讨论；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算，结合圆的特征，分n＝2，n＝3，n≥4三种情况讨论可判定结论．
【解答】解：由题意有，
当n＝2时，两向量共线反向，A1，A2平分圆O，符合题意；
当n＝3时，由，设圆O的半径为1，
变形可得，
两边平方可得，
所以1＝1+2×1×1×cos∠A2OA3+1，解得，
因为0＜∠A2OA3＜π，所以，
同理可得，，
所以A1，A2，A3平分圆O，
若n≥4，当n为偶数时，只要分为对，每对共线，
可得，
比如过圆心的两条直线与圆相交的四个点，
满足，但不平分圆，
所以A1，A2， ，An不一定平分圆，故不符合题意；
当n为奇数时，可分三个点，使这三个向量满足，
可得A1，A2，A3平分圆O，另外剩余的一定是偶数点，
由前面知道，这些点可分组，但不一定平分圆，
故可得A1，A2， ，An不一定平分圆，
综上所述，只有n＝2与n＝3符合题意，
故满足要求的n的个数为2个．
故选：C．
【点评】本题考查向量的运算及性质，考查圆的特征，属中档题．
3．（2024春 永州期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（0，1），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，0） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣3）
【考点】平面向量的综合题．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，计算出，再根据向量的坐标运算法则计算出点P的坐标．
【解答】解：因为，
所以，
将向量顺时针方向旋转，
即逆时针旋转，
得到，
化简得，
则，O为坐标原点，
所以P点坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了转化思想，属于中档题．
4．（2024秋 朝阳区校级月考）已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝60°，若（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的综合题；三角形中的几何计算；平面向量的数乘与线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】设扇形的半径为1，可得，由且||＝1，利用平面向量数量积的运算性质算出λ2+μ2+λμ＝1，然后设λ+μ＝t，将λ2+μ2+λμ＝1整理为关于λ的一元二次方程，该方程有两个非负的实数根，利用韦达定理与根的判别式建立关于t的不等式组，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，设扇形AOB的半径为1，可得|| ||cos60°．
若，则λ≥0、μ≥0，且（）2λ2+μ2+λμ，
结合||＝1，可得λ2+μ2+λμ＝1．
设λ+μ＝t，则μ＝t﹣λ，代入上式并整理得λ2﹣tλ+t2﹣1＝0．
将其看作关于λ的一元二次方程，可得，
解得1≤t，即λ+μ的取值范围是[1，]．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量的模的公式、一元二次方程根的判别式与不等式的解法等知识，属于中档题．
5．（2024春 绵阳期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假统行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为α，下列结论中正确的是（　　）
A．当时，|F1|＝|G|
B．当时，
C．当时，|F1|有最小值
D．α越小越费力，α越大越省力
【考点】平面向量在物理中的应用．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】先阅读题意，然后结合向量加法的平行四边形法则求解．
【解答】解：设，，，
由题意可得：四边形ACBE为菱形且，
因为F1与F2的夹角为α，（），
则，
即，
对于A，当时，|CA|＝|CE|，
则|F1|＝|G|，
即A正确；
对于B，当时，，
则|F1||G|，
即B错误；
对于C，当取最大值时，|F1|有最小值，
又，
即当时，|F1|取不到最小值，
即C错误；
对于D，α越小，越大，越小，α越大，越小，越大，
即D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，重点考查了向量在物理中的应用，属中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 山东期中）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，若O为△ABC的外心，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】平面向量的综合题；解三角形．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据外心到三角形的三个顶点相等，判断出A项的正误；根据三角形外心的性质、向量数量积的运算法则，结合c＝4且b＝2，算出6＝12，即可判断出B项的正误；根据平面向量数量积的运算法则与三角形外心的性质，求出（） 0，即可判断出C项的正误；计算出S△BOCsin2A、S△COAsin2B、S△AOBsin2C，由此推导出sin2A sin2B sin2C ，结合正弦定理判断出D项的正误，即可得到本题的答案．
【解答】解：设△ABC的外接圆半径为R，
对于A，因为O为△ABC的外心，所以R，故A项正确；
对于B，根据△ABC外心为O，可得8，
2，
所以 （）6，可得6＝12，故B项错误；
对于C，（） （） （）0，故C项正确；
对于D，由三角形外心的性质，可得∠BOC＝2∠A，可得S△BOCOB OCsin∠BOCsin2A，
同理可得S△COAsin2B，S△AOBsin2C．
因为S△BOC S△COA S△AOB ，
所以sin2A sin2B sin2C ，即sin2A sin2B sin2C ．
因为a：b：c≠sin2A：sin2B：sin2C，所以不成立，故D项错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查三角形外心的性质、平面向量数量积的定义与运算性质、正弦定理及其应用等知识，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 南山区期中）已知O为坐标原点，过点P（﹣5，0）的直线1与圆x2+y2＝9交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（　　）
A．直线1的斜率k的取值范围是[，]
B．点M的轨迹为圆的一部分
C．为定值
D．为定值
【考点】平面向量的综合题．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用直线和圆相交可求斜率范围，利用平面向量的数量积和直线与圆的位置关系即得结果．
【解答】解：对于A选项，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y＝k（x+5）．
由，得（k2+1）x2+10k2x+25k2﹣9＝0，
所以Δ＝100k4﹣4（k2+1）（25k2﹣9）＞0，
解得，所以A错误；
对于B选项，由OM⊥AB，可得OM⊥MP，
所以点M的轨迹是以OP为直径的圆的一部分，故B正确；
对于C选项，由OM⊥MP，
可得，
又，所以C错误；
对于D选项，由（k2+1）x2+10k2x+25k2﹣9＝0，
得，，
∴，
又y1＝k（x1+5），y2＝k（x2+5），
所以（k2+1）（x1+5）（x2+5）
＝（k2+1）[x1x2+5（x1+x2）+25]
＝25k2﹣9﹣50k2+25k2+25＝16，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题．
（多选）8．（2024秋 信州区校级月考）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M是△ABC的重心
B．若，则点M在边BC的延长线上
C．若O在△ABC所在的平面内，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，满足以下条件，则
D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的
【考点】平面向量的综合题；平面向量的数乘与线性运算；平面向量的基本定理．
【专题】整体思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】对于A，只需证明即可；
对于B，我们只需证明，进而说明点M并不在射线BC上；
对于C，我们先设△ABC的内心为I，然后证明I和O重合；
对于D，我们只需求出两个三角形面积对比即可．
【解答】解：对于选项A，，所以，
因此，
因此点M是△ABC的重心，因此A选项正确；
对于选项B，如果，那么，
因此点M在边BC的反向延长线上，因此B选项错误；
如图，对于选项C，延长OC到D，使得，同理，
由于，因此，
以OE，OD为邻边作出平行四边形ODGE，因此，
所以，所以，
由于，
所以同理，
，
因此，所以选项C正确；
如图，对于选项D，设M为AD中点，
因为，
因此，所以，
根据，
因此2x+2y＝1，因此D，C，B三点共线，
因此．所以选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查平面向量综合问题，属于中档题．
（多选）9．（2024春 通州区校级期末）武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，点F在弧AB上，且∠BOF＝120°，点E在弧CD上运动．则下列结论正确的有（　　）
A．
B．，则
C．在方向上的投影向量为
D．的最大值是﹣1
【考点】平面向量的综合题．
【专题】应用题；数形结合；向量法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，建立以O为坐标原点的平面直角坐标系，求出相关点的坐标，由点坐标写出向量坐标，即可求解．
【解答】解：依题意，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
因为∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，∠BOF＝120°，
所以，
设，
对于A，，故A错误；
对于B，由，得，
即，解得，
所以，故B正确；
对于C，，
所以在方向上的投影向量为，故C正确；
对于D，
，
因为，
所以，
当，即时，取得最大值为﹣1，
所以的最大值是﹣1．故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要是考查了平面向量的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 滨州期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作CD∥OQ，交OP于点D，则△OCD的面积的最大值为 　　．
【考点】平面向量的综合题．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】首先得到，设，由正弦定理表示出OD，再把△OCD的面积表示出来，最后转化为三角函数值域问题，利用三角恒等变换即可求解．
【解答】解：因为，CD∥DQ，所以，
设，则，
在△OCD中，由正弦定理可得，
即，，
所以
，
因为，所以，
显然当，即时，S△OCD取得最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理及三角恒等变换，属中档题．
11．（2024秋 天津期末）在△ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，线段AD与BE相交于G点，H，F分别为AB，AC边上一点，且G，H，F三点共线，若，其中λ，μ为实数，则λ+μ＝ 　　；的最小值为 　　．
【考点】平面向量的综合题；平面向量的线性运算．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】；．
【分析】由题意，根据平面向量的线性运算以及三个共起点且终点共线向量的性质，可得参数的和，再利用基本不等式“1”的代换，可得答案．
【解答】解：由题意，D为BC的中点，则，
即，λ＞0，μ＞0，
又G为△ABC的两条中线AD与BE的交点，
则，
由F，G，H共线，
可得，即；
因为
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故答案为：；．
【点评】本题考查平面向量与不等式的综合应用，属中档题．
12．（2024秋 浦东新区校级期中）已知△ABC是边长为4的正三角形，平面上两动点O，P满足且λ1，λ2，λ3≥0）．若，则的最大值为 　　．
【考点】平面向量的综合题．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据向量的线性运算可得，进而确定点P在△ABC内部或边上，再根据，可确定点O的运动范围，结合向量数量积的运算律可得最值．
【解答】解：由已知，λ1+λ2+λ3＝1，
则
，
则，
即，
则，
又λ1+λ2+λ3＝1，且λ1，λ2，λ3≥0，
则0≤λ2+λ3≤1，则点P在△ABC内部或边上，
又，所以点O在以P为圆心，1为半径的圆上，
如图所示，设AB中点为D，
则，
易知当点O为直线DC与交点时，|OD|最大为，
即的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的综合应用，属中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024春 浦东新区校级月考）如图，点G是△OAB重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
（1）设，将用λ、、表示；
（2）设，，问：是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T，求的取值范围．
【考点】平面向量的综合题；对勾函数；平面向量的数乘与线性运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）是定值，；
（3）．
【分析】（1）在△OPG中，利用向量的加法法则知，再根据，计算即可；
（2）根据（1）结合，y，得到以，再根据点G是△OAB重心，，即可求解；
（3）根据三角形的面积公式，，由（2）知，所以，通过x，y的取值范围和函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）；
（2），理由如下：
因为点G是△OAB重心，
所以，
又由（1）可知，又，y，
所以，
而，不共线，所以，解得，
所以；
（3），
由（2）知，
所以，
由题意易知，，则，
设，则，，
因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
当时，即，，有最小值，最小值为，
时，即，y＝1，，当时，即x＝1，，，
所以的最大值为，
所以．
【点评】本题考查平面向量的综合应用，属于中档题．
14．（2024春 青浦区校级月考）在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（0，1），设点P1、P2、P3、…、Pn﹣1是线段AB的n等分点，其中n为正整数且n≥2．
（1）当n＝3时，试用、表示、；
（2）当n＝2024时，求的值；
（3）当n＝8时，求（1≤i，j≤n﹣1，i，j∈N*）的最小值．
【考点】平面向量的综合题．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解；
（2）由基底表示出，再求出，最后求模即可；
（3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值．
【解答】解：（1）当n＝3时，则P1，P2为AB的三等分点，∴，，
所以，
．
（2）当n＝2024时，，∴，
∴
，
．
（3）当n＝8时，，，
∴，
同理，∴，
∴，
令，
当i＝1，2，3时，，
当i＝2或3时，上式有最小值为；
当i＝4 时，，
当i＝5，6，7时，，当i＝5或6时，上式有最小值为，
综上，的最小值为．
【点评】本题考查向量的综合应用，属于中档题．
15．（2024春 南充期末）对于平面向量，定义“Fθ变换”：，（0＜θ＜π）
（1）若向量，，求；
（2）求证：；
（3）已知，，且与不平行，，，求证：S△OAB＝S△OA′B′．
【考点】平面向量的综合题．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）直接代入公式即可得到答案；
（2）计算得，从而，再展开计算即可证明；
（3）方法一：根据“Fθ变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可．
【解答】解：（1）因为向量，
所以，
所以．
（2）证明：因为．
所以，
．
．
，所以．
（3）证明：方法一：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且y＝cosx在[0，π]内单调递减，，
可知，
所以．
所以S△OAB＝S△OA′B′．
方法二：设，
，
因为，
，
所以，
，
所以S△OAB＝S△OA′B′．
【点评】本题考查平面向量的综合应用，属难题．
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