四川省成都市崇州市2025年中考数学一诊试卷
1．（2025·崇州模拟）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．lal>|b| B．a+b>0 C．a-b>0 D．ab<0
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：观察数轴可知：b
|a|，
∴a+b<0，a-b>0，ab>0，
∴A、B、D选项的结论错误，C选项的结论正确，
故答案为：C.
【分析】观察数轴可知：b|a|，然后根据有理数的加减法则和乘法法则，对各个选项的结论进行判断即可.
2．（2025·崇州模拟）DeepSeek-R1是幻方量化旗下AI公司深度求索（DeepSeek）研发的推理型.DeepSeek-R1拥有卓越的性能，在数学、代码和推理任务上可与OpenAIo1媲美.其采用的大规模强化学习技术，仅需少量标注数据即可显著提升模型性能.此外，DeepSeek一R1构建了智能训练场，通过动态生成题目和实时验证解题过程等方式，提升模型推理能力.2025年1月20日，DeepSeek一R1模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，DeepSeek的下载量已接近4000万将4000万用科学记数法表示为（ ）
A．4×106 B．40×106 C．4×107 D．0.4×108
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4000万=40000000=4×107.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤lal<10，n为整数，表示时要正确确定a的值以及n的值.
3．（2025·崇州模拟）下列运算正确的是（ ）
A．（-2x3）2 = 4x5 B．x2y·y=x3y
C．4xy-x=4y D．（3x+1）2=9x2+6x+1
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.(-2x3)2= 4x6，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.x2y·y=x2y2，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.4xy和x不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.(3x+1)2=9x2+6x+1，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】逐一验证每个选项的运算是否正确，重点检查幂的运算、合并同类项、单项式乘法及完全平方公式的应用.
4．（2025·崇州模拟）学校组织各班开展“减少近视，守护光明”主题班会活动，九年级一班班长小颖随即组织本班42名同学 进行视力检查，小颖根据视力检查数据制作了如下统计表，则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位 数分别是（ ）
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2
人数 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2
A．4.8，4.8 B．4.8，4.7 C．4.8，4.75 D．4.8，4.6
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：在这一组数据中4.8是出现次数最多的，故众数是4.8.
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数都是4.8，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4.8.
故答案为：A.
【分析】众数是出现次数最多的数，中位数是中间位置的数；由于总人数为42(偶数)，中位数需取第21和第22个数的平均值.
5．（2025·崇州模拟）如图，将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形ABCD，连接AC，测得∠1=38°则∠ACB的度数为（ ）
A．18° B．19° C．38° D．42°
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥直线AD于E，CF⊥直线AB于F，
∵将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形ABCD，
∴AB//CD，AD//BC，CE=CF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S ABCD=AD·CE=AB·CF，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠1=38°，
∴∠ACB=19°，
故答案为：B.
【分析】先证明平行四边形ABCD是菱形，可得AB=BC，即可求解.
6．（2025·崇州模拟）在平面直角坐标系中，点P(2，-3)关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）
A．(-2，-3) B．(-2，3) C．(2，-3) D．(2，3)
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P(2，-3)关于x轴对称的点P'的坐标是
故答案为：D.
【分析】根据点关于x轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可求解.
7．（2025·崇州模拟） 如图，在⊙O中，弦AB//CD，∠ABC=42°，则∠BOD的度数为（ ）
A．84° B．86° C．88° D．90°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠ABC=∠DCB=42，
∴∠BOD=2∠DCB=84°，
故答案为：A.
【分析】先利用平行线的性质可得∠ABC=∠DCB=42°，然后再利用圆周角定理进行计算，即可解答.
8．（2025·崇州模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．对称轴为直线x=1 B．y的最小值为一4
C．x=-2对应的函数值为y=5 D．当0【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线与x轴交于(-1，0)，(3，0)，
∴对称轴是直线，故A正确，不符合题意，
∴可设抛物线为y=a(x-1)2+k.
又∵抛物线过(0，-3)，
∴
∴
∴抛物线为y=(x-1)2-4.
∴当x=1时，y取最小值为-4，故B正确，不符合题意；
当x=-2时，y=5，故C正确，不合题意，
又∵当x=0时，y=-3；当x=2时，y=-3，
∴当0故答案为：D.
【分析】依据题意，根据图象与x轴交于(-1，0)，(3，0)，与y轴交于(0，-3)，从而逐个判断可以得解.
9．（2025·崇州模拟）已知，则y= .
【答案】1
【知识点】开平方（求平方根）；平方根的性质
【解析】【解答】解：方程两边平方得：y+3=4
解得：y=1
检验：当y=1时，，符合题意.
故答案为：1.
【分析】通过对方程两边平方消去平方根，转化为线性方程求解，最后代入检验解的正确性.
10．（2025·崇州模拟）若关于y的一元二次方程y2-y+＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于y的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】先计算判别式，然后解不等式求出m的范围.
11．（2025·崇州模拟） 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，于点E，，，则的值为 .
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC//AD，
∵
∴
∵BC//AD，CF//BE，
∴∠BEC=∠FCA，∠BCE=∠FAC，
∴△BCE∽△FAC，
∴
故答案为：.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得出BC=AD，BC//AD，结合，可得出，由BC//AD，CF//BE，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠BEC=∠FCA，∠BCE=∠FAC，进而可得出△BCE∽△FAC，再利用相似三角形的性质，即可求出S△BCE：S△ACF的值.
12．（2025·崇州模拟）《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右.小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同.”设每头牛、每只羊的价格各为x金，y金，根据题意列出方程组为 ．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：.
【分析】根据原价列方程，再根据互换后的总价列方程即可.
13．（2025·崇州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点D和点E；作直线DE分别交线段AB，AC于点F，G.若CG=1，AG=3，则AF的值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接BG，
由作图过程可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴，AG=BG=3.
∵∠ACB=90°，CG=1，
∴AC=AG+CG=4，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接BG，由线段垂直平分线的性质可得，AG=BG=3，由勾股定理得，，进而可得答案.
14．（2025·崇州模拟）
（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：
=
（2）解：
由①得：2x-6<3x-2，
x>-4，
由②得：x+4≥2x-2，
x≤6，
∴-4【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)按运算顺序逐项计算并合并同类项；
(2)分别解两个不等式后求交集.
15．（2025·崇州模拟）2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024 2035年）》. 《纲要》指出：促进学生健康成长、全面发展.深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板.落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划.某校为落实文件精神，随即调整完善学生体育训练计划，保证学生每天在校综合体育活动时间不低于 2 小时.学校通过增加体育课程和各类比赛等不断丰富体育项目，让学生健康快乐成长.为了解同学们对比赛项目的喜爱情况，体育组老师对部分同学进行了项目喜好情况调查（每位同学只能选一种），特制定如下统计表和统计图．
比赛项目 人数
A 篮球比赛 60
B 足球比赛 50
C 排球比赛 x
D 乒乓球比赛 y
E 羽毛球比赛 25
F 空竹比赛 z
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，表中x= ，y= ；
（2）在扇形统计图中，求“A”“E”比赛项目对应的圆心角度数；
（3）若学校共有1600名学生，请你根据调查结果，估计选择“F”比赛项目的学生人数．
【答案】（1）200；30；20
（2）解：“A”比赛项目对应的圆心角度数为， “E”比赛项目对应的圆心角度数为
（3）解：（人）
答：估计选择“F”比赛项目的学生人数有120人.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)本次调查的学生共有50÷25%=200(名)，
x=200×15%=30，
y=200×10%=20，
故答案为：200，30，20.
【分析】(1)用表格中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次调查的学生人数；
(2)用360°分别乘以“A”“E”比赛项目所占的百分比，即可得出答案；
(3)根据用样本估计总体，用1600乘以样本中选择“F”比赛项目的人数所占的百分比，即可得出答案.
16．（2025·崇州模拟）寒假中，小张和家人到某景点旅游小张是摄影爱好者，他操控无人机对景点的建筑物进行拍摄游览某景点的游览阶梯AM与水平地面AB的夹角为α度，无人机位于点C处，测得阶梯同侧建筑物D，E的俯角分别为58°和39°（点D，E在直线AM上，∠FCD=58°，∠FCE=39°），若无人机离建筑物D，E的竖直距离分别为110m和64.8m，求点D与点E的水平距离.（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6，sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
【答案】解：作DP，EQ分别垂直CF于点P，Q，
∴DP=110m，QE =64.8m，
∴tan58° =
∴CP≈110+1.6=68.75m，
∴tan39°=
∴CQ≈64.8÷0.81=80m，
∴PQ= 80-68.75=11.25m，
∴点D与点E的水平距离为11.25m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作DP，EQ分别垂直CF于点P，Q，解直角三角形分别求出CP，CQ，即可解答.
17．（2025·崇州模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以边AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E为弧BD的中点，直线AE，BE分别交BC，AC于点F，G.
（1）求证：△BEF∽△AEG；
（2）若，，求DG的长.
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB =90°，
∴∠BAE+ ∠ABE=90°，
∴∠CBG+∠ABE=∠ABC=90°，
∴∠BAE= ∠CBG，
∵，
∴∠BAE=∠GAE，
∴∠GAE =∠CBG，
∴∠BEF =∠AEG，
∴△BEF∽△AEG；
（2）解：如图，连接BD，FG，
由(1)得： ∠BEA =∠AEG=90°，∠BAE=∠GAE，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE(ASA)，
∴AB=AG，
∵AF=AF，∠BAE= ∠GAE，
∴△ABF≌△AGF(SAS)，
∴∠AGF=∠ABF =90°，BF =FG，
∵
∴sin∠C =
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB =90°，
∴∠C =∠ABD，
∴sin∠ABD=
∵AD=4，
∴AB=5，
∴DG=AG-AD = 1.
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理，可得∠AEB=90°，易证∠BAE=∠CBG，∠GAE=∠CBG，即可证明结论；
(2)连接BD，FG，由(1)得：
∠BEA=∠AEG=90°，∠BAE=∠GAE，易证△ABE≌△AGE，△ABF≌△AGF，根据，，即可求解.
18．（2025·崇州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象分别交于点A（-1，a） 和点B
（1）求直线的表达式；
（2）如图 2，直线经过点B与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D， 点D将线段BC分成CD， BD两条线段， 且， 连接AD，求
（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点E，使是以BC为斜边的直角三角形， 若存在， 请求出点E的坐标； 若不存在， 请说明理由.
【答案】（1）解：将点A(-1，a)代入反比例函数y=得a=-3，
∴A(-1，-3)，
将A(-1，-3)代入直线l得，-2+m=-3，
解得m=-1，
∴直线l的表达式为y=2x-1；
（2）解：联立，解得或，
∴，
过B作轴于点H，过C作轴于点G，
则
∴C（-3，-1）
即
设 A B 与 轴交于点 ，则 ，
（3）解：
①当点在轴上时，设 ，
∵△BCE是以BC为斜边的直角三角形，
解得 ，
或 ；
②当点在轴上时，设，
∴△BCE是以BC为斜边的直角三角形，
∴BE2+CE2=BC2，
∴
整理得：2m2-2m-13 = 0，
解得，
，
综上，点E坐标为或或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)将A代入反比例函数求a值，再将A代入l1求m即可得解；
(2)先求出，过B作BH⊥x轴于点H，过C作CG⊥x轴于点G，即可得出，从而可求出点C坐标、D坐标，进而利用割补法求解即可；
(3)分类讨论，设出点E坐标，利用两点距离公式分别表示出BE、CE、BC，再利用勾股定理建立方程求解即可.
19．（2025·崇州模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则（a-2）2-a（1-b）的值为 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，
∴a2-5a-2=0，ab=-2，
∴a2=5a+2，
∴(a-2)2-a(1-b)=a2-4a+4-a+ab=a2-5a+4-2=5a+2-5a+4-2=4
故答案为：4.
【分析】首先利用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)求出a+b和ab的值，然后将所求表达式展开并化简，最后代入已知值计算.
20．（2025·崇州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+2与直线y=bx-2的图象交于点C，点C的横坐标为-2，则a-b= .
【答案】2
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意，∵直线y=ax+2与直线y=bx-2的图象交于点C，点C的横坐标为-2，
∴-2a+2=-2b-2.
∴2a-2b=4.
∴a-b=2.
故答案为：2.
【分析】依据题意，由直线y=ax+2与直线y=bx-2的图象交于点C，点C的横坐标为-2，从而-2a+2=-2b-2，进而可得2a-2b=4，故可判断得解.
21．（2025·崇州模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为边BC上的中点，点F为对角线BD上取一点，且，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设平行四边形的面积为S，
则，，
∵E为BC的中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴这个点取在阴影部分的概率为，
故答案为：.
【分析】设平行四边的面积为S，利用各部分面积与S之间的关系求出阴影部分的面积，再用阴影部分面积除以平行四边形面积即可.
22．（2025·崇州模拟） 如图，在中，，，点D为斜边AC上一点，连接BD，将沿BD翻折得到，BE与AC交于点F，当时，则 .
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H.
∵ED⊥AC，
∴∠EDC=90°，
由翻折变换的性质可知∠BDE=∠BDC，
∵∠BDE+∠BDC+∠EDC=360°，
∴∠BDE=∠BDC=135°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDF=45°，
∵BH⊥AC，
∴∠BHD=90°，
∴∠BDH=∠DBH =45°
∴BH=DH，
∵
∴可以假设AB=5m，AC=5m
∴，
∴
∴CH=2BH，
∴DH=CD=DE，
设DH=CD=DE=k，则，
∴
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，证明∠BDH=45°，再证明BH=DH=CD=DE，可得结论.
23．（2025·崇州模拟） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图象与x轴分别交于点A和点B，过顶点C的直线轴于点D，点M为线线段BC上一点，点N在线段CD上，且CN= 2BM，当取最小值时，则DN= ．
【答案】
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，
当y=0时，即，
可得x1=-2，x2=3，
∴，B(0，3)，
则，，
∴，则∠DBC=60°，
分别取BC，BN的中点P，Q，连接PQ，
则，，PQ是△BCN的中位线，
∴，
∵CN=2BM，
∴PQ=BM，
过点B作BE//PQ，且，则BD=BE，
∴∠BPQ=∠EBM，∠BDE=45°，BP=BE，
∴△BPQ △EBM(SAS)，
∴BQ=EM，
∴，
当M在DE上时取等号，
即：当取最小值时，M在DE上，
此时，过点M作MF⊥BD，
则，
，
又∵∠BDE=45°，
∴，则，
可得，则，
∴此时，
即：当取最小值时，，
故答案为：.
【分析】由函数解析式求得，B(0，3)，进而可得，BC=5，则，可知∠DBC=60°，分别取BC，BN的中点P，Q，连接PQ，则，，PQ是△BCN的中位线，得PQ=CN，PQ=BM，过点B作BE//PQ，且，则BD=BE，证明△BPQ≌△EBM(SAS)，得BQ=EM，可知，当M在DE上时取等号，此时，过点M作MF⊥BD，解直角三角形得，可得，则，可知此时DN=CD-CN，即可求解.
24．（2025·崇州模拟）春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评，某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品.经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件.设该纪念品的 售价为每件x元（x为整数且20（1）求出y与x的函数关系式；
（2）该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：y= 100-2(x-30)或y=100 +5(30-x)，
∴y与x的函数关系式为y=-2x +160或y=-5x+250；
（2）解：设销售利润为w元，
根据题意得：w=(x-30)·（-2x+160)=-2x2+220x-4800=-2(x-55)2+1250，
∵x为整数且20∵-2<0，开口向下，对称轴是直线x=55，
：30≤x≤50在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴x=50时，w取最大值，最大值是-2x(50-55)2+1250=1200(元)，
若售价每下降1元，日销量就会增加5件时，w=(x-30)(-5x+250)=-5x2+400x-7500=-5(x-40)2+500，
∵x为整数且20∴-<0，开口向下，对称轴是直线x=40，
∴20∴在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x =40 时，w取最大值，最大值是-5(x-40)2+500=500(元)，
答：x=50时，w取最大值，最大值是1200元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据销量在100件的基础上不断减少或增加列出函数关系式即可；
(2)利用总利润=单件的利润×销量列出二次函数求得最值即可.
25．（2025·崇州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y =-x-2与x轴，y轴分别交于点A， B，抛物线w： y = ax2+bx+c经过A，B两点，与x轴交于点C，连接BC，且tan∠OBC=
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线上一点，且位于第三象限，DE⊥AB于点E，若，求点D的坐标；
（3）抛物线w1与抛物线w：y=ax2+bx+c关于原点对称，抛物线w1与x轴正半轴交于点F，作GF⊥AF交直线AB于点G，在抛物线w1上是否存在点H，使得∠AGH=2∠BAO，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵直线y=-x-2与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A(-4，0)，B(0，-2)，
∴OB=2，
∵tan∠OBC =
∴OC= 1，
∴C(1，0)，
∵y =ax2+bx+c经过点A，B，C，
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵AB2 + BC2 = AC2，
∴∠ABC =90°，
∴B(0，-2)，C(1，0)，
取BC的中点F(，-1)，在CB的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，
∴，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，DE//BC，
∵
∴，
∴四边形DEBG是矩形，
∴DG//AB，
设直线且过点，
，
∴
∴，
∴或
（3）解：抛物线w1与抛物线w：y=ax2+bx+c关于原点对称，
∴w1的函数表达式为
∴点F的坐标为(4，0)，
∵GF⊥AF
∴点G的坐标为(4， 4)，
在x轴上取一点P，使得PA=PB，此时∠BPO=2∠OAB，
设P(x，O)，
∴(x+4)2 = x2+4，
∴
∴P（，0）
∴tan∠BPO=
当点H位于第一象限时，过点B作QB⊥AB交GH的延长线于点Q，作QM⊥y轴于点M，作GN⊥y轴于点N，
设点Q的坐标为(m，n)，
∴MB=n+2，MQ=m，BN=2，GN=4，
∵∠MBQ+∠NBG=∠MBQ+∠MQB=90°，
∴∠MQB=∠NBG，
∵∠BMQ= ∠BNG=90°，
∴△BMQ∽△GNB，
∴∠AGH=2∠BAO=∠BPO，
，
∴
∴
直线GQ与w1交于点H，
∴（舍去）
∴点l的坐标为
当点H位于第三象限时，点Q与点Q’关于点B对称，此时∠AGQ’=∠AGQ=2∠BAO，
∴Q’
∴
∴
∴（舍去）
∴点H的坐标为
综上所述，点H的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)先求出A(-4，0)，B(0，-2)，再根据，求出C(1，0)，利用待定系数法即可求解；
(2)取BC的中点，在CB的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，得到，根据，求出，证明四边形DEBG是矩形，求出直线，联立，求解即可；
(3)抛物线w1与抛物线w：y=ax2+bx+c关于原点对称，求出w1的函数表达式为，分点H位于第一象限，点H位于第三象限两种情讨论即可.
26．（2025·崇州模拟）在△ABC中，AB=AC=8，∠ABC=60°，点D为直线AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转30至线段BD'，直线BD'与直线AC交于点E.
（1）如图1，当BA平分∠EBD时，连接AD'，求证：△AED'∽△CBD；
（2）如图2，当点D与点A重合时，连接AD'，求AD'的值；
（3）过点D作DF⊥BD'于点F，连接CF，当CF最小时，求△CFD的面积.
【答案】（1）证明：∵AB= BC，∠ABC =60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC = ∠ACB =60°，
∵BD绕点B顺时针旋转30°至线段BD'，
∴∠DBD'= 30°，BD=BD'，
∵BA平分∠EBD，
∴，
∴∠CBD=∠ABC-∠BDA=45°，∠E=∠BAC-∠D'BA=45°，
∴∠E=∠DBC，
∵BA=BA，
∴△DBA≌△D'BA(SAS)，
∴∠ADB = ∠AD' B，
∴180°-∠ADB=180°-∠AD'B，
∴∠BDC=∠AD'E，
∴△AED'∽△CBD
（2）解：解：如图 1，
作D'E⊥CE于E，
∵∠E=∠BAC- ∠DBD'=60°-30°，∠DBD'= 30°，
∴∠E =∠DBD'=30°，
∴∠E=∠DBD'，
∴AE=AB=8，
设D'F=a，则EF=a，
∵BD'=BD，∠DBD'= 30°，
∴∠BDD'=∠BD'D=75°，
∴∠FAD'=180°-60°-75°=45°，
∴AF=D'F=a，
由EF + AF =AE得，
a+a=8，
∴a=4-4，
∴AD'=a=4-4；
（3）解：解：如图2 1，
作BG⊥AD于G，连接FG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBG =∠ABC = 30°，
∴∠DBD'= 30°，∠BFD=90°，
∴∠CBG = ∠DBD'，
∴∠FBG = ∠CBD，
∴△FBG∽△DBC，
∴∠BGF=∠BCD=180°-∠ACB=120°，
∴∠DGF =30°，
∴点F在过点G且与AD成30°得直线上运动，
∴当CF⊥FG时，CF最小，
如图2-2，
作
由得，
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】(1)可证得∠E=∠DBC=45°，可证得△DBA≌△D'BA，从而∠ADB=∠AD'B，进而得出
∠BDC=∠AD'E，从而△AED'∽△CBD；
(2)作D'E⊥CE于E，可得出∠E=∠DBD'=30°，∠FAD'=45°，解三角形AED'，进一步得出结果；
(3)作BG⊥AD于G，连接FG，可证得△FBG∽△DBC，从而得出∠BGF=∠BCD=180-∠ACB=120°，从而得出∠DGF=30°，从而点F在过点G且与AD成30°得直线上运动，当CF⊥FG时，CF最小，进一步得出结果.
1 / 1四川省成都市崇州市2025年中考数学一诊试卷
1．（2025·崇州模拟）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．lal>|b| B．a+b>0 C．a-b>0 D．ab<0
2．（2025·崇州模拟）DeepSeek-R1是幻方量化旗下AI公司深度求索（DeepSeek）研发的推理型.DeepSeek-R1拥有卓越的性能，在数学、代码和推理任务上可与OpenAIo1媲美.其采用的大规模强化学习技术，仅需少量标注数据即可显著提升模型性能.此外，DeepSeek一R1构建了智能训练场，通过动态生成题目和实时验证解题过程等方式，提升模型推理能力.2025年1月20日，DeepSeek一R1模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，DeepSeek的下载量已接近4000万将4000万用科学记数法表示为（ ）
A．4×106 B．40×106 C．4×107 D．0.4×108
3．（2025·崇州模拟）下列运算正确的是（ ）
A．（-2x3）2 = 4x5 B．x2y·y=x3y
C．4xy-x=4y D．（3x+1）2=9x2+6x+1
4．（2025·崇州模拟）学校组织各班开展“减少近视，守护光明”主题班会活动，九年级一班班长小颖随即组织本班42名同学 进行视力检查，小颖根据视力检查数据制作了如下统计表，则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位 数分别是（ ）
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2
人数 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2
A．4.8，4.8 B．4.8，4.7 C．4.8，4.75 D．4.8，4.6
5．（2025·崇州模拟）如图，将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形ABCD，连接AC，测得∠1=38°则∠ACB的度数为（ ）
A．18° B．19° C．38° D．42°
6．（2025·崇州模拟）在平面直角坐标系中，点P(2，-3)关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）
A．(-2，-3) B．(-2，3) C．(2，-3) D．(2，3)
7．（2025·崇州模拟） 如图，在⊙O中，弦AB//CD，∠ABC=42°，则∠BOD的度数为（ ）
A．84° B．86° C．88° D．90°
8．（2025·崇州模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．对称轴为直线x=1 B．y的最小值为一4
C．x=-2对应的函数值为y=5 D．当09．（2025·崇州模拟）已知，则y= .
10．（2025·崇州模拟）若关于y的一元二次方程y2-y+＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
11．（2025·崇州模拟） 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，于点E，，，则的值为 .
12．（2025·崇州模拟）《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右.小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同.”设每头牛、每只羊的价格各为x金，y金，根据题意列出方程组为 ．
13．（2025·崇州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点D和点E；作直线DE分别交线段AB，AC于点F，G.若CG=1，AG=3，则AF的值为 ．
14．（2025·崇州模拟）
（1）计算：
（2）解不等式组：
15．（2025·崇州模拟）2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024 2035年）》. 《纲要》指出：促进学生健康成长、全面发展.深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板.落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划.某校为落实文件精神，随即调整完善学生体育训练计划，保证学生每天在校综合体育活动时间不低于 2 小时.学校通过增加体育课程和各类比赛等不断丰富体育项目，让学生健康快乐成长.为了解同学们对比赛项目的喜爱情况，体育组老师对部分同学进行了项目喜好情况调查（每位同学只能选一种），特制定如下统计表和统计图．
比赛项目 人数
A 篮球比赛 60
B 足球比赛 50
C 排球比赛 x
D 乒乓球比赛 y
E 羽毛球比赛 25
F 空竹比赛 z
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，表中x= ，y= ；
（2）在扇形统计图中，求“A”“E”比赛项目对应的圆心角度数；
（3）若学校共有1600名学生，请你根据调查结果，估计选择“F”比赛项目的学生人数．
16．（2025·崇州模拟）寒假中，小张和家人到某景点旅游小张是摄影爱好者，他操控无人机对景点的建筑物进行拍摄游览某景点的游览阶梯AM与水平地面AB的夹角为α度，无人机位于点C处，测得阶梯同侧建筑物D，E的俯角分别为58°和39°（点D，E在直线AM上，∠FCD=58°，∠FCE=39°），若无人机离建筑物D，E的竖直距离分别为110m和64.8m，求点D与点E的水平距离.（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6，sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
17．（2025·崇州模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以边AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E为弧BD的中点，直线AE，BE分别交BC，AC于点F，G.
（1）求证：△BEF∽△AEG；
（2）若，，求DG的长.
18．（2025·崇州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象分别交于点A（-1，a） 和点B
（1）求直线的表达式；
（2）如图 2，直线经过点B与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D， 点D将线段BC分成CD， BD两条线段， 且， 连接AD，求
（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点E，使是以BC为斜边的直角三角形， 若存在， 请求出点E的坐标； 若不存在， 请说明理由.
19．（2025·崇州模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则（a-2）2-a（1-b）的值为 .
20．（2025·崇州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+2与直线y=bx-2的图象交于点C，点C的横坐标为-2，则a-b= .
21．（2025·崇州模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为边BC上的中点，点F为对角线BD上取一点，且，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为 ．
22．（2025·崇州模拟） 如图，在中，，，点D为斜边AC上一点，连接BD，将沿BD翻折得到，BE与AC交于点F，当时，则 .
23．（2025·崇州模拟） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图象与x轴分别交于点A和点B，过顶点C的直线轴于点D，点M为线线段BC上一点，点N在线段CD上，且CN= 2BM，当取最小值时，则DN= ．
24．（2025·崇州模拟）春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评，某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品.经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件.设该纪念品的 售价为每件x元（x为整数且20（1）求出y与x的函数关系式；
（2）该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？
25．（2025·崇州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y =-x-2与x轴，y轴分别交于点A， B，抛物线w： y = ax2+bx+c经过A，B两点，与x轴交于点C，连接BC，且tan∠OBC=
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线上一点，且位于第三象限，DE⊥AB于点E，若，求点D的坐标；
（3）抛物线w1与抛物线w：y=ax2+bx+c关于原点对称，抛物线w1与x轴正半轴交于点F，作GF⊥AF交直线AB于点G，在抛物线w1上是否存在点H，使得∠AGH=2∠BAO，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由.
26．（2025·崇州模拟）在△ABC中，AB=AC=8，∠ABC=60°，点D为直线AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转30至线段BD'，直线BD'与直线AC交于点E.
（1）如图1，当BA平分∠EBD时，连接AD'，求证：△AED'∽△CBD；
（2）如图2，当点D与点A重合时，连接AD'，求AD'的值；
（3）过点D作DF⊥BD'于点F，连接CF，当CF最小时，求△CFD的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：观察数轴可知：b|a|，
∴a+b<0，a-b>0，ab>0，
∴A、B、D选项的结论错误，C选项的结论正确，
故答案为：C.
【分析】观察数轴可知：b|a|，然后根据有理数的加减法则和乘法法则，对各个选项的结论进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4000万=40000000=4×107.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤lal<10，n为整数，表示时要正确确定a的值以及n的值.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.(-2x3)2= 4x6，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.x2y·y=x2y2，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.4xy和x不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.(3x+1)2=9x2+6x+1，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】逐一验证每个选项的运算是否正确，重点检查幂的运算、合并同类项、单项式乘法及完全平方公式的应用.
4．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：在这一组数据中4.8是出现次数最多的，故众数是4.8.
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数都是4.8，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4.8.
故答案为：A.
【分析】众数是出现次数最多的数，中位数是中间位置的数；由于总人数为42(偶数)，中位数需取第21和第22个数的平均值.
5．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥直线AD于E，CF⊥直线AB于F，
∵将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形ABCD，
∴AB//CD，AD//BC，CE=CF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S ABCD=AD·CE=AB·CF，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠1=38°，
∴∠ACB=19°，
故答案为：B.
【分析】先证明平行四边形ABCD是菱形，可得AB=BC，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P(2，-3)关于x轴对称的点P'的坐标是
故答案为：D.
【分析】根据点关于x轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可求解.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠ABC=∠DCB=42，
∴∠BOD=2∠DCB=84°，
故答案为：A.
【分析】先利用平行线的性质可得∠ABC=∠DCB=42°，然后再利用圆周角定理进行计算，即可解答.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线与x轴交于(-1，0)，(3，0)，
∴对称轴是直线，故A正确，不符合题意，
∴可设抛物线为y=a(x-1)2+k.
又∵抛物线过(0，-3)，
∴
∴
∴抛物线为y=(x-1)2-4.
∴当x=1时，y取最小值为-4，故B正确，不符合题意；
当x=-2时，y=5，故C正确，不合题意，
又∵当x=0时，y=-3；当x=2时，y=-3，
∴当0故答案为：D.
【分析】依据题意，根据图象与x轴交于(-1，0)，(3，0)，与y轴交于(0，-3)，从而逐个判断可以得解.
9．【答案】1
【知识点】开平方（求平方根）；平方根的性质
【解析】【解答】解：方程两边平方得：y+3=4
解得：y=1
检验：当y=1时，，符合题意.
故答案为：1.
【分析】通过对方程两边平方消去平方根，转化为线性方程求解，最后代入检验解的正确性.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于y的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】先计算判别式，然后解不等式求出m的范围.
11．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC//AD，
∵
∴
∵BC//AD，CF//BE，
∴∠BEC=∠FCA，∠BCE=∠FAC，
∴△BCE∽△FAC，
∴
故答案为：.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得出BC=AD，BC//AD，结合，可得出，由BC//AD，CF//BE，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠BEC=∠FCA，∠BCE=∠FAC，进而可得出△BCE∽△FAC，再利用相似三角形的性质，即可求出S△BCE：S△ACF的值.
12．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：.
【分析】根据原价列方程，再根据互换后的总价列方程即可.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接BG，
由作图过程可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴，AG=BG=3.
∵∠ACB=90°，CG=1，
∴AC=AG+CG=4，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接BG，由线段垂直平分线的性质可得，AG=BG=3，由勾股定理得，，进而可得答案.
14．【答案】（1）解：
=
（2）解：
由①得：2x-6<3x-2，
x>-4，
由②得：x+4≥2x-2，
x≤6，
∴-4【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)按运算顺序逐项计算并合并同类项；
(2)分别解两个不等式后求交集.
15．【答案】（1）200；30；20
（2）解：“A”比赛项目对应的圆心角度数为， “E”比赛项目对应的圆心角度数为
（3）解：（人）
答：估计选择“F”比赛项目的学生人数有120人.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)本次调查的学生共有50÷25%=200(名)，
x=200×15%=30，
y=200×10%=20，
故答案为：200，30，20.
【分析】(1)用表格中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次调查的学生人数；
(2)用360°分别乘以“A”“E”比赛项目所占的百分比，即可得出答案；
(3)根据用样本估计总体，用1600乘以样本中选择“F”比赛项目的人数所占的百分比，即可得出答案.
16．【答案】解：作DP，EQ分别垂直CF于点P，Q，
∴DP=110m，QE =64.8m，
∴tan58° =
∴CP≈110+1.6=68.75m，
∴tan39°=
∴CQ≈64.8÷0.81=80m，
∴PQ= 80-68.75=11.25m，
∴点D与点E的水平距离为11.25m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作DP，EQ分别垂直CF于点P，Q，解直角三角形分别求出CP，CQ，即可解答.
17．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB =90°，
∴∠BAE+ ∠ABE=90°，
∴∠CBG+∠ABE=∠ABC=90°，
∴∠BAE= ∠CBG，
∵，
∴∠BAE=∠GAE，
∴∠GAE =∠CBG，
∴∠BEF =∠AEG，
∴△BEF∽△AEG；
（2）解：如图，连接BD，FG，
由(1)得： ∠BEA =∠AEG=90°，∠BAE=∠GAE，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE(ASA)，
∴AB=AG，
∵AF=AF，∠BAE= ∠GAE，
∴△ABF≌△AGF(SAS)，
∴∠AGF=∠ABF =90°，BF =FG，
∵
∴sin∠C =
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB =90°，
∴∠C =∠ABD，
∴sin∠ABD=
∵AD=4，
∴AB=5，
∴DG=AG-AD = 1.
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理，可得∠AEB=90°，易证∠BAE=∠CBG，∠GAE=∠CBG，即可证明结论；
(2)连接BD，FG，由(1)得：
∠BEA=∠AEG=90°，∠BAE=∠GAE，易证△ABE≌△AGE，△ABF≌△AGF，根据，，即可求解.
18．【答案】（1）解：将点A(-1，a)代入反比例函数y=得a=-3，
∴A(-1，-3)，
将A(-1，-3)代入直线l得，-2+m=-3，
解得m=-1，
∴直线l的表达式为y=2x-1；
（2）解：联立，解得或，
∴，
过B作轴于点H，过C作轴于点G，
则
∴C（-3，-1）
即
设 A B 与 轴交于点 ，则 ，
（3）解：
①当点在轴上时，设 ，
∵△BCE是以BC为斜边的直角三角形，
解得 ，
或 ；
②当点在轴上时，设，
∴△BCE是以BC为斜边的直角三角形，
∴BE2+CE2=BC2，
∴
整理得：2m2-2m-13 = 0，
解得，
，
综上，点E坐标为或或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)将A代入反比例函数求a值，再将A代入l1求m即可得解；
(2)先求出，过B作BH⊥x轴于点H，过C作CG⊥x轴于点G，即可得出，从而可求出点C坐标、D坐标，进而利用割补法求解即可；
(3)分类讨论，设出点E坐标，利用两点距离公式分别表示出BE、CE、BC，再利用勾股定理建立方程求解即可.
19．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，
∴a2-5a-2=0，ab=-2，
∴a2=5a+2，
∴(a-2)2-a(1-b)=a2-4a+4-a+ab=a2-5a+4-2=5a+2-5a+4-2=4
故答案为：4.
【分析】首先利用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)求出a+b和ab的值，然后将所求表达式展开并化简，最后代入已知值计算.
20．【答案】2
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意，∵直线y=ax+2与直线y=bx-2的图象交于点C，点C的横坐标为-2，
∴-2a+2=-2b-2.
∴2a-2b=4.
∴a-b=2.
故答案为：2.
【分析】依据题意，由直线y=ax+2与直线y=bx-2的图象交于点C，点C的横坐标为-2，从而-2a+2=-2b-2，进而可得2a-2b=4，故可判断得解.
21．【答案】
【知识点】几何概率；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设平行四边形的面积为S，
则，，
∵E为BC的中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴这个点取在阴影部分的概率为，
故答案为：.
【分析】设平行四边的面积为S，利用各部分面积与S之间的关系求出阴影部分的面积，再用阴影部分面积除以平行四边形面积即可.
22．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H.
∵ED⊥AC，
∴∠EDC=90°，
由翻折变换的性质可知∠BDE=∠BDC，
∵∠BDE+∠BDC+∠EDC=360°，
∴∠BDE=∠BDC=135°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDF=45°，
∵BH⊥AC，
∴∠BHD=90°，
∴∠BDH=∠DBH =45°
∴BH=DH，
∵
∴可以假设AB=5m，AC=5m
∴，
∴
∴CH=2BH，
∴DH=CD=DE，
设DH=CD=DE=k，则，
∴
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，证明∠BDH=45°，再证明BH=DH=CD=DE，可得结论.
23．【答案】
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，
当y=0时，即，
可得x1=-2，x2=3，
∴，B(0，3)，
则，，
∴，则∠DBC=60°，
分别取BC，BN的中点P，Q，连接PQ，
则，，PQ是△BCN的中位线，
∴，
∵CN=2BM，
∴PQ=BM，
过点B作BE//PQ，且，则BD=BE，
∴∠BPQ=∠EBM，∠BDE=45°，BP=BE，
∴△BPQ △EBM(SAS)，
∴BQ=EM，
∴，
当M在DE上时取等号，
即：当取最小值时，M在DE上，
此时，过点M作MF⊥BD，
则，
，
又∵∠BDE=45°，
∴，则，
可得，则，
∴此时，
即：当取最小值时，，
故答案为：.
【分析】由函数解析式求得，B(0，3)，进而可得，BC=5，则，可知∠DBC=60°，分别取BC，BN的中点P，Q，连接PQ，则，，PQ是△BCN的中位线，得PQ=CN，PQ=BM，过点B作BE//PQ，且，则BD=BE，证明△BPQ≌△EBM(SAS)，得BQ=EM，可知，当M在DE上时取等号，此时，过点M作MF⊥BD，解直角三角形得，可得，则，可知此时DN=CD-CN，即可求解.
24．【答案】（1）解：根据题意得：y= 100-2(x-30)或y=100 +5(30-x)，
∴y与x的函数关系式为y=-2x +160或y=-5x+250；
（2）解：设销售利润为w元，
根据题意得：w=(x-30)·（-2x+160)=-2x2+220x-4800=-2(x-55)2+1250，
∵x为整数且20∵-2<0，开口向下，对称轴是直线x=55，
：30≤x≤50在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴x=50时，w取最大值，最大值是-2x(50-55)2+1250=1200(元)，
若售价每下降1元，日销量就会增加5件时，w=(x-30)(-5x+250)=-5x2+400x-7500=-5(x-40)2+500，
∵x为整数且20∴-<0，开口向下，对称轴是直线x=40，
∴20∴在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x =40 时，w取最大值，最大值是-5(x-40)2+500=500(元)，
答：x=50时，w取最大值，最大值是1200元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据销量在100件的基础上不断减少或增加列出函数关系式即可；
(2)利用总利润=单件的利润×销量列出二次函数求得最值即可.
25．【答案】（1）解：∵直线y=-x-2与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A(-4，0)，B(0，-2)，
∴OB=2，
∵tan∠OBC =
∴OC= 1，
∴C(1，0)，
∵y =ax2+bx+c经过点A，B，C，
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵AB2 + BC2 = AC2，
∴∠ABC =90°，
∴B(0，-2)，C(1，0)，
取BC的中点F(，-1)，在CB的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，
∴，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，DE//BC，
∵
∴，
∴四边形DEBG是矩形，
∴DG//AB，
设直线且过点，
，
∴
∴，
∴或
（3）解：抛物线w1与抛物线w：y=ax2+bx+c关于原点对称，
∴w1的函数表达式为
∴点F的坐标为(4，0)，
∵GF⊥AF
∴点G的坐标为(4， 4)，
在x轴上取一点P，使得PA=PB，此时∠BPO=2∠OAB，
设P(x，O)，
∴(x+4)2 = x2+4，
∴
∴P（，0）
∴tan∠BPO=
当点H位于第一象限时，过点B作QB⊥AB交GH的延长线于点Q，作QM⊥y轴于点M，作GN⊥y轴于点N，
设点Q的坐标为(m，n)，
∴MB=n+2，MQ=m，BN=2，GN=4，
∵∠MBQ+∠NBG=∠MBQ+∠MQB=90°，
∴∠MQB=∠NBG，
∵∠BMQ= ∠BNG=90°，
∴△BMQ∽△GNB，
∴∠AGH=2∠BAO=∠BPO，
，
∴
∴
直线GQ与w1交于点H，
∴（舍去）
∴点l的坐标为
当点H位于第三象限时，点Q与点Q’关于点B对称，此时∠AGQ’=∠AGQ=2∠BAO，
∴Q’
∴
∴
∴（舍去）
∴点H的坐标为
综上所述，点H的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)先求出A(-4，0)，B(0，-2)，再根据，求出C(1，0)，利用待定系数法即可求解；
(2)取BC的中点，在CB的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，得到，根据，求出，证明四边形DEBG是矩形，求出直线，联立，求解即可；
(3)抛物线w1与抛物线w：y=ax2+bx+c关于原点对称，求出w1的函数表达式为，分点H位于第一象限，点H位于第三象限两种情讨论即可.
26．【答案】（1）证明：∵AB= BC，∠ABC =60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC = ∠ACB =60°，
∵BD绕点B顺时针旋转30°至线段BD'，
∴∠DBD'= 30°，BD=BD'，
∵BA平分∠EBD，
∴，
∴∠CBD=∠ABC-∠BDA=45°，∠E=∠BAC-∠D'BA=45°，
∴∠E=∠DBC，
∵BA=BA，
∴△DBA≌△D'BA(SAS)，
∴∠ADB = ∠AD' B，
∴180°-∠ADB=180°-∠AD'B，
∴∠BDC=∠AD'E，
∴△AED'∽△CBD
（2）解：解：如图 1，
作D'E⊥CE于E，
∵∠E=∠BAC- ∠DBD'=60°-30°，∠DBD'= 30°，
∴∠E =∠DBD'=30°，
∴∠E=∠DBD'，
∴AE=AB=8，
设D'F=a，则EF=a，
∵BD'=BD，∠DBD'= 30°，
∴∠BDD'=∠BD'D=75°，
∴∠FAD'=180°-60°-75°=45°，
∴AF=D'F=a，
由EF + AF =AE得，
a+a=8，
∴a=4-4，
∴AD'=a=4-4；
（3）解：解：如图2 1，
作BG⊥AD于G，连接FG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBG =∠ABC = 30°，
∴∠DBD'= 30°，∠BFD=90°，
∴∠CBG = ∠DBD'，
∴∠FBG = ∠CBD，
∴△FBG∽△DBC，
∴∠BGF=∠BCD=180°-∠ACB=120°，
∴∠DGF =30°，
∴点F在过点G且与AD成30°得直线上运动，
∴当CF⊥FG时，CF最小，
如图2-2，
作
由得，
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】(1)可证得∠E=∠DBC=45°，可证得△DBA≌△D'BA，从而∠ADB=∠AD'B，进而得出
∠BDC=∠AD'E，从而△AED'∽△CBD；
(2)作D'E⊥CE于E，可得出∠E=∠DBD'=30°，∠FAD'=45°，解三角形AED'，进一步得出结果；
(3)作BG⊥AD于G，连接FG，可证得△FBG∽△DBC，从而得出∠BGF=∠BCD=180-∠ACB=120°，从而得出∠DGF=30°，从而点F在过点G且与AD成30°得直线上运动，当CF⊥FG时，CF最小，进一步得出结果.
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