四川省成都市邛崃市2024-2025学年九年级下学期4月适应性训练(模拟)数学试题
1.(2025·邛崃模拟)实数,在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】有理数的减法法则;有理数的乘法法则;绝对值的概念与意义;有理数的加法法则;判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解:由实数a、b在数轴上的对应点的位置可知:,
∴,
则A、B、D错误,C正确,
故答案为:C.
【分析】利用数轴上数的位置得到,然后根据绝对值、有理数的加减、乘法有法则逐项解答即可.
2.(2025·邛崃模拟)是幻方量化旗下公司深度求索()研发的推理型.拥有卓越的性能,在数学、代码和推理任务上可与媲美.其采用的大规模强化学习技术,仅需少量标注数据即可显著提升模型性能.此外,构建了智能训练场,通过动态生成题目和实时验证解题过程等方式,提升模型推理能力.2025年1月20日,模型正式发布,据不完全统计,截至2月5日,的下载量已接近万.将万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:万,
故答案为:C .
【分析】科学记数法的表示形式为,n值的为小数点向左移动位数.
3.(2025·邛崃模拟)下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式;完全平方公式及运用;合并同类项法则及应用;积的乘方运算
【解析】【解答】解:A、,故A选项计算错误,不合题意;
B、,故B选项计算错误,不合题意;
C、与不是同类项,不能合并,故C选项计算错误,不符合题意;
D、,故D选项计算正确,符合题意;
故答案为:D.
【分析】根据单项式乘单项式,合并同类项,积的乘方,完全平方公式的运算法则逐项判断解题.
4.(2025·邛崃模拟)学校组织各班开展“减少近视,守护光明”主题班会活动,九年级一班班长小颖随即组织本班42名同学 进行视力检查,小颖根据视力检查数据制作了如下统计表,则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位 数分别是( )
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2
人数 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2
A.4.8,4.8 B.4.8,4.7 C.4.8,4.75 D.4.8,4.6
【答案】A
【知识点】中位数;众数
【解析】【解答】解:在这一组数据中4.8是出现次数最多的,故众数是4.8.
而将这组数据从小到大的顺序排列后,处于中间位置的两个数都是4.8,
那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是4.8.
故答案为:A.
【分析】众数是出现次数最多的数,中位数是中间位置的数;由于总人数为42(偶数),中位数需取第21和第22个数的平均值.
5.(2025·邛崃模拟)如图,将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形,连接,测得,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:如图所示,过点C作,过点A作,
∵,,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴.
故答案为:B.
【分析】过点C作,过点A作,即可得到,进而得到,然后等边对等角和三角形的外角解答即可.
6.(2025·邛崃模拟)在平面直角坐标系中,点关于直线的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解:点到直线的距离为,
点关于直线的对称点到直线的距离为1,
点的横坐标为,
对称点的坐标为.
故答案为:D.
【分析】先求出点到直线的距离为1,随后求得点的横坐标,纵坐标不变解答即可.
7.(2025·邛崃模拟)如图,在中,弦,,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】圆周角定理;两直线平行,内错角相等
【解析】【解答】解:∵,,
∴,
∴,
故答案为:A.
【分析】根据平行线的性质可得,然后利用圆周角定理解答即可.
8.(2025·邛崃模拟)二次函数的图象如图所示,则下列说法不正确的是( )
A.对称轴为直线 B.的最小值为
C.对应的函数值为 D.当时,则
【答案】D
【知识点】二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:二次函数与轴的两个交点为,
∴对称轴直线为,故A选项正确,不符合题意;
根据题意,二次函数经过,
∴,
解得,,
∴二次函数解析式为,
∴的最小值为,故B选项正确,不符合题意;
当时,,故C选项正确,不符合题意;
当时,,当时,,当时,,
∴当时,则,故D选项错误,符合题意;
故答案为:D .
【分析】根据二次函数的对称性得到对称轴判断A选项;利用待定系数法求出二次函数解析式,化为顶点式判断B选项;把x=-2代入求出y的值判断C选项;根据函数的增减性得到函数值的取值范围判断D选项解答即可.
9.(2025·邛崃模拟)已知,则y= .
【答案】1
【知识点】开平方(求平方根);平方根的性质
【解析】【解答】解:方程两边平方得:y+3=4
解得:y=1
检验:当y=1时,,符合题意.
故答案为:1.
【分析】通过对方程两边平方消去平方根,转化为线性方程求解,最后代入检验解的正确性.
10.(2025·邛崃模拟)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解:∵一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴,
解得:,
故答案为:.
【分析】利用有两个不相等的实数根可得,求出m的取值范围解题即可.
11.(2025·邛崃模拟)如图,四边形是平行四边形,为对角线,于点,,,则的值为 .
【答案】
【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应三线;相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解:∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,即,
故答案为:.
【分析】根据平行四边形的性质得到,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.
12.(2025·邛崃模拟)《九章算术》是中国古代的数学专著,成书于公元一世纪左右.小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后,随即对某个题目进行改编,修改后的题目为:“今有5头牛、7只羊,值钱920金;将牛与羊互换其中一只(头),值金相同.”设每头牛、每只羊的价格各为x金,y金,根据题意列出方程组为 .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解:由题意得:,
故答案为:.
【分析】根据原价列方程,再根据互换后的总价列方程即可.
13.(2025·邛崃模拟)如图,在中,,分别以点,为圆心,大于的长为半径画弧,两弧分别交于点和点;作直线分别交线段,于点,.若,,则的值为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质;勾股定理;尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解:连接,
根据作图得:垂直平分,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴;
故答案为:.
【分析】连接,由作图可得垂直平分,即可得到,然后利用勾股定理解答即可.
14.(2025·邛崃模拟)(1)计算:;
(2)解不等式组:
【答案】解:(1)
;
(2)
解不等式①,得,
解不等式②,得,
原不等式组的解集为.
【知识点】零指数幂;负整数指数幂;解一元一次不等式组;实数的混合运算(含开方)
【解析】【分析】(1)先运算零指数幂,负整数指数幂和根据二次根式的宗旨化简,绝对值,然后合并同类二次根式解题;
(2)先求出两个不等式的解集,然后根据 “同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”求出公共部分解题即可.
15.(2025·邛崃模拟)2025年1月,中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要(2024-2035年)》.《纲要》指出:促进学生健康成长、全面发展.深入实施素质教育,健全德智体美劳全面培养体系,加快补齐体育、美育、劳动教育短板.落实健康第一教育理念,实施学生体质强健计划.某校为落实文件精神,随即调整完善学生体育训练计划,保证学生每天在校综合体育活动时间不低于2小时.学校通过增加体育课程和各类比赛等不断丰富体育项目,让学生健康快乐成长.为了解同学们对比赛项目的喜爱情况,体育组老师对部分同学进行了项目喜好情况调查(每位同学只能选一种),特制定如下统计表和统计图.
比赛项目 人数
篮球比赛 60
足球比赛 50
排球比赛
乒乓球比赛
羽毛球比赛 25
空竹比赛
根据图表信息,解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有______人,表中______,______;
(2)在扇形统计图中,求“”“”比赛项目对应的圆心角度数;
(3)若学校共有1600名学生,请你根据调查结果,估计选择“”比赛项目的学生人数.
【答案】(1),,
(2)解:A:,E:;
(3)解:(人),(人)
答:估计选择“”比赛项目的学生人数为.
【知识点】频数与频率;扇形统计图;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解:(人),
(人),
(人);
故答案为:200;30;20;
【分析】(1)根据B组的人数除以占比求出考查总人数,然后用样本容量×排球、乒乓球人数占比求出x和y的值即可.
(2)根据“”“”比赛项目的占比×360°解答即可.
(3)运用“”比赛项目的占比×1600解题即可.
(1)解:(人),
(人),
(人);
(2)解:A:,E:;
(3)解:(人),
(人)
答:估计选择“”比赛项目的学生人数为.
16.(2025·邛崃模拟)寒假中,小张和家人到某景点旅游.小张是摄影爱好者,他操控无人机对景点的建筑物进行拍摄游览.某景点的游览阶梯与水平地面的夹角为度,无人机位于点处,测得阶梯同侧建筑物,的俯角分别为和(点,在直线上,,),若无人机离建筑物,的竖直距离分别为和,求点与点的水平距离.(参考数据:,,,,,)
【答案】点D与点E的水平距离为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解:作分别垂直于点P,Q,
,,
,
,
,
,
,
点D与点E的水平距离为.
【分析】作分别垂直于点P,Q,根据正切的定义求出,,然后根据线段的和差解题即可.
17.(2025·邛崃模拟)如图,在中,,以边为直径的与交于点,点为弧的中点,直线,分别交,于点,.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)证明:为的直径,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
(2)解:如图,连接,
由(1)得:,,
,
,
,
,,
,
,,
,
,
为的直径,
,
,
,
,
.
【知识点】圆周角定理;三角形全等的判定-SAS;三角形全等的判定-AAS;解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理,可得,然后推理得到,,根据两角对应相等的两三角形相似解答;
(2)连接,即可得到,,然后证明,,即可得到,,然后根据正切的定义解答即可.
(1)证明:为的直径,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
(2)解:如图,连接,
由(1)得:,,
,
,
,
,,
,
,,
,
,
为的直径,
,
,
,
,
.
18.(2025·邛崃模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线:与反比例函数的图象分别交于点和点.
(1)求直线的表达式;
(2)如图2,直线经过点与反比例函数的图象交于点,与轴交于点,点将线段分成,两条线段,且,连接,求的面积;
(3)在(2)的条件下,坐标轴上是否存在点,使是以为斜边的直角三角形,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:将代入,
,
即,
将代入,
,
直线的表达式为;
(2)解:直线与反比例函数交于点A,B,
联立方程组得
解得,
,
过点C作轴于点M,过点B作轴于点N,
,
,
,
在中,当时,,
,
设直线的函数表达式为,
直线的函数表达式为,
直线与x轴交于点D,
,
直线与x轴交于点G,
,
,
;
(3)解:如图,取的中点M,以点M为圆心,为半径作交坐标轴于点E,连接,,
为的直径,
,
是的中点,
,
当点E在y轴上时,设点E的坐标为,
,
,
,,
当点E在x轴上时,设点E的坐标为,
,
,
,,
综上所述,点E的坐标为或或或.
【知识点】一次函数与二元一次方程(组)的关系;反比例函数与一次函数的交点问题;圆周角定理;坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出一次函数的解析式即可;
(2)联立两解析式求出点B的坐标,过点C作轴于点M,过点B作轴于点N,根据平行线分线段成比例得到,然后求出直线的解析式,然后求出两直线与x轴交点的坐标,利用三角形的面积公式计算解题即可;
(3)取的中点M,以点M为圆心,为半径作交坐标轴于点E,连接,,分点E在y轴上,设点E的坐标为,点E在x轴上,设点E的坐标为,根据勾股定理解答即可.
(1)解:将代入,
,
即,
将代入,
,
直线的表达式为;
(2)解:直线与反比例函数交于点A,B,
联立方程组得
解得,
,
过点C作轴于点M,过点B作轴于点N,
,
,
,
在中,当时,,
,
设直线的函数表达式为,
直线的函数表达式为,
直线与x轴交于点D,
,
直线与x轴交于点G,
,
,
;
(3)解:如图,取的中点M,以点M为圆心,为半径作交坐标轴于点E,连接,,
为的直径,
,
是的中点,
,
当点E在y轴上时,设点E的坐标为,
,
,
,,
当点E在x轴上时,设点E的坐标为,
,
,
,,
综上所述,点E的坐标为或或或.
19.(2025·邛崃模拟)已知,是关于的一元二次方程的两个实数根,则的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解:∵a,b是一元二次方程的两个实数根,
∴,,
∴,
∵
.
故答案为:.
【分析】根据根与系数的关系得到,,然后变形为,再整体代入解题即可.
20.(2025·邛崃模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线与直线的图象交于点,点的横坐标为,则 .
【答案】2
【知识点】一次函数与二元一次方程(组)的关系
【解析】【解答】解:直线与直线的图象交于点,点的横坐标为,
∴,
∴,
故答案为: .
【分析】把x=-2代入得到,,求出a-b即可解题.
21.(2025·邛崃模拟)如图,四边形是平行四边形,点为边上的中点,点为对角线上一点,且,现假设可以随意在图中取点,则这个点取在阴影部分的概率为 .
【答案】
【知识点】平行四边形的性质;几何概率;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解:如图所示,连接交于点,过点作于点,过点作于点,则,
∵四边形是平行四边形,
∴,,
在中,点是中点,
∴,
∴,
∵,
∴设,则,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴现假设可以随意在图中取点,则这个点取在阴影部分的概率为,
故答案为: .
【分析】连接交于点,过点作于点,过点作于点,则,根据中点的性质得到,设,然后得到,即可得到,由即可解答即可.
22.(2025·邛崃模拟)如图,在中,,,点为斜边上一点,连接,将沿翻折得到,与交于点,当时,则
【答案】
【知识点】勾股定理;翻折变换(折叠问题);解直角三角形—边角关系;8字型相似模型;相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解:∵,,
∴,
由翻折可得:,
∵,
∵,
∴,
设,则,
∴,
∵,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
设,则,
∵,
∴,
解得:,
∴,
∴,
在中,,
如图,过点作于点,则,
∴,
∴,即,
∴,
在中,,
∴,
在中,,
∴,
故答案为:.
【分析】根据正弦得到,然后根据翻折得到,设,,根据正切得到,即可得到AB,BC长,根据勾股定理求出AC长,过点作于点,则, 即可得到,根据对应边成比例求出,进而得到BH长,再利用勾股定理求出BD长解题即可.
23.(2025·邛崃模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线的图象与轴分别交于点和点,过顶点的直线轴于点,点为线段上一点,点在线段上,且,当取最小值时,则 .
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS;三角形的中位线定理;解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解:∵,
当时,即,可得,,
∴,,
则,,
∴,则,
分别取,的中点,,连接,则,,是的中位线,
∴,
∵,
∴,
过点作,且,则,
∴,,
∴,
∴,
∴,当在上时取等号,
即:当取最小值时,在上,
此时,过点作,则,,
又∵,
∴,则,
可得,则
∴此时,
即:当取最小值时,,
故答案为:.
【分析】先求出点B、C的坐标,根据余弦的定义求出,分别取,的中点,,连接,则是的中位线,过点作,证明,得,即可得到,当在上时取等号,此时过点作,利用解直角三角形求出BM长解题即可.
24.(2025·邛崃模拟)春节期间,由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评,某商家抓住商机,随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品.经销售发现:当售价为每件30元时,每天可售出100件;售价每上涨2元,日销量就会减少4件;售价每下降1元,日销量就会增加5件.设该纪念品的 售价为每件x元(x为整数且20(1)求出y与x的函数关系式;
(2)该纪念品售价定为多少元时,商家每天获得的销售利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)解:根据题意得:y= 100-2(x-30)或y=100 +5(30-x),
∴y与x的函数关系式为y=-2x +160或y=-5x+250;
(2)解:设销售利润为w元,
根据题意得:w=(x-30)·(-2x+160)=-2x2+220x-4800=-2(x-55)2+1250,
∵x为整数且20∵-2<0,开口向下,对称轴是直线x=55,
:30≤x≤50在对称轴左侧,w随x的增大而增大,
∴x=50时,w取最大值,最大值是-2x(50-55)2+1250=1200(元),
若售价每下降1元,日销量就会增加5件时,w=(x-30)(-5x+250)=-5x2+400x-7500=-5(x-40)2+500,
∵x为整数且20∴-<0,开口向下,对称轴是直线x=40,
∴20∴在对称轴左侧,w随x的增大而增大,
∴当x =40 时,w取最大值,最大值是-5(x-40)2+500=500(元),
答:x=50时,w取最大值,最大值是1200元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题;一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据销量在100件的基础上不断减少或增加列出函数关系式即可;
(2)利用总利润=单件的利润×销量列出二次函数求得最值即可.
25.(2025·邛崃模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别交于点,,抛物线:经过,两点,与轴交于点,连接,且.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图2,点为抛物线上一点,且位于第三象限,于点,若,求点的坐标;
(3)抛物线与抛物线:关于原点对称,抛物线与轴正半轴交于点,作交直线于点,在抛物线上是否存在点,使得∠,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:直线与x轴,y轴分别交于点A,B,
,,
,
,
,
,
经过点A,B,C,
解得
抛物线的解析式为;
(2)解:,
,
,,
取的中点,在的延长线上取点G,使点G与点F关于点B对称,
,
,
,,
,
,
四边形是矩形,
,
设直线且过点,
,
,
或;
(3)解:抛物线与抛物线关于原点对称,的函数表达式为,
点F的坐标为,
,
点G的坐标为,
在x轴上取一点P,使得,此时,
设,
,
,
,
,
当点H位于第一象限时,过点B作交的延长线于点Q,作轴于点M,作轴于点N,
设点Q的坐标为,
,,,,
∵
∴
∵
∴,
,
,
,
,,
,
,
直线与交于点H,
(舍去),
点H的坐标为,
当点H位于第三象限时,点与点Q关于点B对称,此时,
,
,
(舍去),
点H的坐标为,
综上所述,点H的坐标为或.
【知识点】解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边;二次函数-线段周长问题;二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)先求出点A、B的坐标,再根据正切求出点C的坐标,根据待定系数法求出二次函数的解析式即可;
(2)取的中点F,在的延长线上取点G,使点G与点F关于点B对称,得到G点的坐标,即可得到,然后推理得到是矩形,求出直线DG的解析式,联立一次函数和二次函数的解析式求出交点坐标即可;
(3)根据对称性得到的函数表达式,分点H位于第一象限,点H位于第三象限两种情况根据相似三角形的性质求出点Q的坐标,即可求出GQ的解析式,联立一次函数和二次函数的解析式求出交点坐标即可.
(1)解:直线与x轴,y轴分别交于点A,B,
,,
,
,
,
,
经过点A,B,C,
解得
抛物线的解析式为;
(2)解:,
,
,,
取的中点,在的延长线上取点G,使点G与点F关于点B对称,
,
,
,,
,
,
四边形是矩形,
,
设直线且过点,
,
,
或;
(3)解:抛物线与抛物线关于原点对称,
的函数表达式为,
点F的坐标为,
,
点G的坐标为,
在x轴上取一点P,使得,此时,
设,
,
,
,
,
当点H位于第一象限时,过点B作交的延长线于点Q,作轴于点M,作轴于点N,
设点Q的坐标为,
,,,,
∵
∴
∵
∴,
,
,
,
,,
,
,
直线与交于点H,
(舍去),
点H的坐标为,
当点H位于第三象限时,点与点Q关于点B对称,此时,
,
,
(舍去),
点H的坐标为,
综上所述,点H的坐标为或.
26.(2025·邛崃模拟)在中,,,点为直线上一点,连接,将绕点顺时针旋转至线段,直线与直线交于点.
(1)如图1,当平分时,连接,求证:;
(2)如图2,当点与点重合时,连接,求的值;
(3)过点作于点,连接,当最小时,求的面积.
【答案】(1)证明:,,
是等边三角形,
,
平分,
,
,,
,
,,
,,,
,,
;
(2)解:由(1)得,
,,
,,
,,
,,,
,
,
,
,
;
(3)解:作于点G,
,,,,
,
,
,
,
,
,
,
,,
,
当最小时,此时,作于点H,
,,
,,
,
,
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质;旋转的性质;三角形全等的判定-SAS;解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)先得到是等边三角形,根据旋转可得,进而得到两组对角分别相等,证明三角形相似;
(2)解直角三角形求出EB和CD'的值,然后证明,根据对应边成比例解答即可;
(3)作于点G,即可得到,,根据对应边成比例得到,,即当最小时,此时,作于点H,求出GF和FH长,然后根据三角形的面积公式计算解题.
(1)证明:,,
是等边三角形,
,
平分,
,
,,
,
,,
,,,
,,
;
(2)解:由(1)得,
,,
,,
,,
,,,
,
,
,
,
;
(3)解:作于点G,
,,,,
,
,
,
,
,
,
,
,,
,
当最小时,此时,作于点H,
,,
,,
,
,
∴.
1 / 1四川省成都市邛崃市2024-2025学年九年级下学期4月适应性训练(模拟)数学试题
1.(2025·邛崃模拟)实数,在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
2.(2025·邛崃模拟)是幻方量化旗下公司深度求索()研发的推理型.拥有卓越的性能,在数学、代码和推理任务上可与媲美.其采用的大规模强化学习技术,仅需少量标注数据即可显著提升模型性能.此外,构建了智能训练场,通过动态生成题目和实时验证解题过程等方式,提升模型推理能力.2025年1月20日,模型正式发布,据不完全统计,截至2月5日,的下载量已接近万.将万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.(2025·邛崃模拟)下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.(2025·邛崃模拟)学校组织各班开展“减少近视,守护光明”主题班会活动,九年级一班班长小颖随即组织本班42名同学 进行视力检查,小颖根据视力检查数据制作了如下统计表,则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位 数分别是( )
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2
人数 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2
A.4.8,4.8 B.4.8,4.7 C.4.8,4.75 D.4.8,4.6
5.(2025·邛崃模拟)如图,将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形,连接,测得,则的度数为( )
A. B. C. D.
6.(2025·邛崃模拟)在平面直角坐标系中,点关于直线的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.(2025·邛崃模拟)如图,在中,弦,,则的度数为( )
A. B. C. D.
8.(2025·邛崃模拟)二次函数的图象如图所示,则下列说法不正确的是( )
A.对称轴为直线 B.的最小值为
C.对应的函数值为 D.当时,则
9.(2025·邛崃模拟)已知,则y= .
10.(2025·邛崃模拟)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围为 .
11.(2025·邛崃模拟)如图,四边形是平行四边形,为对角线,于点,,,则的值为 .
12.(2025·邛崃模拟)《九章算术》是中国古代的数学专著,成书于公元一世纪左右.小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后,随即对某个题目进行改编,修改后的题目为:“今有5头牛、7只羊,值钱920金;将牛与羊互换其中一只(头),值金相同.”设每头牛、每只羊的价格各为x金,y金,根据题意列出方程组为 .
13.(2025·邛崃模拟)如图,在中,,分别以点,为圆心,大于的长为半径画弧,两弧分别交于点和点;作直线分别交线段,于点,.若,,则的值为 .
14.(2025·邛崃模拟)(1)计算:;
(2)解不等式组:
15.(2025·邛崃模拟)2025年1月,中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要(2024-2035年)》.《纲要》指出:促进学生健康成长、全面发展.深入实施素质教育,健全德智体美劳全面培养体系,加快补齐体育、美育、劳动教育短板.落实健康第一教育理念,实施学生体质强健计划.某校为落实文件精神,随即调整完善学生体育训练计划,保证学生每天在校综合体育活动时间不低于2小时.学校通过增加体育课程和各类比赛等不断丰富体育项目,让学生健康快乐成长.为了解同学们对比赛项目的喜爱情况,体育组老师对部分同学进行了项目喜好情况调查(每位同学只能选一种),特制定如下统计表和统计图.
比赛项目 人数
篮球比赛 60
足球比赛 50
排球比赛
乒乓球比赛
羽毛球比赛 25
空竹比赛
根据图表信息,解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有______人,表中______,______;
(2)在扇形统计图中,求“”“”比赛项目对应的圆心角度数;
(3)若学校共有1600名学生,请你根据调查结果,估计选择“”比赛项目的学生人数.
16.(2025·邛崃模拟)寒假中,小张和家人到某景点旅游.小张是摄影爱好者,他操控无人机对景点的建筑物进行拍摄游览.某景点的游览阶梯与水平地面的夹角为度,无人机位于点处,测得阶梯同侧建筑物,的俯角分别为和(点,在直线上,,),若无人机离建筑物,的竖直距离分别为和,求点与点的水平距离.(参考数据:,,,,,)
17.(2025·邛崃模拟)如图,在中,,以边为直径的与交于点,点为弧的中点,直线,分别交,于点,.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
18.(2025·邛崃模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线:与反比例函数的图象分别交于点和点.
(1)求直线的表达式;
(2)如图2,直线经过点与反比例函数的图象交于点,与轴交于点,点将线段分成,两条线段,且,连接,求的面积;
(3)在(2)的条件下,坐标轴上是否存在点,使是以为斜边的直角三角形,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
19.(2025·邛崃模拟)已知,是关于的一元二次方程的两个实数根,则的值为 .
20.(2025·邛崃模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线与直线的图象交于点,点的横坐标为,则 .
21.(2025·邛崃模拟)如图,四边形是平行四边形,点为边上的中点,点为对角线上一点,且,现假设可以随意在图中取点,则这个点取在阴影部分的概率为 .
22.(2025·邛崃模拟)如图,在中,,,点为斜边上一点,连接,将沿翻折得到,与交于点,当时,则
23.(2025·邛崃模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线的图象与轴分别交于点和点,过顶点的直线轴于点,点为线段上一点,点在线段上,且,当取最小值时,则 .
24.(2025·邛崃模拟)春节期间,由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评,某商家抓住商机,随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品.经销售发现:当售价为每件30元时,每天可售出100件;售价每上涨2元,日销量就会减少4件;售价每下降1元,日销量就会增加5件.设该纪念品的 售价为每件x元(x为整数且20(1)求出y与x的函数关系式;
(2)该纪念品售价定为多少元时,商家每天获得的销售利润最大?最大利润是多少?
25.(2025·邛崃模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别交于点,,抛物线:经过,两点,与轴交于点,连接,且.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图2,点为抛物线上一点,且位于第三象限,于点,若,求点的坐标;
(3)抛物线与抛物线:关于原点对称,抛物线与轴正半轴交于点,作交直线于点,在抛物线上是否存在点,使得∠,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
26.(2025·邛崃模拟)在中,,,点为直线上一点,连接,将绕点顺时针旋转至线段,直线与直线交于点.
(1)如图1,当平分时,连接,求证:;
(2)如图2,当点与点重合时,连接,求的值;
(3)过点作于点,连接,当最小时,求的面积.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】有理数的减法法则;有理数的乘法法则;绝对值的概念与意义;有理数的加法法则;判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解:由实数a、b在数轴上的对应点的位置可知:,
∴,
则A、B、D错误,C正确,
故答案为:C.
【分析】利用数轴上数的位置得到,然后根据绝对值、有理数的加减、乘法有法则逐项解答即可.
2.【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:万,
故答案为:C .
【分析】科学记数法的表示形式为,n值的为小数点向左移动位数.
3.【答案】D
【知识点】单项式乘单项式;完全平方公式及运用;合并同类项法则及应用;积的乘方运算
【解析】【解答】解:A、,故A选项计算错误,不合题意;
B、,故B选项计算错误,不合题意;
C、与不是同类项,不能合并,故C选项计算错误,不符合题意;
D、,故D选项计算正确,符合题意;
故答案为:D.
【分析】根据单项式乘单项式,合并同类项,积的乘方,完全平方公式的运算法则逐项判断解题.
4.【答案】A
【知识点】中位数;众数
【解析】【解答】解:在这一组数据中4.8是出现次数最多的,故众数是4.8.
而将这组数据从小到大的顺序排列后,处于中间位置的两个数都是4.8,
那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是4.8.
故答案为:A.
【分析】众数是出现次数最多的数,中位数是中间位置的数;由于总人数为42(偶数),中位数需取第21和第22个数的平均值.
5.【答案】B
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:如图所示,过点C作,过点A作,
∵,,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴.
故答案为:B.
【分析】过点C作,过点A作,即可得到,进而得到,然后等边对等角和三角形的外角解答即可.
6.【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解:点到直线的距离为,
点关于直线的对称点到直线的距离为1,
点的横坐标为,
对称点的坐标为.
故答案为:D.
【分析】先求出点到直线的距离为1,随后求得点的横坐标,纵坐标不变解答即可.
7.【答案】A
【知识点】圆周角定理;两直线平行,内错角相等
【解析】【解答】解:∵,,
∴,
∴,
故答案为:A.
【分析】根据平行线的性质可得,然后利用圆周角定理解答即可.
8.【答案】D
【知识点】二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:二次函数与轴的两个交点为,
∴对称轴直线为,故A选项正确,不符合题意;
根据题意,二次函数经过,
∴,
解得,,
∴二次函数解析式为,
∴的最小值为,故B选项正确,不符合题意;
当时,,故C选项正确,不符合题意;
当时,,当时,,当时,,
∴当时,则,故D选项错误,符合题意;
故答案为:D .
【分析】根据二次函数的对称性得到对称轴判断A选项;利用待定系数法求出二次函数解析式,化为顶点式判断B选项;把x=-2代入求出y的值判断C选项;根据函数的增减性得到函数值的取值范围判断D选项解答即可.
9.【答案】1
【知识点】开平方(求平方根);平方根的性质
【解析】【解答】解:方程两边平方得:y+3=4
解得:y=1
检验:当y=1时,,符合题意.
故答案为:1.
【分析】通过对方程两边平方消去平方根,转化为线性方程求解,最后代入检验解的正确性.
10.【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解:∵一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴,
解得:,
故答案为:.
【分析】利用有两个不相等的实数根可得,求出m的取值范围解题即可.
11.【答案】
【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应三线;相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解:∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,即,
故答案为:.
【分析】根据平行四边形的性质得到,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.
12.【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解:由题意得:,
故答案为:.
【分析】根据原价列方程,再根据互换后的总价列方程即可.
13.【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质;勾股定理;尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解:连接,
根据作图得:垂直平分,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴;
故答案为:.
【分析】连接,由作图可得垂直平分,即可得到,然后利用勾股定理解答即可.
14.【答案】解:(1)
;
(2)
解不等式①,得,
解不等式②,得,
原不等式组的解集为.
【知识点】零指数幂;负整数指数幂;解一元一次不等式组;实数的混合运算(含开方)
【解析】【分析】(1)先运算零指数幂,负整数指数幂和根据二次根式的宗旨化简,绝对值,然后合并同类二次根式解题;
(2)先求出两个不等式的解集,然后根据 “同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”求出公共部分解题即可.
15.【答案】(1),,
(2)解:A:,E:;
(3)解:(人),(人)
答:估计选择“”比赛项目的学生人数为.
【知识点】频数与频率;扇形统计图;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解:(人),
(人),
(人);
故答案为:200;30;20;
【分析】(1)根据B组的人数除以占比求出考查总人数,然后用样本容量×排球、乒乓球人数占比求出x和y的值即可.
(2)根据“”“”比赛项目的占比×360°解答即可.
(3)运用“”比赛项目的占比×1600解题即可.
(1)解:(人),
(人),
(人);
(2)解:A:,E:;
(3)解:(人),
(人)
答:估计选择“”比赛项目的学生人数为.
16.【答案】点D与点E的水平距离为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解:作分别垂直于点P,Q,
,,
,
,
,
,
,
点D与点E的水平距离为.
【分析】作分别垂直于点P,Q,根据正切的定义求出,,然后根据线段的和差解题即可.
17.【答案】(1)证明:为的直径,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
(2)解:如图,连接,
由(1)得:,,
,
,
,
,,
,
,,
,
,
为的直径,
,
,
,
,
.
【知识点】圆周角定理;三角形全等的判定-SAS;三角形全等的判定-AAS;解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理,可得,然后推理得到,,根据两角对应相等的两三角形相似解答;
(2)连接,即可得到,,然后证明,,即可得到,,然后根据正切的定义解答即可.
(1)证明:为的直径,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
(2)解:如图,连接,
由(1)得:,,
,
,
,
,,
,
,,
,
,
为的直径,
,
,
,
,
.
18.【答案】(1)解:将代入,
,
即,
将代入,
,
直线的表达式为;
(2)解:直线与反比例函数交于点A,B,
联立方程组得
解得,
,
过点C作轴于点M,过点B作轴于点N,
,
,
,
在中,当时,,
,
设直线的函数表达式为,
直线的函数表达式为,
直线与x轴交于点D,
,
直线与x轴交于点G,
,
,
;
(3)解:如图,取的中点M,以点M为圆心,为半径作交坐标轴于点E,连接,,
为的直径,
,
是的中点,
,
当点E在y轴上时,设点E的坐标为,
,
,
,,
当点E在x轴上时,设点E的坐标为,
,
,
,,
综上所述,点E的坐标为或或或.
【知识点】一次函数与二元一次方程(组)的关系;反比例函数与一次函数的交点问题;圆周角定理;坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出一次函数的解析式即可;
(2)联立两解析式求出点B的坐标,过点C作轴于点M,过点B作轴于点N,根据平行线分线段成比例得到,然后求出直线的解析式,然后求出两直线与x轴交点的坐标,利用三角形的面积公式计算解题即可;
(3)取的中点M,以点M为圆心,为半径作交坐标轴于点E,连接,,分点E在y轴上,设点E的坐标为,点E在x轴上,设点E的坐标为,根据勾股定理解答即可.
(1)解:将代入,
,
即,
将代入,
,
直线的表达式为;
(2)解:直线与反比例函数交于点A,B,
联立方程组得
解得,
,
过点C作轴于点M,过点B作轴于点N,
,
,
,
在中,当时,,
,
设直线的函数表达式为,
直线的函数表达式为,
直线与x轴交于点D,
,
直线与x轴交于点G,
,
,
;
(3)解:如图,取的中点M,以点M为圆心,为半径作交坐标轴于点E,连接,,
为的直径,
,
是的中点,
,
当点E在y轴上时,设点E的坐标为,
,
,
,,
当点E在x轴上时,设点E的坐标为,
,
,
,,
综上所述,点E的坐标为或或或.
19.【答案】
【知识点】一元二次方程的根;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解:∵a,b是一元二次方程的两个实数根,
∴,,
∴,
∵
.
故答案为:.
【分析】根据根与系数的关系得到,,然后变形为,再整体代入解题即可.
20.【答案】2
【知识点】一次函数与二元一次方程(组)的关系
【解析】【解答】解:直线与直线的图象交于点,点的横坐标为,
∴,
∴,
故答案为: .
【分析】把x=-2代入得到,,求出a-b即可解题.
21.【答案】
【知识点】平行四边形的性质;几何概率;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解:如图所示,连接交于点,过点作于点,过点作于点,则,
∵四边形是平行四边形,
∴,,
在中,点是中点,
∴,
∴,
∵,
∴设,则,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴现假设可以随意在图中取点,则这个点取在阴影部分的概率为,
故答案为: .
【分析】连接交于点,过点作于点,过点作于点,则,根据中点的性质得到,设,然后得到,即可得到,由即可解答即可.
22.【答案】
【知识点】勾股定理;翻折变换(折叠问题);解直角三角形—边角关系;8字型相似模型;相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解:∵,,
∴,
由翻折可得:,
∵,
∵,
∴,
设,则,
∴,
∵,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
设,则,
∵,
∴,
解得:,
∴,
∴,
在中,,
如图,过点作于点,则,
∴,
∴,即,
∴,
在中,,
∴,
在中,,
∴,
故答案为:.
【分析】根据正弦得到,然后根据翻折得到,设,,根据正切得到,即可得到AB,BC长,根据勾股定理求出AC长,过点作于点,则, 即可得到,根据对应边成比例求出,进而得到BH长,再利用勾股定理求出BD长解题即可.
23.【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS;三角形的中位线定理;解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解:∵,
当时,即,可得,,
∴,,
则,,
∴,则,
分别取,的中点,,连接,则,,是的中位线,
∴,
∵,
∴,
过点作,且,则,
∴,,
∴,
∴,
∴,当在上时取等号,
即:当取最小值时,在上,
此时,过点作,则,,
又∵,
∴,则,
可得,则
∴此时,
即:当取最小值时,,
故答案为:.
【分析】先求出点B、C的坐标,根据余弦的定义求出,分别取,的中点,,连接,则是的中位线,过点作,证明,得,即可得到,当在上时取等号,此时过点作,利用解直角三角形求出BM长解题即可.
24.【答案】(1)解:根据题意得:y= 100-2(x-30)或y=100 +5(30-x),
∴y与x的函数关系式为y=-2x +160或y=-5x+250;
(2)解:设销售利润为w元,
根据题意得:w=(x-30)·(-2x+160)=-2x2+220x-4800=-2(x-55)2+1250,
∵x为整数且20∵-2<0,开口向下,对称轴是直线x=55,
:30≤x≤50在对称轴左侧,w随x的增大而增大,
∴x=50时,w取最大值,最大值是-2x(50-55)2+1250=1200(元),
若售价每下降1元,日销量就会增加5件时,w=(x-30)(-5x+250)=-5x2+400x-7500=-5(x-40)2+500,
∵x为整数且20∴-<0,开口向下,对称轴是直线x=40,
∴20∴在对称轴左侧,w随x的增大而增大,
∴当x =40 时,w取最大值,最大值是-5(x-40)2+500=500(元),
答:x=50时,w取最大值,最大值是1200元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题;一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据销量在100件的基础上不断减少或增加列出函数关系式即可;
(2)利用总利润=单件的利润×销量列出二次函数求得最值即可.
25.【答案】(1)解:直线与x轴,y轴分别交于点A,B,
,,
,
,
,
,
经过点A,B,C,
解得
抛物线的解析式为;
(2)解:,
,
,,
取的中点,在的延长线上取点G,使点G与点F关于点B对称,
,
,
,,
,
,
四边形是矩形,
,
设直线且过点,
,
,
或;
(3)解:抛物线与抛物线关于原点对称,的函数表达式为,
点F的坐标为,
,
点G的坐标为,
在x轴上取一点P,使得,此时,
设,
,
,
,
,
当点H位于第一象限时,过点B作交的延长线于点Q,作轴于点M,作轴于点N,
设点Q的坐标为,
,,,,
∵
∴
∵
∴,
,
,
,
,,
,
,
直线与交于点H,
(舍去),
点H的坐标为,
当点H位于第三象限时,点与点Q关于点B对称,此时,
,
,
(舍去),
点H的坐标为,
综上所述,点H的坐标为或.
【知识点】解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边;二次函数-线段周长问题;二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)先求出点A、B的坐标,再根据正切求出点C的坐标,根据待定系数法求出二次函数的解析式即可;
(2)取的中点F,在的延长线上取点G,使点G与点F关于点B对称,得到G点的坐标,即可得到,然后推理得到是矩形,求出直线DG的解析式,联立一次函数和二次函数的解析式求出交点坐标即可;
(3)根据对称性得到的函数表达式,分点H位于第一象限,点H位于第三象限两种情况根据相似三角形的性质求出点Q的坐标,即可求出GQ的解析式,联立一次函数和二次函数的解析式求出交点坐标即可.
(1)解:直线与x轴,y轴分别交于点A,B,
,,
,
,
,
,
经过点A,B,C,
解得
抛物线的解析式为;
(2)解:,
,
,,
取的中点,在的延长线上取点G,使点G与点F关于点B对称,
,
,
,,
,
,
四边形是矩形,
,
设直线且过点,
,
,
或;
(3)解:抛物线与抛物线关于原点对称,
的函数表达式为,
点F的坐标为,
,
点G的坐标为,
在x轴上取一点P,使得,此时,
设,
,
,
,
,
当点H位于第一象限时,过点B作交的延长线于点Q,作轴于点M,作轴于点N,
设点Q的坐标为,
,,,,
∵
∴
∵
∴,
,
,
,
,,
,
,
直线与交于点H,
(舍去),
点H的坐标为,
当点H位于第三象限时,点与点Q关于点B对称,此时,
,
,
(舍去),
点H的坐标为,
综上所述,点H的坐标为或.
26.【答案】(1)证明:,,
是等边三角形,
,
平分,
,
,,
,
,,
,,,
,,
;
(2)解:由(1)得,
,,
,,
,,
,,,
,
,
,
,
;
(3)解:作于点G,
,,,,
,
,
,
,
,
,
,
,,
,
当最小时,此时,作于点H,
,,
,,
,
,
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质;旋转的性质;三角形全等的判定-SAS;解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)先得到是等边三角形,根据旋转可得,进而得到两组对角分别相等,证明三角形相似;
(2)解直角三角形求出EB和CD'的值,然后证明,根据对应边成比例解答即可;
(3)作于点G,即可得到,,根据对应边成比例得到,,即当最小时,此时,作于点H,求出GF和FH长,然后根据三角形的面积公式计算解题.
(1)证明:,,
是等边三角形,
,
平分,
,
,,
,
,,
,,,
,,
;
(2)解:由(1)得,
,,
,,
,,
,,,
,
,
,
,
;
(3)解:作于点G,
,,,,
,
,
,
,
,
,
,
,,
,
当最小时,此时,作于点H,
,,
,,
,
,
∴.
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