高一年级 2024-2025 学年第二学期第一次月考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A D C A C B B BC ACD BD
12. 1 2i 13．30 21 14. 4
15. 解：（1） a b 2 ( 3) 1 4 2， | a | 22 12 5 ， | b | ( 3)2 42 5
cos a b 2 2 5
| a || b | 5 5 25
a b 2 4 2
（2）投影向量为： a (2,1) ( , )
| a |2 5 5 5
（3）a b (5, 3),a kb (2,1) k( 3,4) (2 3k,1 4k)
(a b) //(a kb)
5(1 4k ) 3(2 3k ),k 1
16. 2 2 2解：（1）由余弦定理： a b c 2bc cos A
82 72 c2 1 2 7 c c2， 2c 15 07 ，
c 5或 c 3（舍）
综上， c的值为 5
（2） cos A 1 ,A (0, ) sin A 1 cos2 A 1 (1)2 4 3
7 7 7
cosC 11 ,C (0, ) 11 5 3 sinC 1 cos2C 1 ( )2
14 14 14
又B (0, )， B
3
3
a b sinB
由正弦定理： b a 2 8 7sin A sinB sin A 4 3
7
S 1 1 5 3 ABC absinC 8 7 10 32 2 14
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1 1 3 1
17. 解：（1）如图： AM AB BM AB BC AB (AC AB) AB AC
4 4 4 4
2 3 1 9 2 2| AM |2 AM ( AB AC)2 AB 1 AC 2 3 1
AB AC
4 4 16 16 4 4
9 1
4 16 3 1 2 4 cos60 9 1 3 19
16 16 2 4 4 2 4
| AM | 19
2
1
（2）CN AN AC AB AC2
2
则CN AB (1 AB AC) AB 1 AB AC 1 1 AB 4 2 4 0
2 2 2 4
CN AB ，即CN AB .
1 1 1 1
（3） AP AC 2AN AC AN ，2AP AC AN2 4 2 2
AP AC AN AP，CP PN
CP PN ，即 P为C,N 中点.
18. 解：（1） c cos A (2b a) cosC，由正弦定理得，
sinC cosA (2sinB sin A)cosC 2sinBcosC sin AcosC
sinC cos A sin AcosC 2sinB cosC
sin(A C) 2sinB cosC，
sin(A C) sin( B) sin B
sin B 2sin BcosC
又 sinB 0， 2cosC 1,cosC
1
且C (0, )， C
2 3
2 2
（2）设外接圆半径为R，则 R 4 ,R 4,R 2,
a b c
由正弦定理， 2R 4
sin A sin B sinC
c 4sinC 4 3 2 3
2
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a b 4sin A 4sin B 4sin A 4sin(2 A)
3
3
4sin A 4( sin A 1 cos A) 6sin A 2 3 cos A
2 2
4 3( 3 sin A 1 cos A) 4 3 sin(A )
2 2 6
0 A
0 A
2 2 即 A ， A
2
0 B 0 2 A 6 2 3 6 3
2 3 2
3
sin(A ) 1，6 4 3 sin(A
) 4 3，即6 b c 4 3
2 6 6
6+2 3 a b c 6 3
综上，周长的取值范围为 (6 2 3,6 3] .
19. 解：（1）在直角梯形 ABCD中，易得 ABC ， ，
4 BC 2 2
BE 3
∵ AE BC 0，∴ AE BC
3 2
，∴ ABE为等腰直角三角形，∴ BE ，故 ；
2 BC 4
（2） AE AB BE AB BC AB BA AD DC AB AB AD AB3
1 2
AB AD
3
，
2 5 2
当 时， AE AB AD，设
3 9 3 AM xAE
，DM yDB，
5
则 AM xAE xAB
2
xAD，
9 3
AM AD DM AD yDB AD y(DA AB) yAB 1 y AD，
5
x y
∵ 9
y 5 DM 5
AB, AD不共线，∴ ，解得 ，即 ；
2 x 1 y 1 y 6 MB 6
3
1 2
（3）∵ AF AD DF AD (1 ) DC AD AB， AE AD 1 AB3 ，3
1 5 2
∴ AF AE 1 AD AB2 2 6 3
，
1 2 2 2 2 2AF AE 1 | AD |2 5 2 2 | AB | 4 1
5 2
9
2 2 6 3 2 6 3
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2
( 2)2 5 2 ＝ 5
2 6 41 ，
2 4
3 2
由题意知， 0,1 ，∴当 时， AE AF 取到最小值 5 3 6 3 41 13 5 ＝ ，5 5 5 4 10
1 13 5 41
当 0时， AE AF 41取到最大值 ，∴ AF AE2 的取值范围是
, ．
2 10 2
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{#{QQABKQCowwiYwEQACJ4bQ03QCgmQkICQLQoGhQAauARDAZFIFIA=}#}高一年级 2024-2025 学年第二学期第一次月考
数学学科
本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，满分 150分.考试时间 120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上.
2. 回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答第 II 卷时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4. 请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将答题卡收回.
第 I卷（选择题 共 58分）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 A {x | 0 x 3}，B {x | x 2}，则 A B （ ）
A．{x | x 2} B．{x |1 x 3} C．{x | x 0} D．{x | x 3}
2．“ a 2 ”是“ a 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 若a 0，b 0，且a b 6，则（ ）
A．ab有最小值为 3 B． ab有最大值为 3
C． ab有最小值为 9 D．ab有最大值为 9
4．已知 e1 , e2 是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（ ）
1 1
A． a 0 , b e1 e2 B． a 2e1 e2 , b e e2 1 4 2
C． a e1 2e2 , b 2e1 4e2 D． a 3e1 3e2 , b e1 e2
5．已知 为第四象限角，且 tan 2，则 cos （ ）
A 5 5 2 5 2 5． B． C． D．
5 5 5 5
6．已知向量 a , b满足 | a | 1 , | b | 3 , | a 2b | 3，则 a b （ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
高一第一次月考-数学-第 1页，共 4页
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7．在 ABC中，若 ABcosC BC cosA，则 ABC的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2π
8．已知△ABC 3中，若 A ，c 2，△ABC 的面积为 ，D为边BC的中点，则 的长度
3 AD2
是（ ）
A 5 7 B 3． ． C．1 D．2
14 2
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求. 全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有错选的得 0分.
9. 下列关于复数 z 1 i的四个命题，其中为真命题的是（ ）
A． | z | 2 B． z 2 2i
C． z的虚部为 1 D． z在复平面内对应的点位于第二象限
10．下列叙述正确的是（ ）
A．若 a b，b c，则 a c
B ．若 a b 0，则 a与 b 的夹角为钝角
a
C．若 a为非零向量，则 与 a同向a
D．在等边三角形 ABC中， AB与 BC的夹角为 120°
11．设O为△ABC 内一点，已知OA 2OB 3OC 3AB 2BC CA，E,F分别为 AB, AC中
点，则下列说法正确的是（ ）
A．OA OB OC 0 B．E,O,F 三点共线
S AOB 1 S S 1C． S 2 D
AOB AOC
．
AOC S ABC 2
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第 II卷（非选择题 共 92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
2 i
12．已知 i为虚数单位，复数 .
i
13．如图，为了测量某塔的高度，检测员在地面 A处测得塔顶 T处的仰角
为 30°，从 A处向正东方向走 210米到地面 B处，测得塔顶 T处的仰角
为 60°，若 AOB 60 ，则铁塔 OT的高度为 米．
14．已知等边△ABC的边长为 2 6 ，△ABC外接圆圆心为O，P为△ABC的边上的动点，M、
N 为圆上两动点，且满足MN 4，则 PN PM 的最小值为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本题满分 13分)
已知 a
2,1 ，b 3, 4 .
（1）设向量 a, b 的夹角为 ，求 cos 的值；
2 （ ）求向量b在向量 a上的投影向量的坐标；
（3）若 (a b) / / (a kb)，求 k的值.
16．(本题满分 15分)
cos A 1在△ABC中， ， a 8 .
7
（1）若b 7，求 c的值；
（2）若 cosC 11 ，求角 B的大小和△ABC的面积.
14
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17．(本题满分 15分)
1
已知在△ABC中，N 为 AB,中A点C，BM MC，| AB | 2,| AC | 4 .
3
（1）若 BAC 60 ，求 | AM |；
1
（2）设 AB和 AC的夹角为 ，若 cos ，求证：CN AB；4
1
（3）若线段NC 1上一动点 P满足 AP AC AB，试确定点 P的位置.
2 4
18．(本题满分 17分)
在锐角△ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c， ccosA 2b a cosC．
（1）求角C 的大小；
（2）若△ABC的外接圆面积为4 ，求△ABC周长的取值范围．
19．(本题满分 17分)
在直角梯形 ABCD中，已知 AB DC , AD AB，CD 1， AD 2， AB 3，动点 E、
F 分别在线段BC和DC上，AE和 BD交于点M ，且BE BC，DF 1 DC， R．
（1）当 AE BC 0时，求 的值；
2 DM
（2）当 时，求 的值；
3 MB
（3）求 AF
1
AE 的取值范围．
2
高一第一次月考-数学-第 4页，共 4页
{#{QQABKQCowwiYwEQACJ4bQ03QCgmQkICQLQoGhQAauARDAZFIFIA=}#}高一年级2024-2025学年第二学期第一次月考双向细目表
关键能力 考查要求 试题难度 试题题源
试
数 逻 数 直 数 数 预估
题 题 分 基 综 应
考查内容 必备知识 学 辑 学 观 学 据 原 变 原 难度
题 型 值 础 合 用 易 中 难
抽 推 建 想 运 分 创 式 题 系数
号 题 题 题
象 理 模 象 算 析
1 集合 5 集合并集运算 √ √ √ √ 0.95
2 常用逻辑用语 5 充分、必要条件 √ √ √ √ 0.95
3 不等式 5 基本不等式 √ √ √ √ 0.85
平面向量基本
4 5 共线向量、基底判断 √ √ √ √ 0.85
单 定理
5 选 三角函数 5 同角三角函数关系 √ √ √ √ 0.85
题
向量的数量积、模长
6 平面向量运算 5 √ √ √ √ 0.85
计算
7 解三角形 5 三角形形状判断 √ √ √ √ √ 0.75
8 解三角形 5 中线长求解 √ √ √ √ √ √ 0.6
9 复数 6 复数的基本概念 √ √ √ 0.85
多
平面向量基本 共线向量、相等向量
10 选 6 √ √ √ 0.85
概念 、向量夹角
题
平面向量综合
11 6 向量、三角形综合 √ √ √ √ √ 0.6
运用
12 复数 5 复数的四则运算 √ √ √ 0.95
填
正、余弦定理
13 空 5 求高度 √ √ √ √ 0.8
应用
题
平面向量综合
14 5 动点问题，求最值 √ √ √ √ √ 0.4
应用
平面向量的坐 模长、夹角、投影向
15 13 √ √ √ √ √ 0.85
标运算 量、平行向量关系
正余弦定理，和差角
16 解三角形 15 公式，三角形面积公 √ √ √ √ √ 0.85
式
平面向量基本定理、
平面几何中的
17 解 15 模长计算、向量法证 √ √ √ √ √ √ 0.85
向量方法
答 明垂直、三点共线
题
正、余弦定理；和差
18 解三角形 17 角公式、三角函数化 √ √ √ √ √ √ 0.65
简及值域求解
平面几何中的 向量运算、基底分解
19 17 √ √ √ √ √ √ 0.6
向量方法 、二次函数最值
{#{QQABIQAEggCoQBAAABgCQw2QCgOQkBAAAYoGBAAYsAABAAFABAA=}#}高一年级2024-2025学年第二学期第一次月考 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 16.（15分）
数学学科 答题卡 步骤
15.（13分）
姓名： 班级： 座号：
考号： 考场：
注 意 事 项
1. 答题前请将姓名、班级、考场、座
号和准考证号填写清楚。
2. 客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,
修改时用橡皮擦干净。
3. 主观题必须使用黑色签字笔书写。 贴条形码区
4. 必须在题号对应的答题区域内作答,
超出答题区域书写无效。
5. 保持答卷清洁完整。
正确填涂 缺考标记
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个
选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1 A B C D 4 A B C D 7 A B C D
2 A B C D 5 A B C D 8 A B C D
3 A B C D 6 A B C D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项
中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选
的得 0 分.
9 A B C D
10 A B C D
11 A B C D
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 13 14
请勿在此区域作答
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请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号
1 7.（15分） 18.（17分） 19.（17分）
ID:3607355 第 2 页 共 2 页
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