山大附中2024～2025学年第二学期期中考试
高一年级数学试题
一．选择题：1-8为单选 共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9-11为多选，共3小题，每小题6分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A B B C A D D AD ACD BC
二、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
12． 13. 14. （1）151.5 （2）100
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题13分)
设，，向量，，，且，．
(1)求；(2)求向量与夹角的余弦值．
【详解】（1）向量，，，且，，
可得且，..................................2分
解得，..................................4分
即，，则，..................................6分
则；..................................7分
（2）因为，，..................................9分
所以，，..................................11分
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角余弦值为．..................................13分
16.（1）计算：；
（2）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足求的值；
【详解】（1）
．..................................7分
（2）令且，则，..................................8分
所以，则，可得，..................................13分
所以，则；..................................15分
17.(本小题15分) 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm，..................................1分
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，
所以...................................3分
设圆柱底面圆的半径为，
则，..................................6分
圆柱体积...................................8分
所以剩下的几何体的体积...................................9分
（2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体，..................................11分
它的外接球的球半径满足，即...................................14分
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.................................15分
18. (本小题17分)
在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，试判断的形状，并说明理由；
(2)若，则的面积为，求，的值；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
【详解】（1）和正弦定理，三角形面积公式可得，，
因，故得，，
由余弦定理可得，
又因为，所以；...................................3分
若，即，且，可得，，
所以为直角三角形....................................5分
（2）因为，则，解得，.................................6分
由余弦定理可得，
即，可得，....................................9分
所以.....................................10分
（3）因为
.....................................13分
因为，且三角形是锐角三角形，则，解得，....................................15分
则，可得，....................................16分
则，
所以的取值范围为.....................................17分
19. (本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：
(1)若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．
（i）若，求；
（ii）求的最小值．
【详解】（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图：...................................1分
过作于，则，，，...................................3分
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．..................................4分
（2）（i）由正弦定理得，而，，
则，即，得，则的三个角都小于，...................................6分
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，...................................9分
则
．...................................11分
（ii）由（i）知，点在内部，且，
设，，
则，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，...................................15分
整理得，即，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为....................................17分山大附中2024～2025学年第二学期期中考试
高一年级数学试题
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
4.已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6.在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．1
7.据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm、下底面半径为3cm且母线为的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g，则该不倒翁的总质量为（ ）
A．370g B．490g C．650g D．730g
8.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
10.如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．该几何体的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为
11.在△ABC中，，，，点在线段上（不包括端点），下列结论正确的是（ ）
A．若是高，则 B．若是中线，则
C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.复数z满足，则复数z的模的最大值是 ．
13.已知球的表面积为，平面截球所得的截面面积为，则以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为 ．
目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 m（用参考数据进行计算）；
如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 m时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，，.
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题13分)
设,，向量，，，且，．
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
（1）计算：；
（2）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足求的值．
17.(本小题15分)
如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.
（1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
（2）求该三棱柱的外接球的表面积.
18.(本小题17分)
在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
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（1）若，试判断的形状，并说明理由；
（2）若，则的面积为，求，的值；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：
（1）若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
（2）的内角的对边分别为，且，点为的费马点．
（i）若，求；
（ii）求的最小值．
