嘉祥教育集团2024－2025学年高一下学期质量监测试题
数 学
注意事项：
1.全卷满分150分，考试时间120分钟．
2.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存．
3.选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．
5.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．已知向量a =（2，3），b =（x，－6），若a∥b，则x =（ ）
A．－4 B．4 C． D．
2．化简 1－2cos222.5 的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．为得到函数的图象，只需把余弦曲线上的所有点的（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．若为单位向量，，则=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．在△ABC中，∠B = 60，AB = 8，AC = 7，则BC =（ ）
A．5 B．3或5 C．4 D．2或4
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 米的时间为（ ）
A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒
(第7题图) (第8题图)
8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE = 2EA，AD与CE交于点O，若，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9．下列说法错误的是（ ）
A．（a·b）·c = a·（b·c）
B．若向量b与a共线，则存在唯一的实数使b=a
C．若非零向量a，b满足︱a︱=︱b︱=︱a－b︱，则a与a + b的夹角为60
D．若非零向量a，b满足a⊥b，则︱a + b︱=︱a－b︱
10．已知函数，则（ ）
A． B．≤
C．f（x）在[，]上单调递增 D．若为偶函数，则的最小值为
11．记△ABC中三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c．如图，M，N分别是函数f（x）= sin（bx + B）（0＜B＜）与直线的两个交点，其中，则（ ）
A．
B．△ABC面积的最大值为
C．△ABC周长的取值范围为（，]
D．若△ABC为锐角三角形，则2a + c的取值范围为（4，]
第Ⅱ卷（选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知两点P1（2，－1），P2（－1，3），点P在直线P1P2上，且满足，则点P的坐标为 ．
13．若，x∈（0，），则x = ．
14．在△ABC中，若，则tan B的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
已知︱a︱= 4，︱b︱= 2，且a与b的夹角为120°．
（1）求︱2a－b︱；
（2）若向量2a－b与 a－3b不能作为平面向量的一组基底，求实数的值．
16．（本小题满分15分）
已知m =（，），n =（sin2x，cos2x），f（x）= m·n．
（1）将函数f（x）化简为的形式并用五点法画出f（x）在[，]上简图；
（2）求函数f（x）取得最大值时x所组成的集合，并试从向量数量积坐标表示的角度，结合数量积的定义解释f（x）的最大值为2．
x
x +
f（x）
17．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）求f（x）的定义域A，并化简函数f（x）；
（2）若对任意x∈A，不等式f（x）≤恒成立，求实数m的最小值．
18．（本小题满分17分）
如图，△AOD和△BOC与存在对顶角∠AOD =∠BOC = ，且
，AC = 2，BD =，且BC = AD．
（1）求 的大小；
（2）证明：O为BD中点；
（3）若，求OC的长．
19．（本小题满分17分）
声音的本质是介质振动形成的波，其基本特性可分解为三个正弦函数参数：频率决定音高（单位Hz），振幅对应响度（dB），相位差反映波形偏移．复杂声波通过傅里叶变换可展开为多个幅度、频率各异的正弦波叠加，如乐器声包含基频与泛音列的正弦组合．请根据你所学的研究一个函数的性质，探究谐音函数的性质，请补充解答完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是R．
（2）显然有f（－x）=－f（x），函数是奇函数，图象关于原点对称．
（3）函数的一个周期为 ，简要说明理由．（4分）
（4）求出函数f（x）的零点．（4分）．
（5）对称轴的定义： 若存在直线x = a，使得对任意h，有f（a + h）= f（a－h），则称函数f（x）关于直线x = a 对称．试判断函数 有无对称轴？若有，求出对称轴方程并证明；若无，说明理由．（9分）2024－2025学年高一下学期质量监测试题
数学参考答案与评分标准
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
题号 A C C D B A D C
命题说明：
1.题目来源：改编自教材必修二 P33 练习第 2 题
2.题目来源：改编自教材必修一 P223 练习第 5 题 （4）问
3.题目来源：改编自教材必修一 P240 习题 5.6 第 1 题
4.题目来源：改编自教材必修二 P44 练习第 1 题第（2）问
5.题目来源：改编自教材必修二 P26 例题 2
7.题目来源：节选自教材必修一 P231 水车模型
8.题目来源：改编自教材必修二 P53综合运用12题； P27练习第一题
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
题号 9 10 11
题号 ABC ABD BCD
命题说明：
9.题目来源： A 选项来源于教材必修二 P21 思考；
B 选项改编自教材必修二 P23 习题 6.2 第 10 题第（2）问；
C 选项节选自教材 P15 蓝色字体；
D 选项来源于教材必修二P23第7题（2）
题目来源：改编自教材必修一 P225 习题复习参考题综合运用 20-21 题
题目来源：改编自2023年新课标二卷高考题
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
13． 14.
命题说明：
12.题目来源：改编自教材必修二 P37 习题 6.3 综合运用 13 题；教材必修二 P32 例 9
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.命题说明：
题目来源：（1）小问改编自教材必修二P60第9题
（2）小问改编自教材必修二P60第2题(6)、P16例8和练习（3）
（1）， （4分）
所以. （6分）
（2）由于向量2a－b与 a－3b不能作为平面向量的一组基底，
所以存在实数，使得， （9分）
所以 ，解得 （13分）
16.命题说明：
题目来源：（1）小问改编自教材必修一 P237 例题 1
（2）小问利用数量积坐标运算和数量积定义解释函数最大值为 2 改编自教材必修二 P37 习
题 6.3 拓广探索 16 题
解：（1） （3分）
令，利用的图象取点法画图；列表如下 （6分）
作在上的图如下：
（9分）
令，解得 （11分）
故函数f（x）取得最大值时x所组成的集合为 （12分）
因为f（x）= m·n=|m||n|cos|m||n|= （14分）
当且仅当cos=1时等号成立，此时 m与n同向． （15分）
17.命题说明：
题目来源：教材必修一255页第16（2）题
解：（1）f（x）的定义域由满足 sin2x + 2 cos2x≠0及x≠的值组成，
即 2 cos x（sin x + cos x）≠0及x≠， （2分）
所以 tan x≠－1及x≠，得x≠，x≠，
因此 A = { x︱x∈R，且x≠，x≠，k∈Z }． (4分)
在x∈A前提下，化简函数，
=． (9分)
对任意x∈A，不等式f（x）≤ ≤ 恒成立，
m≥1－2 sin x恒成立． (12分)
而当x∈A时，1－2 sin x∈（－1，3），所以实数m的最小值为3． (15分)
18.命题说明：
题目来源：（1）小问改编自全国高考题
（2）（3）小问为 2025 年武汉二诊考试题。
解：（1）
化简得： （2分）
在中，由正弦定理得：
由余弦定理可得： （3分）
由图可知：为锐角，故 （4分）
(2）设，，则，.
在中，由余弦定理得：
(6分)
在中，由余弦定理得：. (8分)
由，所以.
化简得：.
故为中点. (10分)
（2）如图：过点做，交与.则.
由（）.
所以，又，所以.
所以.
所以，又，. 所以. (12分）
由于
所以.
又，所以，所以.
所以.即. (15分)
在中，根据正弦定理，可得：. (17分)
（其他方法酌情给分）
19.命题说明：
题目来源：教材必修一250页阅读与思考
解 ：(1)各分项周期分别为2π、π、 ，其最小公倍数为 2π． 验证 ：
．
所以，函数f（x）的一个周期为2π． （4分）
（2）因为＞0，所以令f（x）= 0，得sin x = 0，
因此x = kπ，k∈Z，从而，可得函数的零点 为（kπ，0），如点（0，0），（π，0）等在曲线上．（8分）
（3）假设存在对称轴x = a，展开方程
将条件代入函数 =．
利用三角恒等式展开各项：
sin（a±h）= sin a cos h±cos a sin h，
sin [ 2（a±h）] = sin（2a±2h）= sin2a cos2h±cos2a sin2h，
sin [ 3（a±h）] = sin（3a±3h）= sin3a cos3h±cos3a sin3h．
整理后方程变为：左侧－右侧= 2cosa sinh + cos2a sin2h + = 0．
由于等式需对任意h 成立，故所有系数必须为零．
令各项系数为零： ① cos a = 0，解得 a =（k 为整数）．
② cos 2a = 0，解得 a =．
③ cos 3a = 0，解得 a =．
上述三个条件需同时满足：a =，a =，a =，k 为整数，则 无共同解 ：
例如，若 a = ，代入后 cos 2a = cos π =－1≠0，cos 3a = cos = 0，但第二个条件不满足．
具体数值验证 ：取 a = ，验证h =，，，
显然 ≠，矛盾．
结论 ：函数 没有对称轴 ，因为无法找到任何实数a 满足对称条件，且数值验证直接否定了对称性． （17分）
作为研究性学习材料，本题还可以留下问题（6）、（7），供学有余力的去探讨．
（6） 波形化简与振幅包络线 ．
通过代数变形可将函数化简为 =
==，
振幅包络线 ：f（x）=．
（7）求函数 的最值和取值范围．
步骤 1 求导数
首先对函数求导，找到临界点：y′ = cos x + cos 2x + cos 3x，
利用三角恒等式化简：cos x + cos 3x = 2 cos 2x cos x，
因此导数可表示为：y′ = cos 2x（2 cosx + 1）．
令y′ = 0，解得临界点满足：
① cos 2x = 0 x = （k为整数），
② 2 cosx + 1 = 0 x = 或 ．
步骤 2 计算临界点的函数值
在周期 [ 0，2π）内，临界点为：x =，，，，，．
代入原函数计算 y 值：
① 当x =时，y = ≈1.4428，
② 当x =时，y = ≈－1.4428．
其余临界点的y 值绝对值更小（如±0.44），因此最大值和最小值分别为：
最大值：，最小值：．
步骤 3 取值范围 ．函数的取值范围为y∈[， ]．
除了求导法，还可通过以下简化步骤快速估算最值：
方法2 关键点试值法
通过观察不同频率项的相位特性，选取可能使多项同步达到较大值的点：
取 x =时，y = ≈1.4428，
取 x =时，各正弦项符号取反，得 y =．
结论 ：最大值：，最小值：．
方法3 振幅叠加法
各分项振幅分别为1、、，理论上最大可能振幅为三者之和 1 + + ≈1.833．但因相位差异，实际最大值小于该值．通过试值验证，实际最大振幅约为 1.4428，与关键点法结果一致．
总结 ：两种简化方法均表明， 最大值 为 ≈1.4428， 最小值 为≈－1.4428， 取值范围 为y∈[， ]．
