郑州一中 2024～2025 学年下学期期中考试
27 届 高一（数学）参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C A C A C
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分
题号 9 10 11
答案 ACD AC BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
9 1
12. [ ,7]； 13. ； 14.3.
16 4
四、解答题：共 77 分
15．解：（1）圆锥的母线长为 L = R2 + H 2 = 9+16 = 5cm， .............. .... 2 分
所以圆锥的侧面积为 S 2侧 = R L = 3 5 =15 cm ． ............................... 4 分
（2）设圆柱的底面半径为 r， ....................................................................... 6 分
x R r x 3 r
如图可得 = ，即 = ， .............................................................. 7 分
H R 4 3
3
得 r = 3 x(0 x 4) ． ................................................................................. 8 分
4
3 3
所以圆柱的侧面积 S = 2 r x = ( x2 + 4x)= (x 2)
2 + 4 (0 x 4) ．2 2
.................................................................................................................... 10 分
所以当 x = 2 (0,4) 时，S取得最大值6 ． ............................................. 12 分
即当 x = 2时，圆柱的侧面积最大，最大面积为6πcm2． ........................ 13 分
16.解（1）因为向量a = (2cos ,sin )，b = (1, 2)，a / /b， ............................ 2 分
所以 sin = 4cos ，即 tan = 4， ................................................................. 3 分
4sin 2cos 4 tan 2 18
则 = = . ............................................................... 5 分
2sin + 3cos 2 tan +3 5
2
（2）因为 = 45 ，所以 a = 2, ，则2a tb = (2 2 t, 2 + 2t )， ........... 7 分
2
2a +b = (3, 1)，............................................................................................. 8 分
因为 2a tb与 2a + b垂直，所以 (2 2 t ) 3+ ( 2 + 2t ) ( 1) = 0， ................ 9 分
所以 t = 2 . .................................................................................................... 10 分
（3）因为 = 90 ，所以 a = (0,1)， .............................................................. 12 分
a b b 2 4
投影向量= a = , 5 5 . ...................................................................... 15 分 a b b
17.（1）解：因为复数 z 为纯虚数，所以可设 z = bi(b R 且b 0)．............ 1 分
则 (z + 2)2 8i = (bi + 2)2 8i = (4 b2 ) + (4b 8)i ． ............................................... 3 分
又由于 (z + 2)2 8i是纯虚数，可得b = 2， ................................................... 4 分
所以 z = 2i ． .................................................................................................. 5 分
（2）1） z1z2 = (5+10i)(3 4i) =15 20i + 30i 40i
2 = 55+10i ； .......................... 9 分
1 1 1 z + z
2）由题可知 = + = 1 2 ， ................................................................ 10 分
z z1 z2 z1z2
z z
所以 z = 1 2
55+10i (55+10i)(8 6i) 5
= = = 5 i ， ....................................... 14 分
z1 + z2 8+ 6i (8+ 6i)(8 6i) 2
5
z = 5 + i． .................................................................................................... 15 分
2
18.解：（1） 3c = 3acos B +bsin A
3 sinC = 3 sin Acos B + sin Bsin A， ....................................................... 1 分
3 sin C = 3 sin (A+ B) = 3 sin Acos B + 3 cos Asin B ， ........................... 2 分
= 3sin Acos B + sin Bsin A , .......................................................................... 3 分
所以 3 cos Asin B = sin Bsin A，由 sin B 0可得 3 cos A = sin A， .................... 5 分
即 tan A = 3，又0 A π， ............................................................................ 6 分
π
所以 A = . ........................................................................................................ 7 分
3
a b c
（2）由正弦定理： = = = 4， ................................................. 8 分
sin A sin B sin C
2
b2 + c2 =16(sin2 B + sin2 C ) = 8(2 cos2B cos2C ) =16 8cos2B 8cos2 π B .. 10 分
3
π
=16 4cos 2B + 4 3 sin 2B = 8sin 2B +16， ................................................ 12 分
6
π
0 B 2 π π 5π
又 ，得 B ， 2B ； ...................................... 13 分
2π π 6 2 6 6 60 B
3 2
π
所以 4 8sin 2B 8， ............................................................................. 15 分
6
2 2 π
故 20 b + c = 8sin 2B +16 24 . .............................................................. 16 分
6
2 2
即b + c (20,24 . .......................................................................................... 17 分
1
19.解：（1）由条件 2csin Acos B = asin A bsin B + bsinC ， ........................... 1 分
4
1
可得： 2cacos B = a2 b2 + bc ， ..................................................................... 2 分
4
化简可得： 4c = b ，而 c =1 ......................................................................... ，3 分
所以： b = 4． ................................................................................................. 4 分
1
（2）因为 D 为中点，所以 AD = (AB + AC) ，
2
17 + 8cos
设 AB, AC = ，则 | AD |= ， ......................................................... 5 分
2
1 1+ 4cos
又 AB AD = AB (AB + AC) = ， ........................................................ 6 分
2 2
21 AB AD 1+ 4cos
所以 = cos BAD = = ， ........................................... 7 分
7 | AB | | AD | 17 + 8cos
化简可得： 28cos2 +8cos 11= 0，............................................................ 8 分
1 11 1
解得： cos = 或 cos = ， 又1+ 4cos 0，所以 cos = ，................. 9 分
2 14 2
故 ABC 的面积为 3．................................................................................. 10 分
（3）设 | AE |= x,| AF |= y ，因为 AEF 的面积为 ABC 面积的一半，所以 xy = 2 ，
设 AG = AD，则 AG = AD = AB + AC ， ................................................ 11 分
2 2
又 E ，G ， F 共线，所以设 AG = AE + (1 )AF ，
y(1 )
则 AG = AE + (1 )AF = x AB + AC ， .............................................. 12 分
4
x = 2 y所以： ，解得： = ， ................................................... 13 分
y(1 ) 4x + y=
4 2
2 2 y
所以： AG = AB + AC ，又 EF = AC xAB ， ............................ 14 分
4x + y 4x + y 4
2 2 y
所以： AG EF = ( AB + AC) ( AC xAB)
4x + y 4x + y 4
2 y 2 2 y 9y 6x
= [ AC xAB + ( x)AC AB] = ， ......................................... 15 分
4x + y 4 4 4x + y
9y 6x 18 6x2
又 xy = 2，所以化简可得： AG EF = = ，
4x + y 4x2 + 2
1
又 y 4，所以1 x ， ................................................................................. 16 分
2
所以 AG EF 2 ，当 x =1时等号成立． ........................................................ 17 分2024-2025学年下期高一年级期中联考试题
数学学科
考试时间：120分钟分值：150分
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分。考生应首先阅读试题卷上的文字信息，
然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）。在试题卷上作答无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确选项）
1.若z=-1+V3,则21=（）
A.-1+V3i
B.-1-V3i
C.-+g:D.--9
2.若直线a不平行于平面α且aa,则下列结论成立的是()
A.平面α内的所有直线与a异面
B.平面a内不存在与a平行的直线
C.平面α内存在唯一的直线与a平行
D.平面内的直线与a都相交
3.已知等边三角形ABC的边长为1，设BC=d,CA=b,AB=亡，那么
a.b+b.c+.d=()
A.3
B.-3
c.3
D.-3
4.己知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三
棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为()
A.1:V2
B.1:V3
C.2:V2
D.3:V6
5。若非零向量丽与C满足（僵+隔
=0,需需-克则aA8c为()
.i
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形
D.等边三角形
6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=2ac,则sinA+sinC=
()
A.239
B.39
c.万
D.33
13
13
2
13
7.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2A0=AB+AC,|OA=|AB,则向量BA在向量BC
上的投影向量为()
A.BC
B.BC
C.-BC
D.-3C
8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论错误的是()
A.若sinA>sinB,则A>B
B.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB
C.若a cos B-bcosA=c,则△ABC一定为直角三角形
D.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC可以是钝角三角形
高一数学试题卷第1页（共4页)
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个正确选项，
全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分)
9.已知复数z=则下列结论正确的是（)
A以=s
B,2在复平面内对应的点位于第四象限
C.若z(a-)(a∈R)是实数，则a=-2
D.若u∈C,u一z=2,则u在复平面内对应的点的轨迹为一条线段
10.如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放入一个球状物体，
使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则()
A.此圆锥的侧面积为8π
16π
B.球的表面积为
3
C.原玻璃杯中溶液的体积为16m
D.溢出溶液的体积为323
27
11.在△ABC中，AB=4,AC=6,A=3,点D为边BC上一动点，则（)
A.BC=2v7
B.当AD为角A的角平分线时，AD=125
C.当点D为边BC上点，BD=2DC时，AD=Y国
2
D.若点P为△ABC内任一点，PA.(PB+P心)的最小值为-9
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.三个平面可将空间分成几都分？
(写出所有可能情况)
13.如图，为测量河对岸A,B两点间的距离，沿河岸选取
相距40m的C,D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=
60°，∠ADC=30°，则A,B两点的距离是
m
14.已知对任意平面向量A丽=(x,y),把AB绕其起点沿逆时
L
针方向旋转9角得到向量AP=(xcos日-ysin0,xsin8+ycos),叫作把点B绕点A沿逆时
针方向旋转8角得到点P.已知平面内点A(1,3),点B(1+V2,3-2V2,把点B绕点A沿顺
时针方向旋转经后得到点P,若点0为坐标原点，则O=，
高一数学试题卷第2页（共4页)
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27 届 高一（数学）试题
说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分 150 分。
2．考试时间：120 分钟。
3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。
第Ⅰ卷 （选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题错误的是( )
A．一个棱锥至少 5 个面
B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
2
2．当 m 1时，复数m(3+ i) (2+ i)在复平面内对应的点位于( )
3
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知 O，N，P在 ABC所在平面内，满足 | OA |=| OB |=| OC |，NA+ NB + NC = 0，
且 PA PB = PB PC = PC PA，则点 O，N，P依次是 ABC的( )
A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
4．在 ABC中， a = 3， b = 7， c = 2，那么 B等于( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．已知 ABC的外接圆圆心为 O，且 2AO = AB + AC，| AO |=| AB |，则向量BA
在向量 BC 上的投影向量为( )
1 3 1 3
A． BC B． BC C． BC D． BC
4 4 4 4
6．设复数 z，z 满足 z1 = z1 =1，z1 z2 = z1 + z2 ，则 z1 + 2z2 =1 2 ( )
A．1 B． 2 C． 5 D． 2+1
3 3
7．在 ABC中， S ABC = AB AC = ， sin B = cos Asin C，P 为线段 AB
6 2
CA CB 1 3
上的动点（不包括端点），且CP = x + y ，则 + 的最小值为( )
| CA | | CB | x y
4 3 4 3 3 3
A． 2 + B．1+ C． 2 + D．1+
3 3 3 3
8．用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图 1，在锐角 ABC中，过点B
作与 BC 垂直的单位向量 j ，因为BC +CA = BA ，所以 j (BC +CA) = j BA．即
j BC cos + j CA cos( C) = j BA cos( B)，也即bsin C = csin B.请用
2 2 2
上述向量方法探究，如图 2，直线 l 与 ABC的边 AB，AC 分别相交于D，E ．设
AB = c，BC = a，CA = b， ADE = ，则 与 ABC 的边和角之间的等量关系
为( )
A． a sin(B ) + bsin(A+ ) = c sin
B． a sin(B + ) + bsin(A ) = c sin
C． a cos(B ) + bcos(A+ ) = c cos
D． a cos(B + ) + bcos(A ) = c cos
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的
得 0 分。
9. 设 是空间中的一个平面， l, m, n是三条不同的直线，则不正确的是( )
A．若m ，n ， l ⊥ m， l ⊥ n，则 l ⊥
B．若 l // m，m // n， l ⊥ ，则n ⊥
C．若 l // m，m ⊥ ，n ⊥ ，则 l ⊥ n
D．若m ，n ⊥ ， l ⊥ n，则 l // m
10．设 z1，z2，z3是复数，则下列命题中的真命题是( )
A．若 | z1 z2 | 0，则z1 z2 B．若z1z2 z1z3，则z2 z3
C．若z2 z3，则|z1z | | z z | D．若|z1| | z |，则z z2 1 3 2 1 2
3c
11．在 ABC中，内角 A，B，C 对的边分别为a，b，c ，且 tan A+ tan B = ，
a cos B
则下列结论正确的是( )
A． A =
6
B．若 a = 2，则该三角形周长的最大值为 6
C．若 ABC的面积为 2，则 a有最小值
c 1 2
D．设 BD = BC，且 AD =1，则 + 为定值
2b + c b c
第Ⅱ卷 （非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知复数 z1 = m+ (4 m
2 )i (m R)， z2 = 2cos + ( +3sin )i ( , R) ，
并且 z1 = z2 ，则 的取值范围是 ．
13．在三棱锥 A BCD中， AE = EB， AF = 2FC ， AG = 3GD ，设三棱锥
A EFG的体积为V1，三棱锥 A BCD的体积为V2 ，则V1 :V2 = ．
14．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，
即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，
减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即
1 2 2 2
S = [c2a2
c + a b
( )2 ] (其中 S 为三角形面积， a，b，c 为三角形的三
4 2
边 ) ．在非直角 ABC 中 , a，b，c 为内角 A，B，C 所对应的三边，若
bcosC + c cos B = 3 且 a = c(cos B + 3 cosC) ，则当 ABC 面积的最大值时
ABC外接圆的半径为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或验
算步骤。
15．如图，一个圆锥的底面半径 R = 3cm，高H = 4cm，
在其内部有一个高为 xcm的内接圆柱（圆柱的下底面在
圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．
（1）求圆锥的侧面积；
（2）当 x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．
16．已知向量 a = (2cos ,sin )，b = (1, 2)
4sin 2cos
（1）若 a / /b，求 的值；
2sin +3cos
（2）若 = 45o，2a tb与 2a +b垂直，求实数 t的值；
（3）若 = 90o ，求向量 a在向量b 上的投影向量的坐标．
17．（1）已知复数 z 与 (z + 2)
2 8i 都是纯虚数，求复数 z ；
1 1 1
（2）已知复数 z1 5 10i，z2 3 4i，且 ．求：① z z1z2 ；② ．
z z1 z2
18． ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知 3c = 3a cos B +bsin A .
（1）求 A的大小;
（2）若 ABC为锐角三角形且 2 2a = 2 3 ，求b + c 的取值范围.
19．如图，设 ABC中角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c ，AD为 BC边上的
1 21
中线，已知 c =1且 2csin Acos B = a sin A bsin B + bsin C ，cos BAD = .
4 7
（1）求b 边的长度；
（2）求 ABC的面积；
A
（3）设点 E, F 分别为边 AB, AC 上的动点，
F
线段 EF 交 AD 于G ，且 AEF 的面积为 G E
B D C
ABC面积的一半，求 AG EF 的最小值．
