4．1　数列的概念 同步练习（2课时，含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

4．1　数列的概念
4．1.1　数列的概念(1)
一、 单项选择题
1 下列说法中，正确的是(　　)
A. 数列2，4，6，8可表示为集合{2，4，6，8}
B. 数列1，3，5，7，…，2n－1和数列1，3，5，7，…是相同的数列
C. 数列{n2＋n}的第k项为k2＋k
D. 数列0，1，2，3，4，…可记为{n}
2 数列1，3，7，15…的一个通项公式是(　　)
A. an＝2n B. an＝2n＋1
C. an＝2n+1 D. an＝2n－1
3 (2024保定开学考试)已知数列，，，，，…，按照这个规律，这个数列的第211项为(　　)
A. B.
C. D.
4 (2024沧州期末)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2，则123是该数列的(　　)
A. 第9项 B. 第10项
C. 第11项 D. 第12项
5 已知数列{an}的前4项依次为2，6，12，20，则数列{an}的通项公式可能是(　　)
A. an＝4n－2
B. an＝2n＋2(n－1)
C. an＝n2＋n
D. an＝3n-1＋2n－1
6 已知数列：，，…，(k∈N*)，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{an}：1，，，，，，…，则首次出现时为数列{an}的(　　)
A. 第44项 B. 第76项
C. 第128项 D. 第144项
二、 多项选择题
7 已知数列{an}的前5项为－1，1，－1，1，－1，则{an}的通项公式可能为(　　)
A. an＝(－1)n
B. an＝(k∈N*)
C. an＝cos nπ
D. an＝sin
8 (2024娄底期末)下列有关数列的说法中，正确的是(　　)
A. 数列－2 023，0，4与数列4，0，－2 023是同一个数列
B. 若数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，则110是该数列的第10项
C. 在数列1，，，2，，…中，第8个数是2
D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n＋1
三、 填空题
9 数列，，，，，…的一个通项公式为an＝________．
10 323是数列{n(n＋2)}的第________项．
11 (2024武汉月考)根据下面的图形及相应的点数，下列点数所构成数列的第5项是________．
四、 解答题
12 (2024全国课时练习)根据下列数列的前4项，写出它的一个通项公式：
(1) ，，，，…；
(2) ，，，，….
13 (2024江苏月考)已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*.
(1) 写出它的第10项；
(2) 求an＋1及a2n.
4．1.2　数列的概念(2)
一、 单项选择题
1 设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝n2＋2n，则a2 021的值为(　　)
A. 4 043 B. 4 042
C. 4 041 D. 2 021
2 (2024邢台期末)在数列{an}中，已知a1＝2，且an＋1＝，则a4的值为(　　)
A. B. 1 C. D. 2
3 (2024湖北省直辖县级单位期中)已知数列{an}的通项公式为an＝n×，则数列{an}中最大项的项数为(　　)
A. 2 B. 3
C. 2或3 D. 4
4 在数列{an}中，a1＝4，a2＝5，且有an－2an＝an－1(n≥3)，则a2 019的值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024绍兴期末)斐波那契数列因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，则a1＋a3＋a5＋…＋a2 023等于(　　)
A. a2 025 B. a2 024
C. a2 025－1 D. a2 024－1
6 (2024南阳开学考试)已知数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝1－，则an等于(　　)
A. 1－ B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024山西期末)下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是(　　)
A. an＝n＋n2，n∈N*
B. an＝3－n，n∈N*
C. an＝，n∈N*
D. an＝n∈N*
8 (2024西安月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，若an≥ak对n∈N*恒成立，则满足条件的正整数k可以为(　　)
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
三、 填空题
9 已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________；猜想其通项公式是an＝________．
10 已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝则a3＝________．
11 (2024广西期末)如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，则第n个结构简图的化学键和原子的个数之和为________．(用含n的代数式表示)
四、 解答题
12 (2023全国课时练习)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an.
(1) 写出数列{an}的前5项；
(2) 猜想数列{an}的通项公式；
(3) 画出数列{an}的图象．
13 (2024梅州期末)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1.
(1) 求a1，a2和an；
(2) 证明：数列{an}为递增数列．
4．1　数列的概念4.1.1　数列的概念(1)
1. C　对于A，由数列的定义易知A错误；对于B，前者是有穷数列，后者是无穷数列，所以两个数列不一样，故B错误；对于C，数列{n2＋n}的第k项为k2＋k，故C正确；对于D，因为0∈N，所以n∈N，这与数列的定义不相符，故D错误．
2. D　经过观察，1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，故推测该数列的一个通项公式为an＝2n－1.
3. B　由题意，得该数列的一个通项公式为an＝，则a211＝.
4. C　由an＝n2＋2＝123，解得n＝11或n＝－11(舍去)，故123是该数列的第11项．
5. C　对于A，a3＝10≠12，故A错误；对于B，a4＝16＋6＝22≠20，故B错误；对于C，a1＝12＋1＝2，a2＝22＋2＝6，a3＝32＋3＝12，a4＝42＋4＝20，故C正确；对于D，a3＝9＋5＝14≠12，故D错误．
6. C　观察分子分母的和出现的规律：2，3，4，5，…，将数列重新分组：，，(，，)，…，，可看出第一次出现在第16组．因为1＋2＋3＋…＋15＝120，所以前15组一共有120项，第16组的项为(，，…，，，…)，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项．
7. ABC　观察数列{an}的前5项可知，{an}的通项公式可能为an＝(－1)n＝(k∈N*)，故A，B正确；因为cos nπ＝所以an＝cos nπ，故C正确；若an＝sin ，则a1＝sin ＝1，不符合题意，故D错误．故选ABC.
8. BCD　数列－2 023，0，4的首项是－2 023，而数列4，0，－2 023的首项是4，所以两个数列不是同一个数列，故A错误；由an＝n(n＋1)＝110，解得n＝10或n＝－11(舍去)，即110是该数列的第10项，故B正确；因为数列1，，，2，，…可写为数列1，，，，，…，所以第8个数是＝2，故C正确；因为a1＝21＋1＝3，a2＝22＋1＝5，a3＝23＋1＝9，a4＝24＋1＝17，a5＝25＋1＝33，所以an＝2n＋1是该数列的一个通项公式，故D正确．故选BCD.
9. 　数列，，，，，…，观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1，由此得出该数列的一个通项公式为an＝.
10. 17　由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17或n＝－19(舍去)，所以323是数列{n(n＋2)}的第17项．
11. 35　设点数构成的数列为{an}，由题图可得a1＝1, a2＝5, a3＝12, a4＝22，则a2－a1＝4，a3－a2＝7, a4－a3＝10.根据规律可得a5－a4＝13，所以a5＝13＋22＝35.
12. (1) 根据所给数列，可得它的一个通项公式为an＝.
(2) 根据所给数列，可得它的一个通项公式为an＝.
13. (1) a10＝＝＝.
(2) an＋1＝＝；
a2n＝＝.
4．1.2　数列的概念(2)
1. A　a2 021＝S2 021－S2 020＝2 0212＋2×2 021－2 0202－2×2 020＝4 043.
2. A　在数列{an}中，已知a1＝2，且an＋1＝，则a2＝＝＝，a3＝＝＝2，a4＝＝＝.
3. C　由题意可得a1＝1×＝，a2＝2×＝，a3＝3×＝＝a2，a4＝4×＝4. B　由an－2an＝an－1(n≥3)，可得an＝(n≥3).又a1＝4，a2＝5，所以a3＝＝，a4＝＝，同理可得a5＝，a6＝，a7＝4，a8＝5，于是可得数列{an}是周期数列且周期是6.因为2 019＝6×336＋3，所以a2 019＝a3＝.
5. B　根据斐波那契数列的递推公式，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a1＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2 024－a2 022)＝a2 024－a2＋a1＝a2 024.
6. D　由题意，a1＋＋＋…＋＝1－，当n≥2，a1＋＋＋…＋＝1－，两式作差，得＝1－－1＋＝，则an＝(n≥2)，当n＝1，a1＝1－＝，也符合an＝.综上可得an＝.
7. AD　对于A，an＝n＋n2＝－，n∈N*，由二次函数的单调性可得该数列为递增数列，故A正确；对于B，an＝3－n，n∈N*，由一次函数的单调性可得该数列是递减数列，故B错误；对于C，an＝，n∈N*，由指数函数的单调性可得该数列是递减数列，故C错误；对于D，an＝n∈N*，当n≤2时，该数列是递增数列，当n>2时，该数列为递增数列，又a3＝4>3＝a2，所以数列{an}是递增数列，故D正确．故选AD.
8. BC　an＝n＋≥2＝4，当且仅当n2＝56，即n＝2时取等号．因为n∈N*，所以当n＝7时，a7＝7＋＝15；当n＝8时，a8＝8＋＝15，所以an＝n＋的最小值为a7和a8.因为an≥ak对n∈N*恒成立，所以k＝7或k＝8.故选BC.
9. 　　因为数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，所以a2＝＝，同理可得a3＝，a4＝.猜想其通项公式是an＝.
10. －　由题意，得当n＝1时，a2＝a1＋1＝；当n＝2时，a3＝a2－3×2＝－6＝－.
11. 9n＋3　第1个结构简图中有6个化学键和6个原子；第2个结构简图中有11个化学键和10个原子；第3个结构简图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个结构简图比前一个结构简图多5个化学键和4个原子，则第n个结构简图有6＋5(n－1)＝5n＋1个化学键和4n＋2个原子，所以总数为9n＋3.
12. (1) a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，a5＝×＝.
(2) 猜想：an＝.
(3) 图象如图所示：
13. (1) 由题意，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1，①
当n＝1时，a1＝31－1＝2，
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝3n-1－1，②
①－②，得nan＝3n－3n-1＝2·3n-1，
所以an＝.
当n＝1时，a1＝＝2，所以a1也满足an＝，
当n＝2时，a2＝＝3，故a1＝2，a2＝3，an＝.
(2) 由(1)知，an＝.
易知an>0，则＝＝，
又－1＝>0对一切n∈N*恒成立，
所以＝>1，
可得an＋1>an对一切n∈N*恒成立，所以数列{an}为递增数列．