4.2.1　等差数列的概念 同步练习（2课时，含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

4．2.1　等差数列的概念(1)
一、 单项选择题
1 对于等差数列{an}，有a2＝6，a4＋a6＝36，则a10的值为(　　)
A. 32 B. 34 C. 36 D. 38
2 数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，若an＝2 013，则n等于(　　)
A. 503 B. 504 C. 505 D. 506
3 (2024辽宁开学考试)已知数列{an}为等差数列，a4＝5，a8＝29，则{an}的公差为(　　)
A. 2 B. 6 C. 1 D. 14
4 (2024绍兴期末)已知数列{an}的首项 a1＝4，且满足an＋1＝an－3(n∈N*)，则a5的值为(　　)
A. －11 B. －8 C. 16 D. 19
5 (2024南京开学考试)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列{an}，其前6项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列{bn}，则b8的值为(　　)
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
6 (2024绵阳月考)已知各项都不为零的无穷数列{an}满足：an＋1an＋an＋1－an＝0，若a8为数列{an}中的最小项，则a1的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 已知等差数列{an}的首项为－，若{an}从第6项起出现正数，则公差d的值可能为(　　)
A. B. C. D.
8 (2023全国阶段练习)设等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则下列说法中正确的是(　　)
A. an＝2n＋1 B. d＝2
C. {a2n－1}不是等差数列 D. ＝
三、 填空题
9 (2024上海宝山区期末)3－2与3＋2的等差中项为________．
10 在等差数列{an}中，已知a1＝3，a2＋a4＝14，an＝2 019，则n＝________．
11 (2024武汉期末)已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝bn＝a2n，则b2 024＝________．
四、 解答题
12 已知在等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
13 已知数列{an}满足an＝6－(n∈N*，n≥2).
(1) 求证：数列是等差数列；
(2) 若a1＝6，求数列{an}的通项公式．
4．2.1　等差数列的概念(2)
一、 单项选择题
1 已知等差数列{an}满足a2＋a3＋a6＋a7＝2，则a4＋a5的值为(　　)
A. B. 1 C. D. 2
2 (2024梅州期末)已知3，a，b，c，15五个数成等差数列，则a＋b＋c的值为(　　)
A. 21 B. 24 C. 27 D. 30
3 (2024安徽期末)已知数列是首项为5，公差为3的等差数列，则a2 024的值为(　　)
A. B.
C. D.
4 (2024福州期末)已知公差不为0的等差数列{an}满足am＋ap＝a1＋a5，则＋的最小值为(　　)
A. 9 B. C. D.
5 (2024沧州期末)在等差数列{an}中，p，q∈N*，且p≠q，若ap＝q2，aq＝p2，则ap＋q等于(　　)
A. －(p＋q) B. －(p＋q)
C. －pq D. －pq
6 (2024长沙开学考试)已知数列{an}满足a1＝，an－an＋1＝anan＋1(n∈N*)，则的最小值为(　　)
A. B. C. 16 D. 18
二、 多项选择题
7 已知等差数列{an}满足a1>0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. a1＋a101>0 B. a1＋a101<0
C. a3＋a99＝0 D. a518 (2024重庆月考)对于数列{an}，若a1＝1，a4＝2，an＋2＝an＋2(n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　)
A. a2＝0
B. 数列{an}是递增数列
C. 数列{a2n－1}是等差数列
D. 数列{an＋an＋1}是等差数列
三、 填空题
9 在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小项的值是________．
10 (2023郴州期末)已知等差数列{an}的首项为2，公差为9，在{an}中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{bn}，则数列{bn}的通项公式是________．
11 已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________．
四、 解答题
12 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温．
13 (2023江苏月考)已知等差数列{an}：5，8，11…和等差数列{bn}：3，7，11…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列{cn}，问数列{cn}是否为等差数列？
4．2.1　等差数列的概念(1)
1. D　设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×4＝4n－2，所以a10＝4×10－2＝38.
2. B　因为数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，所以an＝1＋4(n－1)＝4n－3.因为an＝2 013，所以4n－3＝2 013，解得n＝504.
3. B　设等差数列{an}的公差为d，由a4＝5，a8＝29，得解得d＝6.
4. B　由an＋1＝an－3(n∈N*)，得an＋1－an＝－3.又a1＝4，所以数列{an}是首项为a1＝4，公差为d＝－3的等差数列，故a5＝a1＋4d＝4＋4×(－3)＝－8.
5. C　由题意，得数列{bn}的前5项分别为3，4，5，6，7.又数列{bn}为等差数列，所以bn＝n＋2，故b8＝8＋2＝10.
6. A　因为数列{an}的各项都不为零，且an＋1an＋an＋1－an＝0，所以an＋1an＝an－an＋1，即－＝1，可得数列是公差为1的等差数列，则＝＋n－1.因为a8为数列{an}中的最小项，所以<…<<<0<，所以a1<0，且＋7<0<＋8，解得－7. AC　由题意，得即解得8. ABD　设等差数列{an}的公差为d，由a2＝5，a6＋a8＝30，可得解得a1＝3，d＝2，可得an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，故A，B正确；a2n－1＝2(2n－1)＋1＝4n－1，则a2(n＋1)－1－a2n－1＝4(n＋1)－1－(4n－1)＝4，又a2×1－1＝a1＝3，所以数列{a2n－1}是以3为首项，4为公差的等差数列，故C错误；由an＝2n＋1，得＝＝＝＝，故D正确．故选ABD.
9. 3　3－2与3＋2的等差中项为＝3.
10. 1 009　设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2 019，解得n＝1 009.
11. 8 097　由题意，得b1＝a2＝a1＋1＝5.因为a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋3(k∈N*)，所以a2k＋2＝a2k＋4(k∈N*)，可得bk＋1＝bk＋4，即bn＋1－bn＝4，所以数列{bn}是首项为5，公差为4的等差数列，所以b2 024＝5＋(2 024－1)×4＝8 097.
12. (1) 设数列{an}的首项为a1，公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d.
由已知得
解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27.
(2) 令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，
所以153是所给数列的第45项．
13. (1) 当n≥2时，－＝－＝－＝＝，
所以数列是以为公差的等差数列．
(2) 因为a1＝6，所以＝，
所以数列的首项为，公差为，
所以＝＋(n－1)＝，
则an－3＝，所以an＝3＋.
4．2.1　等差数列的概念(2)
1. B　由等差数列可知a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，所以2(a4＋a5)＝2，即a4＋a5＝1.
2. C　因为3，a，b，c，15五个数成等差数列，所以2b＝a＋c＝3＋15＝18，解得b＝9，故a＋b＋c＝3b＝3×9＝27.
3. D　由题意可知＝5＋3(n－1)＝3n＋2，可得an＝，所以a2 024＝＝.
4. B　根据等差数列的性质可得m＋p＝6，则(m＋p)＝1，所以＋＝(m＋p)＝≥＝，当且仅当4p2＝m2，即p＝2，m＝4时取等号，故＋的最小值为.
5. C　设等差数列{an}的公差为d，则ap＝a1＋(p－1)d＝q2，aq＝a1＋(q－1)d＝p2，两式相减得d＝－(p＋q)，则ap＋q＝ap＋qd＝q2－q(p＋q)＝－pq.
6. C　因为an－an＋1＝anan＋1(n∈N*)，所以－＝1.又a1＝，所以数列是以10为首项，1为公差的等差数列，可得＝n＋9，所以＝＝n＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当n＝，即n＝3时，取得最小值16.
7. CD　根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51.因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.又a1>0，所以d<0，a51＝a50＋d8. ACD　对于A，由a4＝2，a4＝a2＋2，得a2＝0，故A正确；对于B，a1＝1，a2＝0，a1>a2，所以{an}不是递增数列，故B错误；对于C，a2(n＋1)－1－a2n－1＝a2n＋1－a2n－1＝2(n∈N*)，所以数列{a2n－1}是等差数列，故C正确；对于D，(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2(n∈N*)，所以数列{an＋an＋1}是等差数列，故D正确．故选ACD.
9. －1　因为数列是首项为31，公差为－4的等差数列，所以该数列的通项公式为an＝35－4n.当n≤8时，an>0；当n≥9时，an<0.又a8＝3，a9＝－1，所以绝对值最小的项为a9＝－1.
10. n－　设数列{an}，{bn}的公差分别为d，d′.由题意可知a1＝2，a2＝a1＋d＝11，且b1＝a1，b5＝a2，所以b5－b1＝4d′＝a2－a1＝d，则4d′＝9，解得d′＝，故bn＝b1＋(n－1)d′＝2＋(n－1)＝n－.
11. 21　解析：因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6).又a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，故a5＋b6＝21.
12. 用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，
所以an＝15－6.5n，
所以a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.
13. 易得an＝3n＋2，bn＝4n－1.
假设数列{an}的第n项与数列{bn}的第k项相同，
则有3n＋2＝4k－1，所以n＝k－1.
而n∈N*，k∈N*，则k必是3的倍数．
设k＝3t(t∈N*)，于是n＝4t－1，
由题设知，两数列各有100项，
则有解得≤t≤.
又t∈N*，故两数列共有25个相同的项．
将n＝4t－1代入an＝3n＋2 (或将k＝3t代入bk＝4k－1)，
得a4t－1＝3(4t－1)＋2＝12t－1 (或b3t＝12t－1)，
即等差数列{an}中的第(4t－1)项与等差数列{bn}中的第3t项是相同项，
于是ct＝a4t－1＝12t－1，ct＋1＝12(t＋1)－1＝12t＋11，ct＋1－ct＝12 (常数)，
故数列{cn}是以12为公差的等差数列．