4.3.1　等比数列的概念 同步练习（2课时，含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

4．3.1　等比数列的概念(1)
一、 单项选择题
1 (2024滁州期末)在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝－，则公比q的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
2 (2024厦门期末)已知等比数列{an}满足a3＝，a7＝3，则a5的值为(　　)
A. －2 B. －3
C. 3 D. 2
3 (2024南通期末)已知{an}是等比数列，则“a2>a1>0”是“{an}为递增数列”的(　　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4 若－1，a，b，c，－9成等比数列，则下列结论中正确的是(　　)
A. b＝3，ac＝9　
B. b＝－3，ac＝9
C. b＝3，ac＝－9　
D. b＝－3，ac＝－9
5 在2和8之间插入10个数，使这12个数构成首项为2，公比为q的等比数列，则下列结论中正确的是(　　)
A. q＝ B. log2q＝
C. q＝ D. log2q＝
6 (2024茂名期末)已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＝1(n∈N*，且n≥2)，则xn等于(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024榆林开学考试)若数列{an}是等比数列，且an>0(n∈N*)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 数列{anan＋1}是等比数列
B. 数列{an＋1－an}是等比数列
C. 数列{}是等比数列
D. 数列{lg an}是等差数列
8 (2024保定开学考试)如图，在每个空格中填入一个数字，使每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列，则下列结论中正确的是(　　)
1 a 4
b 6 d
c e 20
A. b＝3 B. a＝±2
C. e＝10 D. c＝5
三、 填空题
9 在等比数列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，则n＝________．
10 在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
11 (2024毕节期末)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，数列{akn}为等比数列，数列{kn}的前三项分别为1，2，6，则数列{akn}的公比是________．
四、 解答题
12 (2024江苏月考)在等比数列{an}中．
(1) 若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(2) 若a4＝2，a7＝8，求an.
13 (2024盐城期末)已知正项数列{an}是等比数列，a1，a2＋6，a3成等差数列，且a3＝a2＋6a1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若λan≥4n＋5恒成立，求实数λ的取值范围．
4．3.1　等比数列的概念(2)
一、 单项选择题
1 (2024常德期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a3·a8＝100，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a10的值为(　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 2＋lg 5
2 (2024广东期末)公比不为1的等比数列{an}满足a5a7＝5，若a2a4a8am＝25，则正整数m的值为(　　)
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
3 在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
4 (2024福州期末)已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替．该种昆虫最开始的身体长度记为a1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少为原来的，此时昆虫的长度记为a2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为a3，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若a4＝25，则a1的值为(　　)
A. 18 B. C. 24 D.
5 已知数列{an}满足a1＝－1，(2＋)(2＋)(2＋)…(2＋)＝an＋1，则使得an≥2 022成立的n的最小值为(　　)
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
6 (2024宁波期中)2023年10月17～18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额约为(参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98，保留1位小数)(　　)
A. 17.9万亿 B. 19.1万亿
C. 20.3万亿 D. 21.6万亿
二、 多项选择题
7 (2024绍兴期末)已知数列{an}满足a1＝1，a－an＋1＝a＋an(n∈N*)，则数列{an}(　　)
A. 有可能是常数数列
B. 有可能是等差数列
C. 有可能是等比数列
D. 有可能既不是等差数列，也不是等比数列
8 (2023益阳南县一中期末)在递增的等比数列{an}中，a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法中正确的是(　　)
A. a1＝1
B. 数列是首项为，公比为的等比数列
C. a1×a2×a3×…×a10＝255
D. 数列{lg an}是公差为2的等差数列
三、 填空题
9 (2024武威开学考试)设数列{an}为等比数列，其公比为q.已知a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝32，则a1＝________．
10 已知等比数列{an}满足a1＝2, a4a6＝2a5－1，则a9＝________．
11 (2024广东期末)如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设an是第n行数字1的个数，bn是第n行数字2的个数，则a6＋a7＝________，a2n＋b2n＋1＝________．
第一行　1　2
第二行　2　1　1
第三行　1　1　2　2
第四行　2　2　1　1　1　1
…
四、 解答题
12 已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝5，对于任意的n∈N*，都有an＋2＝6an＋1－9an.
(1) 证明：数列{an＋1－3an}是等比数列；
(2) 求数列{an}的通项公式．
13 (2023湖北月考)某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水．在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%.
(1) 一天后污染物含量降低到什么程度？
(2) 使污染物含量减半至少要多少小时(结果保留整数)
4．3.1　等比数列的概念(1)
1. A　由题意可得q3＝＝－，解得q＝－.
2. C　设等比数列{an}的公比为q，由a3＝，a7＝3，得解得所以a5＝a1q4＝3.
3. B　若a2>a1>0，则公比q＝>1，所以an＝a1qn-1>0.又＝q>1，即an＋1>an，所以{an}为递增数列，故充分性成立；若an＝－，此时{an}为递增数列，但0>a2>a1，故必要性不成立．综上，“a2>a1>0”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
4. B　因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3.又a，c必同号，所以ac＝b2＝9.
5. D　依题意可得2是这个等比数列的第1项，8是这个等比数列的第12项，则8＝2×q12-1，所以q11＝4，所以q＝，所以log2q11＝log24＝2，即log2q＝.
6. A　因为＝1，所以xn－1·xn＋1＝x，且xn≠0.又因为x1＝1，x2＝，即＝，可知数列{xn}是首项为1，公比为的等比数列，所以xn＝.
7. ACD　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由an>0知a1a2>0，＝q2≠0，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故A正确；当q＝1时，an＋1－an＝0，此时数列{an＋1－an}不是等比数列，故B错误；由an>0知>0，＝＝≠0，所以{}是以为公比的等比数列，故C正确；由an>0知q>0，lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q，所以数列{lg an}是以lg q为公差的等差数列，故D正确．故选ACD.
8. ACD　由题意，得2d＝4＋20，则d＝12.由bd＝62，得b＝3.由2b＝c＋1，得c＝5.由a2＝4，e2＝20c，得a＝±2，e＝±10.因为a＋e＝2×6＝12，所以a＝2，e＝10.故选ACD.
9. 4　设等比数列的通项公式为an＝a1·qn-1，则＝·，即＝，所以n＝4.
10. 27和81　设插入的两个数为a，b，则a4＝9q3＝243，解得q＝3，所以a＝9×3＝27，b＝9×32＝81，故这两个数为27和81.
11. 4　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，等比数列{akn}的公比为q.由k1＝1，k2＝2，k3＝6，可得(ak2)2＝ak1ak3，即a＝a1a6，即(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，所以q＝＝＝＝＝4.
12. (1) 由a1×53＝625，解得a1＝5.
(2) 由＝＝4＝q3，解得q＝2，
所以an＝a4·qn-4＝2·(2)n-4＝2.
13. (1) 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由a3＝a2＋6a1，
可得q2＝q＋6，
解得q＝3或q＝－2(舍去).
又因为a1，a2＋6，a3成等差数列，
所以2(a2＋6)＝a1＋a3，
即2(3a1＋6)＝a1＋9a1，
解得a1＝3，
故an＝3n.
(2) 不等式λan≥4n＋5可化为λ≥，
设bn＝，
则bn＋1－bn＝－＝<0，
所以数列{bn}是递减数列，
故当n＝1时，bn最大，且最大值为b1＝3.
又不等式λ≥恒成立，所以λ≥3，
即实数λ的取值范围为[3，＋∞).
4．3.1　等比数列的概念(2)
1. B　在各项均为正数的等比数列{an}中，an>0，因为a3·a8＝100，所以a1·a10＝a2·a9＝a3·a8＝a4·a7＝a5·a6＝100，所以lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg (a1a2…a10)＝lg [(a1·a10)·(a2·a9)·(a3·a8)·(a4·a7)·(a5·a6)]＝lg 1005＝lg 1010＝10.
2. B　因为公比不为1的等比数列{an}满足a5a7＝5，所以a4a8＝a5a7＝5.因为a2a4a8am＝25，所以a2am＝5，可得2＋m＝5＋7，解得m＝10.
3. C　设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以q4＝＝. 又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×＝2，a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
4. C　由题意，得a2＝a1，a3＝×a1＝a1，a4＝25＝a3＝×a1＝a1，解得a1＝24.
5. B　当n＝1时，a2＝2＋＝2－1＝1；当n≥2时，…(2＋)＝an＋1，…(2＋)＝an，所以an＋1＝an＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}从第二项起是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n-2＝2n-1(n≥2)，所以an＝2n-1－1(n≥2)，综上所述，an＝由an≥2 022，得2n-1－1≥2 022，所以2n-1≥2 023，因为210＝1 024，211＝2 048，所以n－1≥11，所以n≥12，所以n的最小值为12.
6. B　由题意可得从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列{an}，其中a1＝10.9，公比q＝1＋6.4%＝1.064，故2022年进出口累计总额约为a10＝a1q9＝10.9×1.0649≈10.9×1.75≈19.1(万亿).
7. BCD　由a－an＋1＝a＋an(n∈N*)，可得(a－a)－(an＋1＋an)＝0，即(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.若对任意n∈N*，有an＋1＝－an且a1＝1，此时数列{an}是公比为－1的等比数列；若对任意n∈N*，有an＋1－an＝1且a1＝1，此时数列{an}是公差为1的等差数列．取数列{an}各项为1，－1，0，1，－1，0，…，则数列{an}满足条件，此时数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，故B，C，D正确；若数列{an}为常数列，不妨设an＝c(c为常数)对任意n∈N*恒成立．由a－an＋1＝a＋an(n∈N*)，可得c2－c＝c2＋c，解得c＝0，与a1＝1矛盾，所以数列{an}不可能是常数列，故A错误．故选BCD.
8. BC　设等比数列{an}的公比为q，因为在递增的等比数列{an}中，a1a4＝32，a2＋a3＝12，所以a2a3＝a1a4＝32，则解得或(舍去)，所以q＝2，a1＝＝2，故A错误；可得an＝2×2n-1＝2n，所以＝＝，当n＝1时，＝，故数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；a1×a2×a3×…×a10＝21×22×23×…×210＝21+2+3+…+10＝255，故C正确；因为an＝2n，所以lg an＝lg 2n＝n lg 2，所以数列{lg an}不是公差为2的等差数列，故D错误．故选BC.
9. 　由a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)q3＝4q3＝32，可得q＝2.又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝7a1＝4，解得a1＝.
10. 　由等比数列的性质可得a4a6＝a，所以a＝2a5－1，解得a5＝1.又a1a9＝a，所以a9＝＝.
11. 16　2n+1　由题意可知an＋1＝2bn，bn＋1＝an，且a2＝2b1＝2，b2＝a1＝1，则an＋2＝2bn＋1＝2an，可得a2n＝a2·2n-1＝2n，b2n＋1＝a2n＝2n，所以a6＋a7＝8＋8a1＝8＋8＝16，a2n＋b2n＋1＝2n+1.
12. (1) 由an＋2＝6an＋1－9an，
得an＋2－3an＋1＝3an＋1－9an＝3(an＋1－3an)，
且a2－3a1＝5－3＝2，
所以数列{an＋1－3an}为等比数列，且首项为2，公比为3.
(2) 由(1)得an＋1－3an＝2×3n-1，
等式左右两边同时除以3n+1可得－＝，
即－＝，且＝，
所以数列为等差数列，且首项为，公差为，
所以＝＋(n－1)×＝，
所以an＝×3n＝(2n＋1)×3n-2.
13. (1) 设污水中污染物的初始含量为a0，n h后残留在池中的污染物含量为an，
则有
可知数列{an}是以0.88a0为首项，0.88为公比的等比数列，
故an＝0.88na0.
因为a24＝0.8824a0≈0.05a0，
所以一天后污染物含量大约降低到原来的5%.
(2) 由an＝0.88na0＝0.5a0，
得n＝log0.880.5≈5.42，
故使污染物含量减半至少要6 h.