5.1.1 变化率问题 同步练习（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2
文档属性
| 名称 | 5.1.1 变化率问题 同步练习（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 39.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-21 21:29:01 | ||
图片预览
文档简介
5．1.1 变化率问题
一、 单项选择题
1 (2024江西期中)某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图．记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为1，2，3，4，则平均速度最小的是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
2 (2023全国课时练习)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝3时的瞬时速度为( )
A. 7 B. 14 C. 21 D. 28
3 (2023全国课时练习)曲线y＝3x2在点(1，3)处的切线的斜率为( )
A. 3 B. －3 C. 6 D. －6
4 已知曲线f(x)＝x2＋x 的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为( )
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
5 已知一列火车在铁轨上作加速直线运动，假设t时的速度为v(t)＝2t2＋3，则在t0时刻的瞬时加速度为( )
A. 8t0 B. 2t0 C. －4t0 D. 4t0
6 已知函数f(x)＝x－，则该函数的图象在点P(1，0)处的切线斜率为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、 多项选择题
7 若一运动物体的位移S(单位：m)与时间 t(单位：s)之间的函数关系式为S＝则下列说法中正确的是( )
A. 物体在t∈[3，5]内的平均速度为24m/s
B. 物体的初速度v0＝－18m/s
C. 物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s
D. 物体在t＝4时的瞬时速度为3m/s
8 已知点P(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，Q(x0－Δx，f(x0－Δx))，M(x0，f(x0))在抛物线f(x)＝x2上，割线PM的斜率为k1，割线QM的斜率为k2，抛物线在点M处的切线斜率为k，则下列结论中正确的是( )
A. k1＝2x0＋Δx
B. k2＝2x0－Δx
C. k>k2
D. k>k1
三、 填空题
9 高台跳水运动员在ts时距水面的高度 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10 (单位：m)，则该运动员的初速度为________m/s.
10 已知物体运动的速度与时间之间的关系为v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1，1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________.
11 (2024全国课时练习)函数f(x)＝的图象在点(1，1)处切线的倾斜角的大小为________．
四、 解答题
12 质点M按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
13 已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：
(1) 它们的交点坐标；
(2) 抛物线在交点处的切线方程．
5.1.1 变化率问题
1. C 设路程y与时间t的函数关系为y＝f(t)，则1＝，即为经过点(t1，f(t1))，(t2，f(t2))的直线的斜率k1，同理，2为经过点(t2，f(t2))，(t3，f(t3))的直线的斜率k2，3为经过点(t3，f(t3))，(t4，f(t4))的直线的斜率k3，4为经过点(t1，f(t1))，(t4，f(t4))的直线的斜率k4，如图，由图可知，k3最小，即3最小．
2. A 该机器人在时刻t＝3时的瞬时速度为 ＝ ＝ (7＋Δt)＝7.
3. C 设f(x)＝3x2，则 ＝ ＝ ＝ (3(Δx)＋6)＝6.
4. D 设切点的坐标为(x0，y0).因为f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－x－x0＝x0·Δx＋(Δx)2＋Δx，所以 ＝x0＋1，由已知有x0＋1＝3，所以x0＝2.
5. D 因为 ＝ (4t0＋2Δt)＝4t0，所以物体在t0时刻的瞬时加速度为4t0.
6. C 因为f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)－－＝Δx＋1－＝Δx＋，所以斜率k＝ ＝ ＝1＋1＝2.
7. ABC 因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3，5]内的位移变化量为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3，5]上的平均速度为＝＝24 (m/s)，故A正确；因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝3Δt－18，当Δt无限趋近于0时，＝3Δt－18无限趋近于－18，所以物体的初速度v0为－18m/s，故B正确；因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝3Δt－12，当Δt无限趋近于0时，＝3Δt－12无限趋近于－12，所以物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s，故C正确；因为物体在t＝4附近的平均变化率为＝3Δt＋24，当Δt无限趋近于0时，＝3Δt＋24无限趋近于24，所以物体在t＝4时的瞬时速度为24m/s，故D错误．故选ABC.
8. AB 因为k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，所以k＝2x0.又Δx可正可负且不为零，所以k，k1，k2的大小关系不确定．故选AB.
9. 6.5 初速度即为t＝0时的速度，＝＝－4.9Δt＋6.5，则当Δt无限趋近于0时，无限趋近于6.5，即该运动员的初速度为6.5m/s.
10. Δt＋4 4 在[1，1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4.
11. 135° 由题意，得 ＝ ＝ ＝－1，即函数y＝f(x)的图象在点(1，1)处的切线的斜率为－1，所以切线的倾斜角α＝135°.
12. 因为＝＝a·Δt＋4a，
所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4a，所以质点M在t＝2s时的瞬时速度为4a m/s，即4a＝8，解得a＝2.
13. (1) 由题意，得x2＋4＝x＋10，解得x＝－2或x＝3.
当x＝－2时，y＝8；当x＝3时，y＝13，
故它们的交点坐标为(－2，8)，(3，13).
(2) 在点(－2，8)处，＝＝Δx－4，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－4，
即切线的斜率为－4，则切线方程为y＝－4x.
同理可得在点(3，13)处的切线方程为y＝6x－5.
一、 单项选择题
1 (2024江西期中)某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图．记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为1，2，3，4，则平均速度最小的是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
2 (2023全国课时练习)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝3时的瞬时速度为( )
A. 7 B. 14 C. 21 D. 28
3 (2023全国课时练习)曲线y＝3x2在点(1，3)处的切线的斜率为( )
A. 3 B. －3 C. 6 D. －6
4 已知曲线f(x)＝x2＋x 的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为( )
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
5 已知一列火车在铁轨上作加速直线运动，假设t时的速度为v(t)＝2t2＋3，则在t0时刻的瞬时加速度为( )
A. 8t0 B. 2t0 C. －4t0 D. 4t0
6 已知函数f(x)＝x－，则该函数的图象在点P(1，0)处的切线斜率为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、 多项选择题
7 若一运动物体的位移S(单位：m)与时间 t(单位：s)之间的函数关系式为S＝则下列说法中正确的是( )
A. 物体在t∈[3，5]内的平均速度为24m/s
B. 物体的初速度v0＝－18m/s
C. 物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s
D. 物体在t＝4时的瞬时速度为3m/s
8 已知点P(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，Q(x0－Δx，f(x0－Δx))，M(x0，f(x0))在抛物线f(x)＝x2上，割线PM的斜率为k1，割线QM的斜率为k2，抛物线在点M处的切线斜率为k，则下列结论中正确的是( )
A. k1＝2x0＋Δx
B. k2＝2x0－Δx
C. k>k2
D. k>k1
三、 填空题
9 高台跳水运动员在ts时距水面的高度 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10 (单位：m)，则该运动员的初速度为________m/s.
10 已知物体运动的速度与时间之间的关系为v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1，1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________.
11 (2024全国课时练习)函数f(x)＝的图象在点(1，1)处切线的倾斜角的大小为________．
四、 解答题
12 质点M按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
13 已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：
(1) 它们的交点坐标；
(2) 抛物线在交点处的切线方程．
5.1.1 变化率问题
1. C 设路程y与时间t的函数关系为y＝f(t)，则1＝，即为经过点(t1，f(t1))，(t2，f(t2))的直线的斜率k1，同理，2为经过点(t2，f(t2))，(t3，f(t3))的直线的斜率k2，3为经过点(t3，f(t3))，(t4，f(t4))的直线的斜率k3，4为经过点(t1，f(t1))，(t4，f(t4))的直线的斜率k4，如图，由图可知，k3最小，即3最小．
2. A 该机器人在时刻t＝3时的瞬时速度为 ＝ ＝ (7＋Δt)＝7.
3. C 设f(x)＝3x2，则 ＝ ＝ ＝ (3(Δx)＋6)＝6.
4. D 设切点的坐标为(x0，y0).因为f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－x－x0＝x0·Δx＋(Δx)2＋Δx，所以 ＝x0＋1，由已知有x0＋1＝3，所以x0＝2.
5. D 因为 ＝ (4t0＋2Δt)＝4t0，所以物体在t0时刻的瞬时加速度为4t0.
6. C 因为f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)－－＝Δx＋1－＝Δx＋，所以斜率k＝ ＝ ＝1＋1＝2.
7. ABC 因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3，5]内的位移变化量为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3，5]上的平均速度为＝＝24 (m/s)，故A正确；因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝3Δt－18，当Δt无限趋近于0时，＝3Δt－18无限趋近于－18，所以物体的初速度v0为－18m/s，故B正确；因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝3Δt－12，当Δt无限趋近于0时，＝3Δt－12无限趋近于－12，所以物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s，故C正确；因为物体在t＝4附近的平均变化率为＝3Δt＋24，当Δt无限趋近于0时，＝3Δt＋24无限趋近于24，所以物体在t＝4时的瞬时速度为24m/s，故D错误．故选ABC.
8. AB 因为k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，所以k＝2x0.又Δx可正可负且不为零，所以k，k1，k2的大小关系不确定．故选AB.
9. 6.5 初速度即为t＝0时的速度，＝＝－4.9Δt＋6.5，则当Δt无限趋近于0时，无限趋近于6.5，即该运动员的初速度为6.5m/s.
10. Δt＋4 4 在[1，1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4.
11. 135° 由题意，得 ＝ ＝ ＝－1，即函数y＝f(x)的图象在点(1，1)处的切线的斜率为－1，所以切线的倾斜角α＝135°.
12. 因为＝＝a·Δt＋4a，
所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4a，所以质点M在t＝2s时的瞬时速度为4a m/s，即4a＝8，解得a＝2.
13. (1) 由题意，得x2＋4＝x＋10，解得x＝－2或x＝3.
当x＝－2时，y＝8；当x＝3时，y＝13，
故它们的交点坐标为(－2，8)，(3，13).
(2) 在点(－2，8)处，＝＝Δx－4，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－4，
即切线的斜率为－4，则切线方程为y＝－4x.
同理可得在点(3，13)处的切线方程为y＝6x－5.