5.1.2　导数的概念及其几何意义 同步练习（2课时，含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

5．1.2　导数的概念及其几何意义(1)
一、 单项选择题
1 设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy是(　　)
A. f(x0＋Δx) B. f(x0)＋Δx
C. f(x0)·Δx D. f(x0＋Δx)－f(x0)
2 火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，若火车在开出ts时加速度为2.8m/s2，则t的值为(　　)
A. B. 2 C. D.
3 函数f(x)＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则实数m的值为(　　)
A. B. 1 C. 2 D.
4 (2024全国课时练习)已知物体做直线运动对应的函数为S＝S(t)，其中S表示路程，t表示时间，则S′(4) ＝10表示的意义是(　　)
A. 经过4秒后物体向前走了10m
B. 物体在前4秒内的平均速度为10m/s
C. 物体在第4秒内向前走了10m
D. 物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
5 (2024大连月考)已知函数f(x)＝ax2－2x，若 ＝2，则实数a的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
6 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝5，则 等于(　　)
A. 2 B. C. 5 D. 10
二、 多项选择题
7 (2023河南月考)已知函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率情况是(　　)
A. 在区间[1，2]上的平均变化率最小
B. 在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C. 在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D. 在区间[4，7]上的平均变化率最大
8 (2023湖南月考)设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是(　　)
A.
B.
C.
D.
三、 填空题
9 (2023咸阳月考)函数f(x)＝log5(x2＋1)在区间[1，7]上的平均变化率为________．
10 (2024武汉期末)若R上的可导函数f(x)在x＝x0处满足 ＝－3，则f′(x0)＝________．
11 (2023河北期末)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(2)＝t， ＝3－t，则实数t的值为________．
四、 解答题
12 (2023山东月考)对一名工人的研究表明，工作th后生产出的产品量Q(单位：t)可以近似表示为Q(t)＝－t3＋15t2＋12t，该工人每天工作8h.
(1) 求当t从2变到4时，该工人生产的产品量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2) 求Q′(2)，Q′(4)，并解释它们的实际意义．
13 求函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
5．1.2　导数的概念及其几何意义(2)
一、 单项选择题
1 (2023梅州期中)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)
B. f′(x2)>f′(x3)>f′(x1)
C. f′(x3)>f′(x2)>f′(x1)
D. f′(x1)>f′(x3)>f′(x2)
2 (2024南京期末)已知函数f(x)的图象在点x＝2处的切线方程为2x＋y－1＝0，则f′(2)＋f(2)的值为(　　)
A. －5 B. －3 C. 3 D. 5
3 (2023重庆月考)函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列结论中正确的是(　　)
A. 2f′(4)B. 2f′(2)C. 2f′(4)<2f′(2)D. f(4)－f(2)<2f′(4)<2f′(2)
4 (2024江苏月考)曲线y＝3x2在点(1，3)处的切线方程为(　　)
A. 3x－y＋3＝0 B. 6x－y＋3＝0
C. 6x－y－3＝0 D. x－6y－3＝0
5 (2024北京朝阳区期末)为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. 该月内，甲、乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多
B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快
C. 在接近t0时，甲、乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快
D. 该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同
6 已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1，1)处的切线互相垂直，则为(　　)
A. B. － C. D. －
二、 多项选择题
7 (2024赣州期中)如图，直线x＝m与曲线y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)，y＝k(x)均相交，则下列结论中正确的是(　　)
A. >
B. >
C. >
D. >
8 已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)·(x0＋4)(x－x0)，则下列结论中正确的有(　　)
A. f′(1)＝－5 B. 在x＝2处的切线平行或重合于x轴
C. 切线斜率的最小值为1 D. f′(4)＝12
三、 填空题
9 已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________．
10 曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程为________．
11 已知奇函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设a＝，则f′(－2)，f′(6)，a之间的大小关系为________. (用“<”连接)
四、 解答题
12 (2024重庆月考)已知函数f(x)＝x－.
(1) 用定义求f′(x)；
(2) 求其图象在x轴交点处的切线方程．
13 (2023湖北月考)已知球的体积V与半径r的函数关系式为V＝πr3，用定义求V在r＝5处的导数，并对V′(5)的意义进行解释．
5．1.2　导数的概念及其几何意义(1)
1. D　自变量x由x0改变到x0＋Δx，当x＝x0时，y＝f(x0)，当x＝x0＋Δx时，y＝f(x0＋Δx)，所以Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).
2. B　由题意可知，v′(t)＝ ＝0.4＋1.2t，令0.4＋1.2t＝2.8，可得t＝2.
3. B　函数f(x)＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于＝＝2，f(x)＝x2在x＝m时的瞬时变化率为 ＝ (Δx＋2m)＝2m，所以2＝2m，解得m＝1.
4. D　因为物体做直线运动的方程为S＝S(t)，根据导数的物理意义可知，S(t)函数的导数是t时刻的瞬时速度，所以S′(4)＝10表示的意义是物体在第4秒时的瞬时速度为10 m/s.
5. B　由f(x)＝ax2－2x，得 ＝ ＝ (aΔx＋2a－2)＝2a－2，所以2a－2＝2，解得a＝2.
6. D　因为f′(1)＝5，所以 ＝2 ＝2f′(1)＝10.
7. BC　函数f(x)在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0，即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大．故选BC.
8. AC　对于A， ＝f′(x0)，故A正确；对于B， ＝2 ＝2f′(x0)，故B错误；对于C， ＝f′(x0)，故C正确；对于D， ＝3 ＝3f′(x0)，故D错误．故选AC.
9. 　函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率为＝＝＝.
10. 6　由题意可得 ＝－ ＝－f′(x0)＝－3，则f′(x0)＝6.
11. 　因为f′(2)＝ ，所以t＝3－t，解得t＝.
12. (1) 由题意可知＝＝74，
它表示该工人在2 h到4 h时间段内，平均每小时生产的产品量为74t.
(2) 由导数的定义可得Q′(t)＝－3t2＋30t＋12，
所以Q′(2)＝－12＋60＋12＝60，Q′(4)＝－48＋120＋12＝84.
Q′(2)＝60表示在2 h时刻，工人的生产速度为60 t/h，
Q′(4)＝84表示在4 h时刻，工人的生产速度为84 t/h.
13. 因为＝＝3－Δx，所以y′|x＝－1＝ ＝ (3－Δx)＝3.
5．1.2　导数的概念及其几何意义(2)
1. B　依次作出函数f(x)的图象在x1，x2，x3处的切线，如图所示．根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，f′(x2)>f′(x3)>0>f′(x1).
2. A　因为函数f(x)的图象在点x＝2处的切线方程为2x＋y－1＝0，所以f′(2)＝－2，且2×2＋f(2)－1＝0，解得f(2)＝－3，所以f′(2)＋f(2)＝－5.
3. B　如图，由图象可知f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，k14. C　设f(x)＝3x2，则f′(1)＝ ＝ ＝ ＝ (3Δx＋6)＝6.因为f(1)＝3，所以曲线y＝3x2在点(1，3)处的切线方程为y－3＝6(x－1)，即6x－y－3＝0.
5. D　对于A，设ΔW＝Wt＝0－Wt＝t0，甲工厂的污水排放减少量为ΔW1，乙工厂的污水排放减少量为ΔW2.结合图象可知ΔW1<ΔW2，所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；对于B，如图1，作出表示甲厂曲线的3条切线l1，l2，l3，由图可知直线l2的倾斜程度小于l1的倾斜程度，直线l3的倾斜程度大于l2的倾斜程度，说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快，从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；对于C，设t1为接近t0的时刻且t1|k2|，所以在接近t0时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；对于D，如图3，利用导数的几何意义可知存在时刻t2，两曲线切线的斜率相等，即甲、乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，所以该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同，故D正确．
图1 图2 图3
6. D　y′＝ ＝ ＝ ＝3x2.因为P(1，1)为曲线y＝x3上的一点，所以曲线y＝x3在点P(1，1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3.由条件知3×＝－1，所以＝－.
7. ABD　 ＝f′(m)， ＝g′(m)， ＝h′(m)， ＝k′(m).由图可知k′(m)<0，且曲线y＝f(x)在x＝m处比曲线y＝g(x)更陡峭，曲线y＝g(x)在x＝m处比曲线y＝h(x)更陡峭，所以f′(m)>g′(m)>h′(m)>0，故A，B，D正确，C错误．故选ABD.
8. AB　由题意得f′(x)＝(x－2)(x＋4)，对于A，f′(1)＝－5，故A正确；对于B，f′(2)＝0，故在x＝2处的切线平行或重合于x轴，故B正确；对于C，f′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，最小值为－9，故C错误；对于D，f′(4)＝(4－2)(4＋4)＝16，故D错误．故选AB.
9. 12　f′(2)＝ ＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.
10. 2x－y＋1＝0　因为Δy＝[(1＋Δx)3－(1＋Δx)＋3]－3＝2Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，所以k＝y′|x＝1＝ ＝＝[2＋3Δx＋(Δx)2]＝2.故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
11. f′(－2)12. (1) 由导数的定义可得
f′(x)＝ ＝
＝ ＝ ＝1＋.
(2) 函数f(x)＝x－的图象与x轴有两个交点，
交点坐标分别为A(1，0)，B(－1，0).
由(1)知f′(1)＝2，
所以在点A(1，0)处的切线方程为y＝2(x－1)＝2x－2，
同理，在点B(－1，0)处的切线方程为y＝2x＋2.
13. 由导数定义可得 ＝
＝ π[(Δx)2＋15Δx＋75]＝π·75＝100π，
所以V在r＝5处的导数为100π.
V′(5)的意义为r＝5时球的表面积．