5.2.1 基本初等函数的导数 同步练习（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2
文档属性
| 名称 | 5.2.1 基本初等函数的导数 同步练习（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 23.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-21 21:29:48 | ||
图片预览
文档简介
5．2.1 基本初等函数的导数
一、 单项选择题
1 已知f(x)＝x2·，则f′(2)的值为( )
A. 4 B. 0
C. D. 5
2 (2024茂名期中)已知函数f(x)＝cos x，则曲线y＝f(x)在x＝处切线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
3 若f(x)＝x5，f′(x0)＝5，则x0的值为( )
A. 或－ B. 1或－1
C. 1 D. －1
4 已知函数f(x)＝sin (2x＋α)cos (x＋α)－cos (2x＋α)sin (x＋α)，则f′的值为( )
A. － B. － C. D.
5 若曲线y＝x3在点A处的切线方程为12x－y＋16＝0，则点A的坐标为( )
A. (－2，－8)
B. (2，8)
C. (－2，8)
D. (－2，－8)或(2，8)
6 (2023自贡期末)“以直代曲”是重要的数学思想，具体做法是：在函数图象某个切点附近用切线代替曲线来近似计算．比如要求sin 0.05的近似值，我们可以先构造函数y＝sin x，由于0.05与0比较接近，所以求出x＝0处的切线方程为y＝x，再把x＝0.05代入切线方程，故有sin 0.05≈0.05.类比上述方式，则e的近似值为( )
A. 1.001 B. 1.005
C. 1.015 D. 1.025
二、 多项选择题
7 (2023韶关月考)下列求导运算中，正确的是( )
A. ′＝
B. (cos x)′＝sin x
C. (2x)′＝2x·ln 2
D. (x4)′＝4x3
8 (2023邢台月考)可能把直线y＝x＋m作为切线的曲线是( )
A. y＝－ B. y＝cos x
C. y＝ln x D. y＝ex
三、 填空题
9 (2024重庆沙坪坝期末)已知函数f(x)＝2x，若f′(x0)＝ln 4，则x0＝________．
10 (2024上海闵行区期末)已知f(x)＝sin x，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，函数y＝f(x)＋f′(x)的值域是________．
11 已知曲线f(x)＝与曲线g(x)＝a ln x(a∈R)相交，且在交点处有相同的切线，则a＝________．
四、 解答题
12 不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体．已知氯化钠晶体的形状为立方体，当立方体的棱长x变化时，其体积关于x的变化率是立方体表面积的多少？
13 (2023佛山月考)已知函数f(x)＝.
(1) 函数y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直，求点P的坐标；
(2) 过点Q(－1，3)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程．
5.2.1 基本初等函数的导数
1. D 将原函数化简，得f(x)＝x，则f′(x)＝·x，所以f′(2)＝×2＝5.
2. B 由题意，得f′(x)＝－sin x，则f′＝－sin ＝－1，即曲线y＝f(x)在x＝处切线的斜率为－1，所以倾斜角为.
3. B 因为f′(x)＝5x4，所以f′(x0)＝5x＝5，解得x0＝1或x0＝－1.
4. A 因为f(x)＝sin [2x＋α－(x＋α)]＝sin x，所以f′(x)＝cos x，所以f′＝cos ＝
－.
5. A 因为y′＝3x2，所以3x2＝12，解得x＝2或x＝－2，所以点A(2，8)或(－2，－8).又因为点A(2，8)不在切线12x－y＋16＝0上，故舍去；点(－2，－8)在切线12x－y＋16＝0上，适合题意，故点A的坐标为(－2，－8).
6. B 设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，可得f′(0)＝1，f(0)＝1，故曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x＋1，设为g(x)＝x＋1.由题意，得e＝f≈g＝1.005.
7. CD 对于A，′＝(x-1)′＝－x-2＝－，故A错误；对于B，(cos x)′＝－sin x，故B错误；对于C，(2x)′＝2x·ln 2，故C正确；对于D，(x4)′＝4x3，故D正确．故选CD.
8. ACD 直线y＝x＋m的斜率k＝，对于A，y′＝，令＝，解得x＝±，故A正确；对于B，y′＝－sin x，又－sin x∈[－1，1]，则方程－sin x＝无解，故B错误；对于C，y′＝，令＝，解得x＝，故C正确；对于D，y′＝ex，令ex＝，解得x＝ln ，故D正确．故选ACD.
9. 1 因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2x ln 2.又f′(x0)＝ln 4，所以2x0ln 2＝ln 4＝2ln 2，解得x0＝1.
10. [－1，] 因为f(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x，y＝f(x)＋f′(x)＝sin x＋cos x＝sin ，当x∈[0，π]时，≤x＋≤，所以－≤sin ≤1，所以－1≤sin ≤.
11. 易知a>0，设两曲线的交点为P(x0，y0).由题意，得f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，则两式相除得2x0＝x0ln x0.因为x0>0，所以ln x0＝2，解得x0＝e2.代入＝a ln x0，得e＝2a，解得a＝.
12. 立方体的体积V(x)＝x3，表面积S(x)＝6x2.
因为V′(x)＝(x3)′＝3x2，
所以其体积关于x的变化率为3x2，是立方体表面积的.
13. (1) 因为f(x)＝，
所以f′(x)＝－.
设P，
因为函数y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直，
所以f′(x0)＝－＝－，解得x0＝±2，
所以点P的坐标为P或P.
(2) 过点Q(－1，3)作曲线y＝f(x)的切线，
设切点为(x1，y1)，
则f′(x1)＝－，
切线方程为y＝－(x－x1)＋＝－x＋.
代入点Q(－1，3)，得3＝＋，
解得x1＝－或x1＝1，
所以切线方程为y＝－9x－6或y＝－x＋2.
一、 单项选择题
1 已知f(x)＝x2·，则f′(2)的值为( )
A. 4 B. 0
C. D. 5
2 (2024茂名期中)已知函数f(x)＝cos x，则曲线y＝f(x)在x＝处切线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
3 若f(x)＝x5，f′(x0)＝5，则x0的值为( )
A. 或－ B. 1或－1
C. 1 D. －1
4 已知函数f(x)＝sin (2x＋α)cos (x＋α)－cos (2x＋α)sin (x＋α)，则f′的值为( )
A. － B. － C. D.
5 若曲线y＝x3在点A处的切线方程为12x－y＋16＝0，则点A的坐标为( )
A. (－2，－8)
B. (2，8)
C. (－2，8)
D. (－2，－8)或(2，8)
6 (2023自贡期末)“以直代曲”是重要的数学思想，具体做法是：在函数图象某个切点附近用切线代替曲线来近似计算．比如要求sin 0.05的近似值，我们可以先构造函数y＝sin x，由于0.05与0比较接近，所以求出x＝0处的切线方程为y＝x，再把x＝0.05代入切线方程，故有sin 0.05≈0.05.类比上述方式，则e的近似值为( )
A. 1.001 B. 1.005
C. 1.015 D. 1.025
二、 多项选择题
7 (2023韶关月考)下列求导运算中，正确的是( )
A. ′＝
B. (cos x)′＝sin x
C. (2x)′＝2x·ln 2
D. (x4)′＝4x3
8 (2023邢台月考)可能把直线y＝x＋m作为切线的曲线是( )
A. y＝－ B. y＝cos x
C. y＝ln x D. y＝ex
三、 填空题
9 (2024重庆沙坪坝期末)已知函数f(x)＝2x，若f′(x0)＝ln 4，则x0＝________．
10 (2024上海闵行区期末)已知f(x)＝sin x，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，函数y＝f(x)＋f′(x)的值域是________．
11 已知曲线f(x)＝与曲线g(x)＝a ln x(a∈R)相交，且在交点处有相同的切线，则a＝________．
四、 解答题
12 不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体．已知氯化钠晶体的形状为立方体，当立方体的棱长x变化时，其体积关于x的变化率是立方体表面积的多少？
13 (2023佛山月考)已知函数f(x)＝.
(1) 函数y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直，求点P的坐标；
(2) 过点Q(－1，3)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程．
5.2.1 基本初等函数的导数
1. D 将原函数化简，得f(x)＝x，则f′(x)＝·x，所以f′(2)＝×2＝5.
2. B 由题意，得f′(x)＝－sin x，则f′＝－sin ＝－1，即曲线y＝f(x)在x＝处切线的斜率为－1，所以倾斜角为.
3. B 因为f′(x)＝5x4，所以f′(x0)＝5x＝5，解得x0＝1或x0＝－1.
4. A 因为f(x)＝sin [2x＋α－(x＋α)]＝sin x，所以f′(x)＝cos x，所以f′＝cos ＝
－.
5. A 因为y′＝3x2，所以3x2＝12，解得x＝2或x＝－2，所以点A(2，8)或(－2，－8).又因为点A(2，8)不在切线12x－y＋16＝0上，故舍去；点(－2，－8)在切线12x－y＋16＝0上，适合题意，故点A的坐标为(－2，－8).
6. B 设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，可得f′(0)＝1，f(0)＝1，故曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x＋1，设为g(x)＝x＋1.由题意，得e＝f≈g＝1.005.
7. CD 对于A，′＝(x-1)′＝－x-2＝－，故A错误；对于B，(cos x)′＝－sin x，故B错误；对于C，(2x)′＝2x·ln 2，故C正确；对于D，(x4)′＝4x3，故D正确．故选CD.
8. ACD 直线y＝x＋m的斜率k＝，对于A，y′＝，令＝，解得x＝±，故A正确；对于B，y′＝－sin x，又－sin x∈[－1，1]，则方程－sin x＝无解，故B错误；对于C，y′＝，令＝，解得x＝，故C正确；对于D，y′＝ex，令ex＝，解得x＝ln ，故D正确．故选ACD.
9. 1 因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2x ln 2.又f′(x0)＝ln 4，所以2x0ln 2＝ln 4＝2ln 2，解得x0＝1.
10. [－1，] 因为f(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x，y＝f(x)＋f′(x)＝sin x＋cos x＝sin ，当x∈[0，π]时，≤x＋≤，所以－≤sin ≤1，所以－1≤sin ≤.
11. 易知a>0，设两曲线的交点为P(x0，y0).由题意，得f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，则两式相除得2x0＝x0ln x0.因为x0>0，所以ln x0＝2，解得x0＝e2.代入＝a ln x0，得e＝2a，解得a＝.
12. 立方体的体积V(x)＝x3，表面积S(x)＝6x2.
因为V′(x)＝(x3)′＝3x2，
所以其体积关于x的变化率为3x2，是立方体表面积的.
13. (1) 因为f(x)＝，
所以f′(x)＝－.
设P，
因为函数y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直，
所以f′(x0)＝－＝－，解得x0＝±2，
所以点P的坐标为P或P.
(2) 过点Q(－1，3)作曲线y＝f(x)的切线，
设切点为(x1，y1)，
则f′(x1)＝－，
切线方程为y＝－(x－x1)＋＝－x＋.
代入点Q(－1，3)，得3＝＋，
解得x1＝－或x1＝1，
所以切线方程为y＝－9x－6或y＝－x＋2.