5.2.2　导数的四则运算法则 同步练习（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

5．2.2　导数的四则运算法则
一、 单项选择题
1 已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可表示为y＝，则在t＝40 min时的瞬时降雨强度为(　　)
A. mm/min B. mm/min
C. 20 mm/min D. 400 mm/min
2 (2024广西开学考试)曲线y＝－x2＋7x＋ln x在点(1，6)处的切线的斜率为(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3 已知函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f′的值为(　　)
A. B. 1 C. －1 D. 0
4 (2024湖南岳阳开学考试)设函数f(x)＝xex的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　)
A. y＝ex B. y＝x
C. y＝ex＋1 D. y＝x＋1
5 吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系是V＝πr3.当V＝ L时，气球的瞬时膨胀率为(　　)
A. dm/L B. dm/L
C. 3 L/dm D. 4π L/dm
6 (2024黄冈月考)若函数f(x)＝(x－2 021)(x－2 022)(x－2 023)(x－2 024)，则f′(2 024)的值为(　　)
A. 6 B. －1 C. 0 D. 1
二、 多项选择题
7 (2024临沂期末)下列求导运算中，正确的是(　　)
A. [cos (－x)]′＝sin x
B. ′＝
C. ()′＝x
D. (1－x3)′＝1－3x2
8 (2023菏泽月考)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3t－t2，则下列结论中正确的是(　　)
A. 此物体的初速度是3m/s
B. 此物体在t＝2s时的瞬时速度大小为1m/s，方向与初速度相反
C. t＝0s到t＝2s时的平均速度1m/s
D. t＝3s时的瞬时速度为0m/s
三、 填空题
9 (2024广州月考)已知函数f(x)＝ax2－2x，若 ＝2，则实数a的值为________．
10 (2024上海月考)已知a，b为实数，函数y＝ln x＋的图象在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，则ab的值________．
11 已知质点P在半径为10 cm 的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是1 rad/s，设A(10，0)为起始点，记点P在y轴上的射影为M，则10πs时点M的速度是________cm/s.
四、 解答题
12 (2024重庆月考)求下列函数的导数：
(1) y＝(x＋1)ln x；
(2) y＝x tan x，.
13 (2024芜湖期末)已知函数f(x)＝x2＋x与函数g(x)＝ln x＋2x.
(1) 求曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程；
(2) 求曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在公共点处的公切线方程．
5．2.2　导数的四则运算法则
1. B　由题意，得y′＝·，则y′|t＝40＝·＝，所以在t＝40 min时的瞬时降雨强度为 mm/min.
2. B　因为y′＝－2x＋7＋，所以y′|x＝1＝－2×1＋7＋＝6，即曲线y＝－x2＋7x＋ln x在点(1，6)处的切线的斜率为6.
3. D　根据题意，得f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x，所以f′＝0.
4. B　由f(x)＝0，得x＝0，则点P的坐标为(0，0).由f(x)＝xex，得f′(x)＝(x＋1)ex，则f′(0)＝1，可得该曲线在点P处的切线方程为y＝x.
5. A　因为V＝πr3，所以r＝，所以r′＝×，所以当V＝时，r′＝×＝×＝×＝(dm/L).
6. A　令g(x)＝(x－2 021)(x－2 022)(x－2 023)，则f(x)＝(x－2 024)·g(x)，所以f′(x)＝g(x)＋(x－2 024)·g′(x)，可得f′(2 024)＝g(2 024)＝3×2×1＝6.
7. BC　[cos (－x)]′＝(cos x)′＝－sin x，故A错误；′＝＝，故B正确；()′＝(x)′＝x，故C正确；(1－x3)′＝－3x2，故D错误．故选BC.
8. ABC　对于A，s′＝3－2t，则当t＝0 s时，s′＝3，即此物体的初速度是3 m/s，故A正确；对于B，当t＝2 s时，s′＝3－4＝－1，即此物体在t＝2 s时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反，故B正确；对于C，记s(t)＝3t－t2，则t＝0 s到t＝2 s时的平均速度为＝＝1(m/s)，故C正确；对于D，当t＝3 s时，s′＝3－2t＝3－6＝－3，即t＝3 s时的瞬时速度为－3 m/s，故D错误．故选ABC.
9. 2　因为 ＝2，所以f′(1)＝2.又f(x)＝ax2－2x，所以f′(x)＝2ax－2，可得f′(1)＝2a－2＝2，解得a＝2.
10. 21　由f(x)＝ln x＋，得f′(x)＝－，则f′(1)＝1－a.又f(1)＝a，可得切线方程为y－a＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x－1＋2a.由题意，得1－a＝4，－1＋2a＝b，解得a＝－3，b＝－7，所以ab＝21.
11. 10　设运动时间为t，所以P(10cos t，10sin t)，所以点M的位移为s(t)＝10sin t，点M的速度为v(t)＝s′(t)＝10cos t，因此10πs时点M的速度是v(10π)＝10cos (10π)＝10.
12. (1) y′＝[(x＋1)ln x]′＝(x＋1)′ln x＋(x＋1)(ln x)′＝ln x＋＋1.
(2) y′＝(x·tan x)′＝′
＝
＝
＝.
13．(1) 因为f(x)＝x2＋x，
所以f′(x)＝2x＋1，f′(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x.
(2) 设曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公共点为P(x0，y0)，
因为f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln x＋2x，
所以f′(x)＝2x＋1，g′(x)＝＋2，
所以2x0＋1＝＋2，
解得x0＝1或x0＝－(舍去)，
可得P(1，2)，f′(1)＝3，
故所求公切线方程为y－2＝3(x－1)，
即3x－y－1＝0.