5.3.1　函数的单调性 同步练习（2课时，含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

5.3.1　函数的单调性(1)
一、 单项选择题
1 函数f(x)＝x3－12x＋8的单调增区间为(　　)
A. (－∞，－2)，(2，＋∞)
B. (－2，2)
C. (－∞，－2)
D. (2，＋∞)
2 函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是(　　)
A. (－∞，1)
B. (0，1)
C. (－∞，－1)和(0，1)
D. (1，＋∞)
3 (2024北京月考)已知函数f(x)＝2x－sinx，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(2)B. f(π)C. f(e)D. f(2)4 已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调减区间为(　　)
A. (－1，0)
B.
C. (－∞，－1)，(0，＋∞)
D. ，(0，＋∞)
5 (2024重庆月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数f′(x)的图象如图所示．设a＝f，b＝f，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. aC. a6 (2024宁德月考)已知f′(x)是定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数，且xf′(x)－f(x)<0.设a＝f(2)，b＝f(e)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. a>b>c B. c>a>b C. c>b>a D. b>a>c
二、 多项选择题
7 (2024黄冈月考)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)有三个单调区间
B. f(－2)C. f(－1)D. f(x)在区间[－1，2]上单调递增，在区间(2，4]上单调递减
8 (2024黔东南月考)下列函数中，在定义域上为增函数的有(　　)
A. f(x)＝ex＋x B. f(x)＝xex
C. f(x)＝x＋cos x D. f(x)＝x2－ln x
三、 填空题
9 函数f(x)＝x3－3x＋a的单调增区间是________．
10 函数f(x)＝的单调减区间是________．
11 (2023焦作期末)已知函数f(x)＝1－x＋－，若不等式f(a2＋a)≤f(2a＋2)成立，则实数a的取值范围为________．
四、 解答题
12 确定下列函数的单调区间：
(1) y＝x－x3；
(2) y＝；
(3) y＝x cos x－sin x，x∈(0，2π).
13 (2024洛阳月考)已知函数f(x)＝ex－cos x，g(x)＝xf′(x)－f(x).
(1) 证明：g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
(2) 判断3f与4f的大小关系，并证明．
5．3.1　函数的单调性(2)
一、 单项选择题
1 “a>1”是“函数f(x)＝ax－sin x是增函数”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 若函数f(x)＝(x2－ax＋a)ex在区间[－3，－1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－1，＋∞) B. [1，＋∞)
C. (－∞，－1] D. (－∞，1]
3 已知函数f(x)＝x3－3mx2＋9mx＋1在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1) B. [－1，1]
C. [1，3] D. [－1，3]
4 (2024重庆月考)若函数f(x)＝x2－a ln x＋1在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. [0，2] B. (－∞，1]
C. [2，＋∞) D. (－∞，2]
5 (2024泰州期末)不等式(x－2)(x＋1)A. (－∞，－1)∪(2，＋∞)
B. (－1，2)
C. (－2，1)
D. [0，2)
6 (2024重庆月考)已知函数f(x)＝ex－ax2，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有>1，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，1) B. (－∞，1]
C. (0，1) D. (0，1]
二、 多项选择题
7 (2024滁州月考)已知定义在区间上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0，则下列结论中正确的是(　　)
A. f>f B. f>f
C. f>f D. f>f
8 (2024黄冈月考)若函数f(x)＝x2－9ln x 在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可能是(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
三、 填空题
9 已知f(x)＝－x2＋b ln (x＋2)的单调减区间为(1，＋∞)，则实数b的值为________．
10 (2024四川期末)已知f(x)＝－5x＋sin x，则满足f(a2)＋f(－4)>0的实数a的取值范围是________．
11 (2024云南开学考试)已知函数f(x)＝x2＋2ax－3，对任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1四、 解答题
12 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.
(1) 若f(x)的单调减区间为(－1，1)，求实数a的值；
(2) 若f(x)在区间(－1，1)上单调递减，求实数a的取值范围．
13 (2024江苏月考)已知函数f(x)＝x2＋ax－6a2ln x.
(1) 当a＝1时，求f(x)的单调增区间；
(2) 求f(x)的单调区间；
(3) 若f(x)在区间(0，2)上单调递减，求实数a的取值范围．
5.3.1　函数的单调性(1)
1. A　由题意，得f′(x)＝3x2－12.令f′(x)>0，得x<－2或x>2，所以函数y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞).
2. B　函数f(x)＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－＝<0可得03. D　因为f′(x)＝2－cos x>0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增．又24. B　因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，所以由f′(x)＝3x2＋4x<0，解得－5. D　观察导函数f′(x)的图象可得，当x∈(0，2)时，f′(x)>0，此时函数f(x)在区间(0，2)上单调递增．又函数f(x)是定义在R上的偶函数，可得f＝f6. A　令h(x)＝，则h′(x)＝<0，所以h(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，可得>>，即a>b>c.
7. CD　对于A，由图象可以看出，f′(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误；对于B，当x∈[－2，－1]时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以f(－2)>f(－1)，故B错误；对于C，当x∈[－1，2]时， f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(－1)8. AC　对于A，由f(x)＝ex＋x，得f′(x)＝ex＋1>0恒成立，所以f(x)在定义域R上是增函数，故A正确；对于B，由f(x)＝xex，得f′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，所以f(x)在定义域R上不是增函数，故B错误；对于C，由f(x)＝x＋cos x，得f′(x)＝1－sin x≥0恒成立，所以f(x)在定义域R上是增函数，故C正确；对于D，由f(x)＝x2－ln x，得f′(x)＝2x－＝，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)在定义域(0，＋∞)上不是增函数，故D错误．故选AC.
9. (－∞，－1)，(1，＋∞) 　由题意，得f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝3(x－1)(x＋1)>0，得x<－1或x>1，所以函数f(x)＝x3－3x＋a的单调增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞).
10. (－1，1)，(1，3)　由题意，得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝＝.令f′(x)<0，得－111. (－∞，－1]∪[2，＋∞)　由f(x)＝1－x＋－，得f′(x)＝－1＋x－x2＝－－<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减．由f(a2＋a)≤f(2a＋2)，得a2＋a≥2a＋2, 解得a≤－1或a≥2.
12. (1) y′＝1－3x2，令y′>0，解得－，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为，.
(2) y′＝＝－<0，故函数的单调减区间为(－∞，9)，(9，＋∞)，无单调增区间．
(3) y′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x.
因为x∈(0，2π)，所以当x∈(0，π)时，y′<0；
当x∈(π，2π)时，y′>0，
故函数的单调增区间为(π，2π)，单调减区间为(0，π).
13. (1) 由题意，得f′(x)＝ex＋sin x，
所以g(x)＝x(ex＋sin x)－(ex－cos x)＝(x－1)ex＋x sin x＋cos x，
所以g′(x)＝x(ex＋cos x).
当x>0时，因为ex＋cos x>e0＋cos x＝1＋cos x≥0，
所以g′(x)>0，即g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2) 3f>4f，证明如下：
设h(x)＝，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝＝.
由(1)知g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)>g(0)＝0，
可得h′(x)>0，即h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以h>h，即3f>4f.
5．3.1　函数的单调性(2)
1. A　若函数f(x)＝ax－sin x是增函数，则f′(x)＝a－cos x≥0在R上恒成立，则a≥(cos x)max＝1，所以“a>1”是“函数f(x)＝ax－sin x是增函数”的充分不必要条件．
2. C　因为f(x)＝(x2－ax＋a)ex，所以f′(x)＝ex[x2＋(2－a)x]＝xex(x＋2－a).因为x∈[－3，－1]时，xex<0，所以若f(x)在区间[－3，－1]上单调递减，则x＋2－a≥0在区间[－3，－1]上恒成立，即a≤x＋2在区间[－3，－1]上恒成立，所以a≤－1.
3. D　f′(x)＝3x2－6mx＋9m，因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以3x2－6mx＋9m≥0在区间(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝3x2－6mx＋9m，则或解得－1≤m≤1或14. D　因为f(x)＝x2－a ln x＋1，所以f′(x)＝2x－.由f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，得 x≥1，f′(x)≥0，即a≤2x2.又2x2≥2，可得a≤2，即实数a的取值范围是(－∞，2].
5. B　由(x－2)(x＋1)x2－2x，解得－16. B　设x1>x2>0，因为>1，所以f(x1)－f(x2)>x1－x2，即f(x1)－x1>f(x2)－x2.令g(x)＝f(x)－x，由函数单调性可知，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则g′(x)＝f′(x)－1＝ex－ax－1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，则(ex－ax－1)min≥0，x∈(0，＋∞).令h(x)＝ex－ax－1，则h′(x)＝ex－a.若a≤1，则h′(x)>0，h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，可得h(x)>h(0)＝0，符合题意；若a>1，令h′(x)<0，则x∈(0，ln a)，所以h(x)在区间(0，ln a)上单调递减，所以当x∈(0，ln a)时，h(x)7. CD　设g(x)＝，则g′(x)＝<0在区间上恒成立，即g(x)＝在区间上单调递减，所以<<，即f>f，f>f.故选CD.
8. AC　由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝.由f′(x)≥0，得x≥3，即函数f(x)的单调增区间为[3，＋∞)；由f′(x)≤0，得09. 3　由题意可知的解集是(1，＋∞)，则f′(1)＝－1＋＝0，解得b＝3，经检验，符合题意．
10. (－2，2)　因为f(x)＝－5x＋sin x，该函数的定义域为R，且f(－x)＝5x＋sin (－x)＝5x－sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．因为f′(x)＝cos x－5<0对任意的x∈R恒成立，所以函数f(x)在R上单调递减．由f(a2)＋f(－4)>0，可得f(a2)>－f(－4)＝f(4)，所以a2<4，解得－211. (－∞，4]　由对任意x1，x2∈[1，＋∞)且x112. 由题意，得f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3).
(1) 因为f(x)的单调减区间为(－1，1)，
所以－1和1是方程f′(x)＝0的两个根，
所以＝1，解得a＝0.
当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)(3x－3)，
由f′(x)<0，得－1所以f(x)的单调减区间为(－1，1)，符合题意，
所以实数a的值为0.
(2) 因为f(x)在区间(－1，1)上单调递减，
所以f′(x)≤0在区间(－1，1)上恒成立．
又二次函数y＝f′(x)的图象开口向上，
方程f′(x)＝0的一个根为－1，另一个根为，
所以≥1，所以a≤0.
故实数a的取值范围是(－∞，0].
13. (1) 当a＝1时，f(x)＝x2＋x－6ln x，x>0，
则f′(x)＝x＋1－＝，x>0，
由f′(x)>0，得x>2，
则f(x)的单调增区间为(2，＋∞).
(2) 由f(x)＝x2＋ax－6a2ln x，x>0，
得f′(x)＝x＋a－＝，x>0.
由f′(x)＝0，得x＝2a或x＝－3a.
①当a>0时，由f′(x)>0，得x>2a，
由f′(x)<0，得0②当a＝0时，f′(x)＝x>0在区间(0，＋∞)上恒成立；
③当a<0时，由f′(x)>0，得x>－3a，
由f′(x)<0，得0综上，当a>0时，f(x)的单调增区间为(2a，＋∞)，单调减区间为(0，2a)；当a＝0时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；当a<0时，f(x)的单调增区间为(－3a，＋∞)，单调减区间为(0，－3a).
(3) 由(2)得f′(x)＝，
f(x)在区间(0，2)上单调递减，
等价于f′(x)≤0在区间(0，2)上恒成立，
即(x＋3a)(x－2a)≤0在区间(0，2)上恒成立．
设g(x)＝(x＋3a)(x－2a)，
结合函数的图象知，
需满足
解得a≥1或a≤－，
即实数a的取值范围是∪[1，＋∞).