第五章一元函数的导数及其应用 同步练习（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

第五章　一元函数的导数及其应用
一、 单项选择题
1 (2023衡阳期末)设 ＝－6，则f′(3)的值为(　　)
A. －12 B. －3 C. 3 D. 12
2 已知函数f(x)＝3x3－ax2＋x－5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A. (－∞，5] B. (－∞，5)
C. D. (－∞，3]
3 (2024陕西月考)已知函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)有2个极值点
B. f(x)在x＝1处取得极小值
C. f(x)有极大值，没有极小值
D. f(x)在区间(－∞，1)上单调递减
4 (2024烟台开学考试)如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面．若该几何体的表面积为12π，体积为V，则V2的最大值为(　　)
A. π2 B. 20π2
C. 56π2 D. 24π2
5 (2024长沙期末)若a＝ln ，b＝ln ，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. cC. c6 (2024浙江月考)若过点(a，b)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则下列结论中正确的是(　　)
A. eb>0>a B. ln a>0>b
C. eb>a>0 D. ln a>b>0
二、 多项选择题
7 (2024菏泽月考)下列函数中，即是奇函数又在区间(0，1)上单调递增的是(　　)
A. y＝ln |x| B. y＝－ex＋e－x
C. y＝x＋sin (－x) D. y＝3x5－
8 (2024福州期末)已知函数f(x)＝ax＋ex，x∈R，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当a>0时，函数f(x)在R上单调递增
B. 当a＝－3时，函数f(x)有两个零点
C. 当a<0时，方程f(x)＝一定有解
D. 当a＝0时，f(x)－ln x>2在区间(0，＋∞)上恒成立
三、 填空题
9 (2024上海月考)函数f(x)＝x3－x，x∈[－2，2]的最小值为________．
10 (2024六安期末)已知函数f(x)＝sin x－ax在区间上单调递减，则实数a的取值范围为________．
11 (2024茂名月考)已知函数f(x)＝，若方程f(x)－k＝0有2个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
12 某校在圆心角为直角，半径为1 km的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1 km的A，B两个位置分别有300，100名学生，在道路OB上设置集合地点D，要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为S(km).
(1) 设∠ADO＝θ，写出S关于θ的函数表达式；
(2) 当S最小时，集合地点D离点A多远？并求总路程S的最小值？
13 (2024广东月考)已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R.
(1) 当a＝时，求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；
(2) 讨论函数f(x)的单调性；
(3) 若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，不等式f(x)≥bx－2对 x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围．
本 章 复 习
1. B　由 ＝2 ＝2f′(3)＝－6，解得f′(3)＝－3.
2. A　由题意，得f′(x)＝9x2－2ax＋1≥0在区间[1，2]上恒成立，则2a≤＝10，所以a≤5.
3. C　由题图可知，当x<3时，f′(x)≥0；当x>3时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(－∞，3)上单调递增，在区间(3，＋∞)上单调递减，可得f(x)有一个极大值，没有极小值，故选C.
4. A　设其中一个圆锥的底面半径为r，高为h.由题意，得2πr＝12π，则h2＝－r2>0，解得r2∈(0，6)，所以V＝2×πr2h，V2＝π2r4＝π2(36r2－r6).令t＝r2∈(0，6)，设V2＝f(t)＝π2(36t－t3)，则f′(t)＝π2·(36－3t2).令f′(t)＝0，解得t＝2.当t∈(0，2)时，f′(t)>0，函数f(t)单调递增；当t∈(2，6)时，f′(t)<0，函数f(t)单调递减，所以f(t)max＝f(2)＝π2，即V2的最大值为π2.
5. C　易得c＝－＝ln ，a＝ln ＝ln ，构造函数f(x)＝x ln x，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝ln x＋1.令f′(x)>0，解得x>；令f′(x)<0，解得06. C　设切点坐标为(t，ln t)(t>0)，因为y′＝，所以切线斜率k＝，可得曲线y＝ln x在点(t，ln t)处的切线方程为y＝(x－t)＋ln t＝x＋ln t－1.因为切线过点(a，b)，所以b＝＋ln t－1.因为过点(a，b)可以作曲线y＝ln x的两条切线，令g(t)＝＋ln t－1，所以y＝b与g(t)的图象有两个不同的交点．易得g′(t)＝－＋＝(t>0)，当a≤0时，g′(t)>0，此时g(t)在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意．当a>0时，若t∈(0，a)，则g′(t)<0；若t∈(a，＋∞)，则g′(t)>0，所以g(t)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增，可得g(t)min＝g(a)＝1＋ln a－1＝ln a，所以b>ln a，即eb>a.又a>0，所以eb>a>0.
7. CD　对于A，函数的定义域为{x|x≠0}，令f(x)＝y＝ln |x|，又f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|＝f(x)，所以y＝ln |x|为偶函数，故A错误；对于B，函数的定义域为R，令g(x)＝y＝－ex＋e－x，又g(－x)＝－e－x＋ex＝－(－ex＋e－x)＝－g(x)，所以y＝－ex＋e－x为奇函数．因为g′(x)＝－ex－e－x<0，所以y＝－ex＋e－x在区间(0，1)上单调递减，故B错误；对于C，函数的定义域为R，令h(x)＝y＝x＋sin (－x)＝x－sin x，又h(－x)＝－x－sin (－x)＝－(x－sin x)＝－h(x)，所以y＝x＋sin (－x)为奇函数．因为h′(x)＝1－cos x≥0，所以y＝x＋sin (－x)在区间(0，1)上单调递增，故C正确；对于D，函数的定义域为{x|x≠0}，令F(x)＝y＝3x5－，又F(－x)＝－3x5＋＝－＝－F(x)，所以y＝3x5－为奇函数．因为F′(x)＝15x4＋>0，所以y＝3x5－在区间(0，1)上单调递增，故D正确．故选CD.
8. ABD　对于A，当a>0时，f′(x)＝a＋ex>0，所以f(x)在R上单调递增，故A正确；对于B，当a＝－3时，f(x)＝－3x＋ex，则f′(x)＝－3＋ex.令f′(x)＝0，得x＝ln 3，可得f(x)在区间(－∞，ln 3)上单调递减，在区间(ln 3，＋∞)上单调递增，可得f(x)min＝f(ln 3)＝－3ln 3＋3＝3(－ln 3＋1)<0.又f(0)＝1>0，f(2)＝－6＋e2>0，所以f(x)在区间(0，ln 3)，(ln 3，2)上各有一个零点，共有两个零点，故B正确；对于C，取a＝－2，则f(x)＝ex－2x，可得f′(x)＝ex－2.当xln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(ln 2)＝－2ln 2＋2>－，故C错误；对于D，当a＝0时，f(x)＝ex，此时f(x)－ln x＝ex－ln x.令g(x)＝ex－ln x，则g′(x)＝ex－，可得g′(x)在区间(0，＋∞)单调递增．又g′＝－2<0，g′(1)＝e－1>0，由零点存在定理可知，在区间上存在x0，使g′(x0)＝ex0－＝0，从而g(x)在区间(0，x0)单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝ex0－ln x0.由ex0＝，可得ln x0＝－x0，所以g(x)min＝ex0－ln x0＝＋x0>2(因为x0在区间上，所以等号不成立)，故D正确．故选ABD.
9. －6　由题意，得f′(x)＝3x2－1.当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．因为f＝－＝－，f(－2)＝－23＋2＝－6，所以f(x)的最小值为－6.
10. 　因为函数f(x)＝sin x－ax在区间上单调递减，所以在区间上，f′(x)＝cos x－a≤0恒成立，即a≥cos x在区间上恒成立．因为x∈，所以11. (0，1)∪　函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，求导得f′(x)＝.当x<0或x>时，f′(x)>0；当00.又f＝0，当12e＋，而函数y＝2e＋在区间上单调递减，值域为(4e，＋∞)，因此函数f(x)在区间上无最大值．当x>时，f(x)>2ex，显然f(x)在区间上无最大值，函数f(x)＝的大致图象如图，观察图象知，当04e时，直线y＝k与函数y＝f(x)的图象有两个公共点，因此方程f(x)－k＝0有两个不同的实数解时，04e，即实数k的取值范围是(0，1)∪(4e，＋∞).
12. (1) 因为在△OAD中，∠ADO＝θ，OA＝1，
所以由正弦定理，知＝＝，
解得AD＝，OD＝，且θ∈，
故S＝300AD＋100BD＝100[＋1－]＝＋50，θ∈(，).
(2) 令y＝，则y′＝.
令y′＝0，得cosθ＝，
记cos θ0＝，θ0∈，
列表如下：
θ θ0
y′ － 0 ＋
y 单调递减 极小值 单调递增
由上可知，当θ＝θ0时，函数y＝取得极小值，亦即最小值，此时sin θ0＝，
所以ymin＝＝2.
当AD＝＝＝时，此时S有最小值100＋50.
故当集合点D离出发点A的距离为km时，总路程最短，其最短总路程为(100＋50)km.
13. (1) 当a＝时，f(x)＝x－1－ln x，所以f′(x)＝－.
令f′(x)＝0，得x＝2，
当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当0因为x∈[1，e]，所以f(x)＝x－1－ln x在x＝2取得极小值，也是最小值，
所以f(x)min＝f(2)＝－ln 2.
又f(1)＝－，f(e)＝－2＝<－，所以f(x)max＝f(1)＝－，
故f(x)在区间[1，e]上的最大值为－，最小值为－ln 2.
(2) f′(x)＝a－＝(x>0)，当a>0时，令f′(x)>0，解得x>；
令f′(x)<0，解得0所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当a＝0时，f′(x)＝－<0在区间(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减；
当a<0时，f′(x)＝<0在区间(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
综上，当a>0时，f(x)在区间单调递减，在区间单调递增；当a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
(3) f′(x)＝a－＝(x>0)，
由题意可得f′(1)＝a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x－1－ln x.
又f(x)≥bx－2， x∈(0，＋∞)恒成立，即x－1－ln x≥bx－2，
所以b≤＋1－在区间(0，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝＋1(x>0)，则g′(x)＝.
当0当x>e2时，g′(x)>0, 函数g(x)单调递增，
所以当x＝e2时，g(x)min＝g(e2)＝1－，故b≤1－，
即实数b的取值范围为.