人教新课标A版选修4-5数学2.1比较法同步检测

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2.1比较法同步检测
一、选择题
1. 要证明+<+,采用的最好方法是( )
A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.比较法
答案：B
解析：【解答】，比较大小即可得到结果，.故选B.
【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据本题考查对证明方法的选取判断能力.由于所给证明题用综合法和反证法均难以入手,所以应采用比较法,由结论逐步寻求其应该满足的条件
2. 设m＞n，n∈N*，a＝(lgx)m＋(lgx)-m，b＝(lgx)n＋(lgx)-n，x＞1，则a与b的大小关系为( )
A.a≥b B.a≤b C.与x值有关，大小不定 D.以上都不正确
答案：A
解析：【解答】要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小.
a－b＝lgmx＋lgmx－lgnx－lg－nx
.
∵x＞1，∴lgx＞0.
当0＜lgx＜1时，a＞b；
当lgx＝1时，a＝b；
当lgx＞1时，a＞b.
∴应选A.
【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据所给两个式子作差根据对数性质比较大小即可.
3. 已知a＞0，b＞0，，，，则m，n，p的大小顺序是( )
A.m≥n＞p B.m＞n≥p C.n＞m＞p D.n≥m＞p
答案：D
解析：【解答】由已知，知，，得a＝b＞0时m＝n，可否定B、C.比较A、D项，不必论证与p的关系.取特值a＝4，b＝1，则，n＝2＋1＝3，∴m＞n，可排除D.
【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据所给式子结合不等式性质及特值方法解析分析判断即可.
4. 已知，Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小关系是( )
A.P＞Q B.P＜Q C.P≥Q D.P≤Q
答案：D
解析：【解答】法一：
＝(a2＋1)2－a2＝a4＋a2＋1≥1，
又∵a2＋a＋1＞0恒成立，
∴Q≥P.
法二：
，
∵a2＋a＋1＞0恒成立且a4＋a2≥0，
∴P－Q≤0，即Q≥P.
【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据所给式子的特征运用做商或作差的方法分析判断即可.
5. 下列关系中对任意a＜b＜0的实数都成立的是( )
A.a2＜b2 B.lgb2＜lga2 C. D.
答案：B
解析：【解答】∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0.
(－a)2＞(－b)2＞0.即a2＞b2＞0.∴.
又.∴lgb2＜lga2.
【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据不等式性质结合对数函数单调性解析比较大小即可.
二、填空题
6. 一个个体户有一种商品，其成本低于元.如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5％，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2％的保管费，这种商品应____出售(填“月初”或“月末”).
答案：月末
解析：【解答】设这种商品的成本费为a元.
月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5％，
月末售出的利润为L2＝120－2％a，
则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a
，
∵，∴L1＜L2，月末出售好.
【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据
7. 若－1＜a＜b＜0，则，，a2，b2中值最小的是____.
答案：
解析：【解答】依题意，知，a2＞b2，
故只需比较与b2的大小.
因为b2＞0，，
∴
【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据根据不等式的性质进行分析即可.
8. 设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P＞Q，则实数a，b满足的条件为____.
答案：ab≠1或a≠－2.
解析：【解答】P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2，
∵P＞Q，
∴P－Q＞0，
即(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
∴ab≠1或a≠－2.
【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据所给式子作差比较即可判断.
三、解答题
9. 已知a＞0，b＞0，求证：.
答案：解：∵，
又∵，∴，
当且仅当时取等号.∴.
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据因为a，b均为正数，故而不等式左边和右边都是正数，所以可以用作商比较法进行比较.
10. 已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
答案：证明：∵a＞2，∴a－1＞1.∴loga(a－1)＞0，log(a+1)a＞0，
由于
.
∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2.
∴，
即.
∵log(a+1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
解析：【分析】本题考查作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小.(1)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法.(2)在作商比较法中是不正确的，这与a、b的符号有关，比如若b＞0，由，可得a＞b，但若b＜0，则由得出的反而是a＜b，也就是说，在作商比较法中，要对a、b的符号作出判断，否则，结论将是错误的.对于此类问题，不外乎可分为含参数变量的和大小固定的两类，因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程.
11. 求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1).
答案：证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1).
(2)若a＞b＞c，则bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2＜2＋a2b.
答案：证明：bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)
＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－ab)
＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)ab(b－a)
＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)
＝(b－a)(c－a)(c－b)，
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0.
∴(b－a)(c－a)(c－b)＜0.
∴bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号.有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论.
12. 已知，求证：.
答案：证明：∵
.
∴.
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明.
13. 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面，下同)的周长相等，那么在相同时间里截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
答案：证明：设从出发地点至指定地点的路程为s甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有：，.
∴，.∴
.
其中s，m，n都是正数，且m≠n，
∴t1－t2＜0，即t1＜t2.
从而知甲比乙先到达指定地点.
解析：【分析】本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可.
14. 已知a＞2，求证.
答案：证明： ，∴.
∴，.
∴.
∵，
∴此不等式中的等号不成立.
又∵，∴.
∴.
∴.
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据a＞2结合对数函数的单调性及基本不等式性质进行分析判断即可.
15. 已知a＞b＞0，求证.
答案：证明：∵，∴，
∴左边＞0，右边＞0，
∴.
∴原不等式成立.
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据分析所给式子与0的关系，如何运用做商法比较大小即可
16. 已知数列的首项，前n项和为，且.
(1)证明数列是等比数列；
答案：证明：由已知，
∴时，，
①②两式相减，得
，
即，
从而.
当n＝1 时，，
∴.
又，故，
从而.
故总有.
又∵，∴，从而，
即是以为首项，2为公比的等比数列.
(2)令，求函数在点x＝1处的导数，并比较与的大小.
答案：证明：由(1)可知.
∵，
∴.
从而
.
则
. (*)
当n＝1时，(*)式＝0，
∴；
当n＝2 时，(*)式＝－12＜0，
∴；
当时，，
又，
∴，
即(*)式＞0，从而.
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据在比较大小时，作差法的差式与“n”的取值有关，且大小关系随“n”的变化而变化. 此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题.在数列中，大小问题可能会随“n”变化而变化.往往n＝1，2，…，前几个自然数对应的值与后面的值大小不一样，这就要求在解答这样的题时，要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头，即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论.
17. 设a＋b＞0，n为偶数，求证.
答案：证明：.
当a＞0，b＞0时，
，，
∴，
∴.
当a，b有一个为负数时，不妨设a＞0，b<0，且，
∴.又n为偶数，
∴.又，
∴.
∴.
综上所述，原不等式成立.
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据所证不等式移项分解因式对a,b进行分类讨论比较式子大小即可.
18. 已知函数f(x)＝log2(x＋m)，且f(0)、f(2)、f(6)成等差数列.
(1)求f(30)的值.
答案：解：由f(0)、f(2)、f(6)成等差数列，得
2log2(2＋m)＝log2m＋log2(6＋m)，
即(m＋2)2＝m(m＋6)(m＞0).
∴m＝2，
∴f(30)＝log2(30＋2)＝5.
(2)若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论.
答案：证明：f(a)＋f(c)＞2f(b).
证明如下：
2f(b)＝2log2(b＋2)＝log2(b＋2)2，
f(a)＋f(c)＝log2[(a＋2)(c＋2)]，
又b2＝ac，
∴(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2
＝ac＋2(a＋c)＋4－b2－4b－4＝2(a＋c)－4b.
∵(a≠c)，
∴2(a＋c)－4b＞0，
∴log2[(a＋2)(c＋2)]＞log2(b＋2)2，
即f(a)＋f(c)＞2f(b).
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是（1）根据等差数列性质求得m,然后计算即可；(2)首项求得2f(b)＝2log2(b＋2)＝log2(b＋2)2，f(a)＋f(c)＝log2[(a＋2)(c＋2)]，如何根据所给条件结合不等式性质作差比较大小即可.
19. 设a＞b＞0，求证：
答案：证明：法一：，
所以原不等式成立.
法二：∵a＞b＞0，故a2＞b2＞0.
故左边＞0，右边＞0.
∴.
∴原不等式成立.
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据根据所给不等式分别运用作差和做商的方法解析比较即可.
20. 已知a≥1，求证
答案：证明：∵
，
∴.
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据所证命题，作差运用放缩方法比较大小即可.
21. 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
答案：解：设从出发点到指定地点的路是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，
依题意有：
故甲先到达，故选A
解析：【分析】应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.解答不等式问题，一般可分为如下步骤：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论.
22. 设a＞0，b＞0，求证：.
答案：证明：∵aabb＞0，，
∴.
当a＝b时，显然有.
当a＞b＞0时，，.
当b＞a＞0时，，.
由指数函数的单调性，有.
即.
综上可知，对任意实数a、b，都有.
解析：【分析】由题根据aabb＞0，，对两式子做商，对a,b讨论，比较大小即可.
23. 已知x＞－1，求证：
答案：证明：∵x＞－1，
∴1＋x＞0，，
∵
，
∴.
解析：【分析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据1＋x＞0，，如何对所给命题两边作差比较与0的关系，判断大小即可.
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