人教新课标A版选修4-5数学2.2分析法与综合法同步检测

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2.2分析法与综合法同步检测
一、选择题
1. 设a，b＞0，，，则A，B的大小关系是( )
A.A＝B B.A＜B C.A＞B D.大小不确定
答案：C
解析：【解答】用综合法：，
所以.所以.
又，，
所以.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是对所给关系式A,B两边平方作差比较即可.
2. 下面对命题“函数是奇函数”的证明不是综合法的是
A.且x≠0有，则是奇函数
B.且x≠0有，所以，则是奇函数
C.且x≠0，∵，∴，∴，则是奇函数
D.取，，又，则是奇函数
答案：D
解析：
【解答】D项中，选取特殊值进行证明，不是综合法.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据综合法的特征分析判断即可.
3. 若O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
答案：B
解析：【解答】∵，∴.
∴AP是△ABC中∠BAC的内角平分线，∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据所给条件平行四边形法则得到AP是△ABC中∠BAC的内角平分线，证明问题.
4. 在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长p最小，这时θ，r的值分别是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：【解答】∵，∴，
又∵扇形周长为，
∴当，即时，p取最小值，此时θ＝2.
故选D.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据扇形面积公式结合均值不等式性质证明问题即可.
5. 若a，b，c是常数，则“，且”是“对任意，有”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：【解答】因为a＞0，且对任意x∈R恒成立.反之，ax2＋bx＋c＞0对任意x∈R恒成立不能推出a＞0，且b2－4ac＜0，反例为：当a＝b＝0，且c＞0时也有ax2＋bx＋c＞0对任意x∈R恒成立，所以“a＞0，且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的充分不必要条件
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据所给不等式结合充分条件与必要条件成立的关系解析分析验证即可.
6. 已知在等差数列中，，，则的值是( )
A.15 B.30 C.31 D.64
答案：A
解析：【解答】已知在等差数列{an}中，a5＋a11＝16，
又a5＋a11＝2a8，∴a8＝8.
又2a8＝a4＋a12，∴a12＝15.故选A.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据等差数列性质解析分析计算即可
7. 已知，，且，则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：【解答】由a＋b＝2，可得ab≤1，又a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据a＋b＝2，结合基本不等式性质得到ab≤1，根据a2＋b2＝4－2ab分析计算即可.
8. 函数的单调递增区间是( )
A. B.(0，3) C.(1，4) D.
答案：D
解析：【解答】，令，解得，故选D.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据所给函数求导，利用导数的性质分析求解即可得到函数的得到区间.
9. 用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的( )
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：【解答】分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②是①的充分条件，所以①是②的必要条件.故答案为B.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据分析法的本质特征解析分析推理即可.
10. 要证明(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )
A.综合法 B.类比法 C.分析法 D.归纳法
答案：C
解析：【解答】要证，
只需证，只需证，
只需证a(a＋7)＜(a＋3)(a＋4)，
只需证0＜12，
故选用分析法最合理.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据分析法证明不等式的步骤分析计算即可.
11. 下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法.
其中正确的语句有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：C
解析：【解答】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据分析法、综合法的特征解析分析即可.
12. 分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：索的因应是( )
A.a－b＞0 B.a－c＞0 C.(a－b)(a－c)＞0 D.(a－b)(a－c)<0
答案：C
解析：【解答】要证，
只需证，只需证，
只需证，只需证，只需证，故索的因应为C.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据分析法由结论解析逆推即可
二、填空题
13. 正方体的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点形成一条曲线，这条曲线的长度为__________.
答案：
解析：【解答】这条曲线在面ADD1A1上的一段是以A为圆心，为半径，为圆心角的一段圆弧，在面A1B1C1D1上的一段是以A1为圆心，为半径，为圆心角的一段圆弧，由正方体的对称性知，这条曲线的长度为
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据所给条件分析得到曲线在面ADD1A1上的一段是以A为圆心，为半径，为圆心角的一段圆弧，然后计算即可.
14. 已知，，则的值为__________
答案：
解析：【解答】∵sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，
∴
以上两式两边平方相加，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，
∴.
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是联立两边平方结合三角函数公式分析计算即可.
15. 设p，q均为实数，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的__________条件.(选填：充要、必要不充分、充分不必要、既不充分也不必要)
答案：充要
解析：【解答】∵q＜0，∴Δ＝p2－4q＞0.
∴“方程x2＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”成立.
∵“方程x2＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”成立，∴q＜0
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据所给条件q＜0，可得Δ＝p2－4q＞0，然后分析判断即可.
16. 补足下面用分析法证明基本不等式的步骤：
要证明，
只需证明a2＋b2≥2ab，
只需证____，
只需证____.
由于____显然成立，因此原不等式成立.
答案：a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0
解析：【解答】要证明，
只需证明a2＋b2≥2ab，
只需证a2＋b2－2ab≥0，
只需证(a－b)2≥0，
由于(a－b)2≥0显然成立，因此原不等式成立
【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据分析法的怎么步骤分析计算即可.
三、解答题
17. 已知，求证：.
答案：解：∵x2+y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2zx，
∴(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(z2＋x2≥2xy＋2yz＋2zx.
∴3(x2＋y2＋z2)≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx，
即3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1.
∴.
解析：【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是
18. 已知的三个内角成等差数列，且分别为角的对边，求证：
答案：解：方法一(分析法)：
要证，
即证，
只需证，
化简，得，
即，
所以只需证.
因为的三个内角A，B，C成等差数列，
所以.
所以.
所以.所以原式成立.
方法二(综合法)：
因为的三个内角A，B，C成等差数列，
所以.
由余弦定理，有，
所以.
两边加，得，
两边同时除以，得，
所以，
即，
所以.
解析：【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因.就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞冗长.也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.
19. 设，且，求证：.(提示：)
答案：解：方法一(分析法)：
要证成立，
即需证成立.
又因，
故只需证成立，
即需证成立，
即需证成立.
而依题设，则显然成立.
由此命题得证.
方法二(综合法)：
.
注意到，，由上式即得
.
所以.
解析：【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据分析法、综合法结合所学基本不等式进行分析证明即可
20. 设为不全相等的正数，且，求证：.
答案：解：∵a，b，c为不全相等的正数，且，
∴.
又，
，，且a，b，c不全相等，∴上述三个不等式中的“=”不能同时成立.∴，即.
故.
解析：【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据a，b，c为不全相等的正数，且，得到，然后运用基本不等式性质分析计算证明即可.
21. 设数列的前项和为，且，其中为常数，且.
①求证：是等比数列；
②若数列的公比为，数列满足，，求证：为等差数列.
答案：解：①由，得，
两式相减，得，
∴.
又m为常数，且，∴是等比数列.
②∵，
∴.
∴.
由①可得，.
∴ 当，且时，.∴.
∴.
∴数列是首项为1，公差为的等差数列.
解析：【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是需要利用等比数列、等差数列的定义使用综合法加以证明，解题的关键是恰当地处理递推关系.
综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下数列的相关知识：(1)数列的概念，特别是等差数列、等比数列的定义；(2)等差数列与等比数列的基本性质以及数列前项和的性质；(3)数列的通项公式与数列的前项和之间的关系 (4)递推公式与通项公式的关系.
22 已知是正实数，且.
求证：①；
②.
答案：证明：①∵，
∴
.
∴.
②∵，
三式相加，得，
∴.
解析：【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解答本题的关键是从均值不等式入手，利用同向不等式相加而得证
综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
①.
②，其变形有，，.
③若，则，特别是.
④.
由基本不等式，易得，而此结论是一个很重要的不等式，许多不等式的证明都可以用到该结论.
⑤这三个式子之间的关系，由给出，三式中知道两式，第三式可以由该等式用另两式表示出来.
23. 设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a//b.
答案：证明：(分析法)：要证明a//b，
而a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)；
∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
即要证sin αsin β＝16cos αcos β，
即要证，
即要证＝16，
而＝16已知，所以结论正确.
(综合法)：∵tan αtan β＝16，
∴，
即sin αsin β＝16cos αcos β，
∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
即a＝(4cos α，sin α)与b＝(sin β，4cos β)共线，
∴a//b.
解析：【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是(1)分析法证明数学命题时，是从结论出发，寻找使结论成立的充分条件，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”，“即证′′等词语.(2)综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思想，用综合法书写解题过程.
24. 已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等，若成等差数列，比较与的大小，并用分析法证明你的结论.
答案：解：要证<.，只需证<，∵a、b、c>0，只需证b2又∵成等差数列，∴，即b2≤ac，
又a、b、c任意两边均不相等，∴b2解析：【分析】本题考查了分析法证明不等式.分析法证明问题思路比较明确，即由结论出发，通过逐步寻求使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件为止
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