人教新课标A版选修4-5数学2.3反证法与放缩法同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修4-5数学2.3反证法与放缩法同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 14:12:49 | ||
图片预览
文档简介
登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.3反证法与放缩法同步检测
一、选择题
1. 应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论.
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④
答案：C
解析：【解答】反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正解推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的原理分析即可.
2. 应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论.
A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③
答案：C
解析：【解答】由反证法的定义可知应选C
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的原理分析即可.
3. 用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A. a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数
C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
答案：D
解析：【解答】本题主要考查反证法.解答本题时要注意根据反证法的常规表示，进行反设.由题可得，本题可反设为：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数.故选D.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的原理进行反设即可.
4. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①A＋B＋C＝90°＋90°＋C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )
A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①②
答案：D
解析：【解答】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法证明的基本步骤分析即可.
5. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度
C.假设三内角至多有一个大于60度 D假设三内角至多有两个大于60度
答案：B
解析：【解答】本题考查反证法的应用.反证法的第一步是否定结论，而原题结论为三角形的内角中至少有一个不大于60度，即是三角形中有至少有一个角小于等于60度，其否定为三角形中没有一个角小于等于60度，即假设三个内角都大于60度.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是
6. 反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾,这个矛盾可以是( )
①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④
答案：D
解析：【解答】本题主要考查反证法.矛盾可以与已知矛盾,可以与假设矛盾,可以与定义、定理、公理、法则矛盾,也可以与事实矛盾,故选D.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的原理是根据其矛盾原理分析判断即可.
7. (1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2. (2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )
A.(1)与(2)的假设都错误 B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确；(2)的假设错误 D.(1)的假设错误；(2)的假设正确
答案：D
解析：【解答】(1)的假设应为p＋q＞2；(2)的假设正确
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法证明的步骤分析即可.
8. 用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角
C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角
答案：C
解析：【解答】“最多有一个”的反设是“至少有两个”.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据三角形内角性质解析反设即可.
9. 对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①；
②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立.
其中判断正确的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：C
解析：【解答】对于①，假设，这时，与已知矛盾，故，故①正确.
对于②，假设与及都不成立时，有，与已知矛盾，故与及中至少有一个成立，故②正确.
对于③，显然不正确.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是由题根据所给条件结合反证法证明的步骤分析证明即可.
二、填空题
10. 用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误.
②所以一个三角形不能有两个直角.
③假设中有两个直角，不妨设，.
上述步骤的正确顺序为_________.(填序号)
答案：③①②
解析：【解答】根据反证法知，上述步骤的正确顺序应为③①②
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的步骤分析判断即可.
11. 用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设____________________.设全体质数为p1，p2，…，pn，令p＝p1p2…pn＋1.
显然，p不含因数p1，p2，…，pn故p要么是质数，要么含有____________________的质因数.这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.
答案：质数只有有限多个|除p1，p2，…，pn之外
解析：【解答】由反证法的步骤可得.应假设质数只有有限多个，故p要么是质数，要么含有除p1，p2，…，pn之外的质因数
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的证明原理进行具体分析判断步骤即可.
12. 下列命题适合用反证法证明的是 .
①已知函数f(x)=ax+(a>1),证明:方程f(x)=0没有负实数根;
②若x,y∈R,x>0,y>0,且x+y>2,求证:和中至少有一个小于2;
③关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的;
④同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交.
答案：①②③④
解析：【解答】①是“否定”型命题;②是“至少”型命题;③是“唯一”型命题,且题中条件较少;④中条件较少不足以直接证明,因此四个命题都适合用反证法证明.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法证明命题的特征解析结构特征分析判断即可.
三、解答题
13. 用反证法证明：已知a，b均为有理数，且和都是无理数，求证：是无理数.
答案：证明：证法一：假设为有理数，令，
则，两边平方，得，
∴.
∵a，b，t均为有理数，∴也是有理数.
即为有理数，这与已知为无理数矛盾.
∴一定是无理数.
证法二：假设为有理数，
则.
由，得.
∴.
∵a，b为有理数，且为有理数，
∴为有理数，即为有理数.
∴为有理数，即为有理数.
从而也应为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴一定是无理数.
解析：【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是按反证法的步骤，即先否定结论，把假设和已知结合起来，推出矛盾，即假设不成立；结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很一般推出矛盾，从而达到证题的目的.
14. 已知实数满足不等式，用反证法证明：关于的方程无实根.
答案：证明：假设方程有实根，则该方程根的判别式，解得或.而由已知条件实数p满足不等式，解得，二者无公共部分，所以假设不成立，故关于x的方程无实根.
解析： 【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立，即反证法必须严格按照“反设→归谬→存真”的步骤进行.
15. 用反证法证明：已知x，y∈R，且x＋y＞2，则x，y中至少有一个大于1.
答案：证明：用反证法证明如下：
假设x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，则x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2矛盾，所以x，y中至少有一个大于1，即原命题得证.
解析：【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是合理解析反设设x，y均不大于1，则x≤1且y≤1，得到x＋y≤2，矛盾，从而证明问题.
16.①用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°；
②已知，试用分析法证明：
答案：①证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，
即均小于，则三内角和小于，
这与三角形中三个内角和等于矛盾，
故假设不成立，原命题成立；
②证明：要证上式成立，需证
需证
需证
需证
需证
只需证
因为显然成立，所以原命题成立.
解析：【分析】本题考查反证法与分析法的应用,解题时需要注意以下关键要点:(1)反证法证明问题的关键是：提出结论的反面，并以此为条件推导导出矛盾；(2)分析法要求由结论成立反推条件(由果索因).
17. 用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax-4a＋3＝0，x2＋(a-1)x＋a2=0，x2＋2ax-2a＝0，当或a≥1时，至少有一个方程有实数根.
答案：证明：假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得
则解得
与或矛盾，故原命题成立.
解析： 【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得到矛盾.
18. 已知函数.用反证法证明方程没有负数根.
答案：证明：证法一：假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则，且，
∴，即.
与假设x0＜0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根.
证法二：假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0.
①若－1＜x0＜0，则，，
∴f(x0＜－1，与f(x0)＝0矛盾；
②若x0＜－1，则，，
∴f(x0)＞0，与f(x0)＝0矛盾.
故方程f(x)＝0没有负数根.
解析：【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，如何得到与已知的矛盾即可.
19. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是A1D1的中点,点N是CD的中点,用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线.
答案：证明：假设直线BM与A1N共面.
则A1D1 平面A1BND1,且平面A1BND1∩平面ABCD=BN,
由正方体特征知A1D1∥平面ABCD,故A1D1∥BN,
又A1D1∥BC,所以BN∥BC.
这与BN∩BC=B矛盾,故假设不成立.
所以直线BM与直线A1N是两条异面直线.
解析： 【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是灵活运用线面平行与线线平行的转化,推导出一个显而易见的矛盾,这是反证法最基本的要求.
20. 实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证a、b、c、d中至少有一个是负数.
答案：证明：假设a、b、c、d都是非负数，
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bd)≥ac＋bd，
这与已知中ac＋bd＞1矛盾，
∴原假设错误，
∴a、b、c、d中至少有一个是负数.
解析： 【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键 “至多”、“至少”型命题的证明方法.解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得出矛盾. (1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明.在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾.(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾.
21. 已知：(n∈N＋)，求证：.
答案：证明：∵，
∴，
∴
∵，
∴
.
综上得：.
解析： 【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据，解析放缩证明即可.
22. 若n是大于1的自然数，求证：.
答案：证明：∵，，
∴
.
解析：【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是(1)放缩法证明不等式主要是根据不等式的传递性进行交换，即欲证a＞b，可换成证a＞c且c＞b，欲证a＜b，可换成证a＜c且c＜b. (2)放缩法原理简单，但技巧性较强且有时还会有“危险”，因为放大或缩小过头，就会得出错误的结论，而达不到预期的目的，因此，在使用放缩法时要注意放缩的“度”.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 第 10 页 （共 10 页） 版权所有@21世纪教育网
2.3反证法与放缩法同步检测
一、选择题
1. 应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论.
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④
答案：C
解析：【解答】反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正解推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的原理分析即可.
2. 应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论.
A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③
答案：C
解析：【解答】由反证法的定义可知应选C
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的原理分析即可.
3. 用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A. a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数
C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
答案：D
解析：【解答】本题主要考查反证法.解答本题时要注意根据反证法的常规表示，进行反设.由题可得，本题可反设为：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数.故选D.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的原理进行反设即可.
4. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①A＋B＋C＝90°＋90°＋C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )
A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①②
答案：D
解析：【解答】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法证明的基本步骤分析即可.
5. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度
C.假设三内角至多有一个大于60度 D假设三内角至多有两个大于60度
答案：B
解析：【解答】本题考查反证法的应用.反证法的第一步是否定结论，而原题结论为三角形的内角中至少有一个不大于60度，即是三角形中有至少有一个角小于等于60度，其否定为三角形中没有一个角小于等于60度，即假设三个内角都大于60度.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是
6. 反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾,这个矛盾可以是( )
①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④
答案：D
解析：【解答】本题主要考查反证法.矛盾可以与已知矛盾,可以与假设矛盾,可以与定义、定理、公理、法则矛盾,也可以与事实矛盾,故选D.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的原理是根据其矛盾原理分析判断即可.
7. (1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2. (2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )
A.(1)与(2)的假设都错误 B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确；(2)的假设错误 D.(1)的假设错误；(2)的假设正确
答案：D
解析：【解答】(1)的假设应为p＋q＞2；(2)的假设正确
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法证明的步骤分析即可.
8. 用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角
C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角
答案：C
解析：【解答】“最多有一个”的反设是“至少有两个”.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据三角形内角性质解析反设即可.
9. 对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①；
②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立.
其中判断正确的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：C
解析：【解答】对于①，假设，这时，与已知矛盾，故，故①正确.
对于②，假设与及都不成立时，有，与已知矛盾，故与及中至少有一个成立，故②正确.
对于③，显然不正确.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是由题根据所给条件结合反证法证明的步骤分析证明即可.
二、填空题
10. 用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误.
②所以一个三角形不能有两个直角.
③假设中有两个直角，不妨设，.
上述步骤的正确顺序为_________.(填序号)
答案：③①②
解析：【解答】根据反证法知，上述步骤的正确顺序应为③①②
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的步骤分析判断即可.
11. 用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设____________________.设全体质数为p1，p2，…，pn，令p＝p1p2…pn＋1.
显然，p不含因数p1，p2，…，pn故p要么是质数，要么含有____________________的质因数.这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.
答案：质数只有有限多个|除p1，p2，…，pn之外
解析：【解答】由反证法的步骤可得.应假设质数只有有限多个，故p要么是质数，要么含有除p1，p2，…，pn之外的质因数
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法的证明原理进行具体分析判断步骤即可.
12. 下列命题适合用反证法证明的是 .
①已知函数f(x)=ax+(a>1),证明:方程f(x)=0没有负实数根;
②若x,y∈R,x>0,y>0,且x+y>2,求证:和中至少有一个小于2;
③关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的;
④同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交.
答案：①②③④
解析：【解答】①是“否定”型命题;②是“至少”型命题;③是“唯一”型命题,且题中条件较少;④中条件较少不足以直接证明,因此四个命题都适合用反证法证明.
【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据反证法证明命题的特征解析结构特征分析判断即可.
三、解答题
13. 用反证法证明：已知a，b均为有理数，且和都是无理数，求证：是无理数.
答案：证明：证法一：假设为有理数，令，
则，两边平方，得，
∴.
∵a，b，t均为有理数，∴也是有理数.
即为有理数，这与已知为无理数矛盾.
∴一定是无理数.
证法二：假设为有理数，
则.
由，得.
∴.
∵a，b为有理数，且为有理数，
∴为有理数，即为有理数.
∴为有理数，即为有理数.
从而也应为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴一定是无理数.
解析：【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是按反证法的步骤，即先否定结论，把假设和已知结合起来，推出矛盾，即假设不成立；结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很一般推出矛盾，从而达到证题的目的.
14. 已知实数满足不等式，用反证法证明：关于的方程无实根.
答案：证明：假设方程有实根，则该方程根的判别式，解得或.而由已知条件实数p满足不等式，解得，二者无公共部分，所以假设不成立，故关于x的方程无实根.
解析： 【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立，即反证法必须严格按照“反设→归谬→存真”的步骤进行.
15. 用反证法证明：已知x，y∈R，且x＋y＞2，则x，y中至少有一个大于1.
答案：证明：用反证法证明如下：
假设x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，则x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2矛盾，所以x，y中至少有一个大于1，即原命题得证.
解析：【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是合理解析反设设x，y均不大于1，则x≤1且y≤1，得到x＋y≤2，矛盾，从而证明问题.
16.①用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°；
②已知，试用分析法证明：
答案：①证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，
即均小于，则三内角和小于，
这与三角形中三个内角和等于矛盾，
故假设不成立，原命题成立；
②证明：要证上式成立，需证
需证
需证
需证
需证
只需证
因为显然成立，所以原命题成立.
解析：【分析】本题考查反证法与分析法的应用,解题时需要注意以下关键要点:(1)反证法证明问题的关键是：提出结论的反面，并以此为条件推导导出矛盾；(2)分析法要求由结论成立反推条件(由果索因).
17. 用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax-4a＋3＝0，x2＋(a-1)x＋a2=0，x2＋2ax-2a＝0，当或a≥1时，至少有一个方程有实数根.
答案：证明：假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得
则解得
与或矛盾，故原命题成立.
解析： 【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得到矛盾.
18. 已知函数.用反证法证明方程没有负数根.
答案：证明：证法一：假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则，且，
∴，即.
与假设x0＜0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根.
证法二：假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0.
①若－1＜x0＜0，则，，
∴f(x0＜－1，与f(x0)＝0矛盾；
②若x0＜－1，则，，
∴f(x0)＞0，与f(x0)＝0矛盾.
故方程f(x)＝0没有负数根.
解析：【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，如何得到与已知的矛盾即可.
19. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是A1D1的中点,点N是CD的中点,用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线.
答案：证明：假设直线BM与A1N共面.
则A1D1 平面A1BND1,且平面A1BND1∩平面ABCD=BN,
由正方体特征知A1D1∥平面ABCD,故A1D1∥BN,
又A1D1∥BC,所以BN∥BC.
这与BN∩BC=B矛盾,故假设不成立.
所以直线BM与直线A1N是两条异面直线.
解析： 【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是灵活运用线面平行与线线平行的转化,推导出一个显而易见的矛盾,这是反证法最基本的要求.
20. 实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证a、b、c、d中至少有一个是负数.
答案：证明：假设a、b、c、d都是非负数，
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bd)≥ac＋bd，
这与已知中ac＋bd＞1矛盾，
∴原假设错误，
∴a、b、c、d中至少有一个是负数.
解析： 【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键 “至多”、“至少”型命题的证明方法.解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得出矛盾. (1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明.在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾.(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾.
21. 已知：(n∈N＋)，求证：.
答案：证明：∵，
∴，
∴
∵，
∴
.
综上得：.
解析： 【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是根据，解析放缩证明即可.
22. 若n是大于1的自然数，求证：.
答案：证明：∵，，
∴
.
解析：【分析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是(1)放缩法证明不等式主要是根据不等式的传递性进行交换，即欲证a＞b，可换成证a＞c且c＞b，欲证a＜b，可换成证a＜c且c＜b. (2)放缩法原理简单，但技巧性较强且有时还会有“危险”，因为放大或缩小过头，就会得出错误的结论，而达不到预期的目的，因此，在使用放缩法时要注意放缩的“度”.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 第 10 页 （共 10 页） 版权所有@21世纪教育网