人教新课标A版选修4-5数学3.2一般形式的柯西不等式同步检测

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3.2一般形式的柯西不等式同步检测
一、选择题
1. 设a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最大值是( )
A.1 B. C.3 D. 9
答案：B
解析：【解答】由柯西不等式得，
∴.
当且仅当时等号成立.
∴的最大值为.
【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.
2. n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( )
A.1 B. n C. D.
答案：C
解析：【解答】设n个正数为，
由柯西不等式，得
.
当且仅当时取等号.
【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键设n个正数为，然后构造条件根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.
3. 若实数x＋y＋z＝1，则http)://www%. 未来脑教学云平台%的最小值为( )
A.1 B.6 C.11 D.
答案：
解析：【解答】∵
.
∴，当且仅当，，时等号成立.
∴的最小值为.
【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.
4. 若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为( )
A.3 B.1 C. D.
答案：D
解析：【解答】∵，∴.
，当且仅当时等号成立.
【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.
5. 已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则的最小值为( )
A.1 B.3 C.6 D.9
答案：D
解析：【解答】∵.
∴
，
当且仅当时等号成立.
【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.
6. 已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，，则a的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：【解答】由柯西不等式，得，即，
当且仅当时等号成立.
又，，
故，
解得，即a的最大值是2.
【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件a＋b＋c＋d＝3结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.
二、填空题
7. 函数的最小值为____
答案：25
解析：【解答】
.
【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件化简变化利用一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.
8. 设x，y，z∈R，2x＋2y＋z＋8＝0，则的最小值为__________.
答案：9
解析：【解答】.
考虑以下两组向量：
，，
由柯西不等式，得；
即.
所以，
当且仅当，，时等号成立，此时取得最小值9.
【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据，如何利用一般形式的柯西不等式构造计算即可
三、解答题
9. 已知为实数,且,
（1）求证:;
答案：证明:因为a>0,b>0,
所以 ①
同理可证 ②
由①, ②结合不等式的性质得
,
（2）求的最小值.
答案：解：≥,
所以
当且仅当时取等号,解得
所以当时取最小值.
当时取最小值.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是(1)利用综合法证明不等式即可; (2)利用柯西不等式,证明不等式即可.
10. 设2x＋3y＋5z＝29，求函数的最大值.
答案：解：根据柯西不等式
120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]
≥，
故.
当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，
即，，，时等号成立，
此时.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件.
11. 设a，b，c为正数，且不全相等.
求证：.
答案：证明：本题考查三维形式的柯西不等式的应用.解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决.
构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得
，①
即，
于是.
由柯西不等式知，①中有等号成立.
因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，
于是.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是柯西不等式的结构特征可以记为，其中ai，bi∈R＋(i＝1，2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键.
12. 设a，b，c为正数，求证：..
答案：证明：∵
＝
，
即，
又a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c＞0，
∴.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件构造一般形式的柯西不等式计算即可
13. ①设三个正实数a，b，c，满足，求证：a，b，c一定是某一个三角形的三条边的长；
②设n个正实数满足不等式(其中)，求证：中任何三个数都是某一个三角形的三条边的长.
答案：证明：①由题意，得，所以，由于，所以上面不等式左边至少有三项为正数，而四项之积为正，故这四项都是正数，从而推出，，，即是某一个三角形的三条边的长.
②设法把中任何三个的关系转化为①的条件即可.
由已知及柯西不等式，得
.
所以，.
那么由①可知，是某个三角形三条边的长，再由对称性可知中任何三个数都可以作为某一个三角形三条边的长.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是①根据所给条件分解因式结合三角形三边关系判断即可；
②设法把中任何三个的关系转化为①条件即可.
由已知及柯西不等式得到，根据对称性可知中任何三个数都可以作为某一个三角形三条边的长.
14. 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求的最大值.
答案：解：由柯西不等式，得
＝
≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)
＝3[4(a＋b＋c＋3]＝21.
当且仅当时，取等号.
故的最大值为.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等式构造计算即可.
15. 设，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：f(2x)≥2f(x).
答案：证明：∵，
∴要证f(2x)≥2f(x)，
只要证
，
即证
(*)
也即证n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，
∵0≤a≤1，∴a＞a2，根据柯西不等式得
n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
，
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，
即(*)式显然成立，故原不等式成立.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是将f(2x)＞2f(x)具体化，然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法.
16. 设都是正实数，且.
求证：.
答案：证明：证法一：根据柯西不等式，得
不等式左边不等式右边.
∴原不等式成立.
证法二：∵，则，
∴.
∴.
n个式子相加，有
.
∴原不等式成立.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是构造一般形式的柯西不等式计算证明即可.
17. 已知a1，a2，…，an都是正实数，且a1＋a2＋…＋an＝1.求证：.
答案：证明：根据柯西不等式，得
左功＝＝
=
＝＝右边.
∴原不等式成立.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件利用a1＋a2＋…＋an＝1构造
如何运用样本形式的柯西不等式计算即可.
18. 已知二次三项式的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数，当时，必有.
答案：证明：
.故.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用所给条件解析变换如何根据一般形式的柯西不等式计算证明即可.
19. 若，求证.
答案：证明：左边
右边，
故原不等式成立.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件直接构造所给一般形式的柯西不等式证明即可
20. 在△ABC中，设其各边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，求证：.
答案：证明：∵，
∴
.
∴原不等式成立.
解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合直接构造所给一般形式的柯西不等式证明即可
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