人教新课标A版选修4-5数学4.1数学归纳法同步检测

登陆21世纪教育 助您教考全无忧
4.1数学归纳法同步检测
一、选择题
1. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成（ ）
A.假设n=2k+1（k∈N*）正确，再推n=2k+3正确
B.假设n=2k﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确
C.假设n=k（k∈N*）正确，再推n=k+1正确
D.假设n=k（k≥1）正确，再推n=k+2正确
答案：B
解析：解答：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确；故选B．
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
2. 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n﹣3）条时，第一步验证n等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.0
答案：C
解析：解答：多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步验证n等于3．故选C．
分析：本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是第一步应验证n的最小值时，命题是否成立．
3. 用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案：A
解析：解答：假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.
分析：本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
4. 如果命题对成立，那么它对也成立，又若对成立，则下列结论正确的是（ ）
A．对所有自然数成立
B．对所有正偶数成立
C．对所有正奇数成立
D．对所有大于1的自然数成立
答案：B
解析：解答：因为命题对成立，那么它对也成立，所以若对成立，则对所有正偶数成立，选B
分析：本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
5. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A. 当时，该命题不成立 B. 当时，该命题成立
C. 当时，该命题成立 D. 当时，该命题不成立
答案：D
解析：解答：因为原命题与其逆否命题的真假性一致，所以可得若 EMBED Equation.DSMT4 时该命题不成立，则当时该命题也不成立，由此可得选D
分析：本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
6. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D.
答案：B
解析：解答：当n=k到n=k+1时，左端式子为(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k)(k+1+k+1),所以需要增加的式子为,应选B.
分析：本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据数学归纳法分析即可
7. 用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假
设应该写成（ ）
A.假设当时，能被整除
B.假设当时，能被整除
C.假设当时，能被整除
D.假设当时，能被整除
答案：D
解析：解答：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确；故选D．
分析：本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
8. 凸边形有条对角线，则凸边形的对角线的条数为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：解答：凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C。
考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤，多边形
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法分析计算即可
9. 已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：解答：注意式子中分母从n+1,依次增加1，直到3n-1.所以由等差数列知识知，故选C
分析：本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据归纳法分析即可
10. 用数学归纳法证明，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加 （ ）
A．k2+1
B．（k+1）2
C．
D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2
答案：D
解析：解答：当n=k时，等式左端=1+2++k2，
当n=k+1时，等式左端=1+2++k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2，增加了2k+1项．故选D．
分析：本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据归纳法分析即可
11. 用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（ ）
A．1 B． C． D．
答案：D
解析：解答：根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法分析即可
12. 用数学归纳法证明时,假设n=k时命题成立，则当n=k+1时，左端增加的项数是 （ ）
A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项
答案：D
解析：解答：运用数学归纳法证明
因此选择D
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法结合所给式子分析即可
13. 用数学归纳法证明1+2+3+…+（3n+1）=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ ）
A.（3k+2）
B.（3k+4）
C.（3k+2）+（3k+3）
D.（3k+2）+（3k+3）+（3k+4）
答案：D
解析：解答：当n=k时，等式左端=1+2+…+（3k+1），
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）+（3k+4），
即当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）+（3k+4）．
故选：D．
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．
14. 用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案：A
解析：解答：假设当n＝k时，原式能被9整除，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据所学归纳法几何所给式子分析即可
15. 已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）
A.时等式成立 B. 时等式成立
C.时等式成立 D. 时等式成立
答案：B
解析：解答：因为此题是正偶数成立的命题，若已假设为偶数时命题为真，下一个正偶数时，故选B
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
二、填空题
16. 用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ．
答案：
解析：解答：观察式子的左端，从到左端需增加的代数式为，故答案为
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析计算即可
17. 用数学归纳法证明“能被6整除”的过程中，当时，式子应变形为 ．
答案：
解析：解答：应注意从
变换出归纳假设内容，即，变形得
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析计算即可，难度不大
18. 用数学归纳法证明“能被3整除” 的第二步中,当时,为了使用归纳假设,应将变形为
答案：
解析：解答：假设n=k时命题成立．即：5k-2k被3整除．
当n=k+1时，5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5（5k-2k）+5×2k-2×2k=5（5k-2k）+3×2k
故答案为：5（5k-2k）+3×2k
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是在使用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的过程中，由n=k时成立，即“5k-2k能被3整除”时，为了使用已知结论对5k+1-2k+1进行论证，在分解的过程中一定要分析出含5k-2k的情况
19. 用数学归纳法证明： ，在验证n＝1时，左边计算所得的项为____________
答案：
解析：解答：令 ，则等式左边
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析计算即可
20. 已知，则中共有 项．
答案：
解析：解答：分母由n，依次增加1，直到。由等差数列知识得中共有项
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤结合所给事件问题分析计算即可
21. 在数列 中 ，，前n项和 ，先算出数列的前4项的值，根据这些值归纳猜想数列的通项公式___________
答案：
解析：解答：由题意，可知 ，∴ ；，∴ ，
同理，可得 ，故可猜想 .
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是第一步先验证n取第一个值时命题成立。第二部假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题成立即可。注意式子的变化，必须要专用到假设
三、解答题
22. 用数学归纳法证明：．
答案：证明：①当时，左边，
右边左边，等式成立．
②假设时等式成立，即．
则当时，左边
，
时，等式成立．
由①和②知对任意，等式成立．
解析：
分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的步骤分析证明即可
23. 用数学归纳法证明：
答案：证明：①当时，左边，右边左边，∴等式成立．
②设当时，等式成立，
即． 则当时，
左边
∴ 时，等式成立．
由①、②可知，原等式对于任意成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式，下面证明当n=k+1时等式左边，根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．
24. 求证：棱柱中过侧棱的对角面的个数是．
答案：证明：①当时，四棱柱有个对角面：，命题成立．
②假设（，）时，命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有个．
现在考虑时的情形．
第条棱与其余和它不相邻的条棱分别增加了1个对角共个，而面变成了对角面．因此对角面的个数变为：
，
即成立．
由①和②可知，对任何，，命题成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据所给几何问题分析计算即可
25. 已知，数列的前项的和记为.
（1） 求的值，猜想的表达式；
答案：解：∵
∴ ， ，
∴ 猜想 ．
（2） 请用数学归纳法证明你的猜想.
答案：证明：① 当时，，猜想成立
② 假设当时，猜想成立，即：．
当时，
．
∴ 时猜想成立．
∴ 由 ①、②得 得证．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是(1)因为，所以可分别求出a1,a2,a3,进而可求出S1,S2,S3.(2)根据（1）可猜想出,然后利用数学归纳法证明时要分两个步骤：一先验证：当n=1时，等式成立；二先假设n=k时，等式成立；再证明当n=k+1时，等式也成立.在证明n=k+1时，一定要用上n=k时的归纳假设，否则证明无效.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 第 9 页 （共 9 页） 版权所有@21世纪教育网