人教新课标A版选修4-5数学4.2用数学归纳法证明不等式同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修4-5数学4.2用数学归纳法证明不等式同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 14:41:37 | ||
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文档简介
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4.2用数学归纳法证明不等式同步检测
一、选择题
1. 用数学归纳法证明不等式： （，），在证明这一步时，需要证明的不等式是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：解答：当时，那不等式左边的式子中的都换成，得到．
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据
2. 用数学归纳法证明不等式，第二步由k到k+1时不等式左边需增加（ ）
A． B.
C. D.
答案：D
解析：解答：由题意，n=k时，最后一项为，n=k+1时，最后一项为∴由n=k变到n=k+1时，左边增加了2k-（2k-1+1）+1=2k-1项，即为故选D．
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据根据数学归纳法证明的步骤分析计算即可
3. 用数学归纳法证明时，由k到k+1，不等式左端的变化是（ ）
A.增加项 B.增加和两项
C.增加和两项且减少一项 D.以上结论均错
答案：C
解析：解答：n=k时，左边=++......+，
n=k时，左边=++……+
=(++......+)-++
故选C
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据观察不等式“左边的各项，他们都是以 EMBED Equation.DSMT4 开始，以 项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．
4. 用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：解答：因为用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，等式左边有，因此推证时，左边应，因此应该增加的项数是，选C
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的方法分析计算即可
5. 用数学归纳法证明 （）时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：解答：数学归纳法中，一般情况下第一步验证 EMBED Equation.DSMT4 时的情况。因为本题中要求，所以第一步验证的情况，而，所以此时验证不等式，故选B.
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可
6. 用数学归纳法证明不等式成立，其的初始值至少应为 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案：B
解析：解答：因为，当时，左边=
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式分析计算即可
7. 利用数学归纳法证明不等式A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项
答案：D
解析：解答：时左面为，时左面为，所以增加的项数为
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可解决问题
8. 用数学归纳法证明不等式 (n≥2,n∈N＋)时,第一步应验证不等式（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解答：n0＝2时,首项为1,末项为
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析即可
9. 在用数学归纳法证明不等式“当 时 ”时，第2步由n=k(k≥2)不等式成立，推证n=k+1时左边的表达式为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：解答：本题考查了数学归纳法的步骤的第二步②注意从k到k+1的变化. 显然不是第k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k收尾故n=k+1时最后一项应为 所以在3k后面还有3k+1、3k+2.最后才为3k+3即3(k+1)应选择C
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据观察不等式结合数学归纳法证明不等式的步骤分析即可
10. 用数学归纳法证明“ (n∈N＋)”的过程中的第二步n＝k＋1时(n＝1已验，n＝k已假设成立)，这样证明： ，
∴当n＝k＋1时，命题成立，此种证法( )
A.是正确的 B.归纳假设写法不正确
C.从k到k＋1推理不严密 D.从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设
答案：D
解析：
解答：∵在上面的证明中，当n＝k＋1时证明过程没有错误，但没有用到当n＝k时的结论，这样就失去假设当n＝k时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法.∴A、B、C都不对，选D.
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析即可
二、填空题
11. 利用数学归纳法证明不等式：时，由不等式成立推证时，左边应添加的代数式是
答案：
解析：解答：利用数学归纳法证明不等式：时，由不等式成立推证时，左边应添加的代数式是
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据
12.用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为 ．
答案：8
解析：解答：左边的和为，当n=8时，和为2-2-7＞，故答案为8
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据注意观察式子的结构特点，先求和，再确定使不等式成立的n值
13. 用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是_______
答案：
解析：解答：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可
三、解答题
14. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）= ．
答案：证明：①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=
左边=右边．
②假设n=k时等式成立，即1+2+3+…+（k+3）=
那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+（k+3）+（k+4）=+（k+4）
=等式成立．
综上1+2+3+…+（n+3）= 成立．
解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据第一步验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立
15、用数学归纳法证明不等式
答案：证明：①当n=1时，左边=1，右边=2，∴n=1不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时成立，即
那么当n=k+1时，左边=
∵4k2+4k＜4k2+4k+1，可得，
即：．这就是说n=k+1时不等式也成立．
综上①②可知不等式对所有的n∈N*
解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据第一步验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立
16. 若，观察下列不等式：
请你猜测满足的不等式，并用数学归纳法加以证明.
答案：解答：满足的不等式为 ,
证明如下：①当n=2时，猜想成立；
②假设当n=k时，猜想成立，即，
那么n=k+1时
则当n=k+1时猜想也成立，根据①②可得猜想对任意的n(n)都成立.
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式结合所给不等式分析计算证明即可
17. 观察下列各不等式：
…
（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数有关的一般性结论；
答案：解：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为
且.
（2）用数学归纳法证明你得到的结论．
答案：以下用数学归纳法证明这个不等式．
证明：①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.
②假设当n=k时，不等式成立，即
那么，当n=k+1时，有
.
所以当n=k+1时，不等式也成立.
根据①和②，可知不等式对任何且都成立.
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系与右侧分子与分母的特征写出一个正整数，有关的一般性结论；（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.
18. 设，其中为正整数．
（1）求，，的值；
答案：解：分别把n=1、2、3代入
求得
（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．
答案：猜想：
证明：①当时，成立
②假设当时猜想正确，即
∴
由于
∴，即成立
由①②可知，对成立
解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3）由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.
19. 设个正数满足（且）．
（1）当时，证明：；
答案：证明：因为（且）均为正实数，
左—右=
=0，
所以，原不等式成立
（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．
答案：归纳的不等式为：
（且）．
记，
当（）时，由（1）知，不等式成立；
假设当（且）时，不等式成立，即
．
则当时，
=
=
=，
因为，，，
所以，
所以当，不等式成立．
综上所述，不等式（且）成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）由于与积为，所以利用基本不等式进行证明：，，，三式相加得，即（2）本题结构对称，易于归纳出，用数学归纳法证明时的难点在于明确时式子与式子关系：其差为，问题转化为证明，这可利用作差，因式分解得证.
20. 已知．经计算得．
（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；
答案：解：由题意知，…1分
．
由此得到一般性结论：
（或者猜测也行）
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
答案：证明：①当时，， 所以结论成立
②假设时，结论成立，即
那么，时，
所以当时，结论也成立．
综上所述，上述结论对都成立，所以猜想成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）由归纳推理进行猜想；（2）利用数学归纳法的步骤进行证明
21. 已知数列的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有 成立，且．
（1）求，的值；
答案：解：因为 ，
当时，由，即有，
解得．因为为正整数，故．
当时，由，
解得，所以．
（2）猜想数列的通项公式，并给出证明．
答案：解：由，，，猜想：
下面用数学归纳法证明．
①当，，时，由（1）知均成立．
②假设成立，则，
由条件得，
所以，
所以
因为，，，
又，所以．
即时，也成立．
由①，②知，对任意，．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）先列出所满足条件，化简得，再根据数列的各项均为正整数这一限制条件求出，同理可得（2）猜想：，用数学归纳法证明的关键由k成立推出k+1成立，其推导思路同（1）：由条件得，所以，所以因为，，，所以
22. 证明：
答案：证明： ①当，不等式显然成立．
②假设时不等式成立，
即
当时，
左边=
不等式成立．
由①②可知，对一切都有
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据
23. 由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
答案：解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
①当时，，猜想成立；
②假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可
24. 设曲线在点处的切线斜率为,且.对一切实数,不等式恒成立(≠0).
(1) 求的值；
答案：解：由，所以
(2) 求函数的表达式；
答案：解：，由，得
又恒成立，则由恒成立得
，
同理由恒成立也可得:
综上，，所以
(3) 求证:＞．
答案：证明：方法一：
要证原不等式，即证
因为
所以=
所以
方法二：由
当时，左边=1，右边=，左边>右边，所以，不等式成立
假设当时，不等式成立，即
当时，
左边=
由
所以
即当时，不等式也成立。综上得
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤结合所给条件分析计算得到，然后运用数学归纳法证明所求结论即可
25. 已知，考查
①；
②；
③．
归纳出对都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
答案：解答：归纳：，
证明：①当时，显然成立；
②假设当时，不等式成立，
即，
则时，
由①②，不等式对任意正整数成立.
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化
26. 设满足数列是公差为，首项的等差数列； 数列是公比为首项的等比数列，求证：
答案：解答：首先， ，
，
用归纳法证明 ，
由于，即i=1成立，
假设 成立，
则
。
所以，。
归纳证明，
首先 ，假设 成立，
则
。
故命题成立。
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤结合所给条件及等差数列，等比数列有关性质分析计算证明即可，有一定难度
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4.2用数学归纳法证明不等式同步检测
一、选择题
1. 用数学归纳法证明不等式： （，），在证明这一步时，需要证明的不等式是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：解答：当时，那不等式左边的式子中的都换成，得到．
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据
2. 用数学归纳法证明不等式，第二步由k到k+1时不等式左边需增加（ ）
A． B.
C. D.
答案：D
解析：解答：由题意，n=k时，最后一项为，n=k+1时，最后一项为∴由n=k变到n=k+1时，左边增加了2k-（2k-1+1）+1=2k-1项，即为故选D．
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据根据数学归纳法证明的步骤分析计算即可
3. 用数学归纳法证明时，由k到k+1，不等式左端的变化是（ ）
A.增加项 B.增加和两项
C.增加和两项且减少一项 D.以上结论均错
答案：C
解析：解答：n=k时，左边=++......+，
n=k时，左边=++……+
=(++......+)-++
故选C
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据观察不等式“左边的各项，他们都是以 EMBED Equation.DSMT4 开始，以 项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．
4. 用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：解答：因为用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，等式左边有，因此推证时，左边应，因此应该增加的项数是，选C
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的方法分析计算即可
5. 用数学归纳法证明 （）时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：解答：数学归纳法中，一般情况下第一步验证 EMBED Equation.DSMT4 时的情况。因为本题中要求，所以第一步验证的情况，而，所以此时验证不等式，故选B.
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可
6. 用数学归纳法证明不等式成立，其的初始值至少应为 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案：B
解析：解答：因为，当时，左边=
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式分析计算即可
7. 利用数学归纳法证明不等式
答案：D
解析：解答：时左面为，时左面为，所以增加的项数为
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可解决问题
8. 用数学归纳法证明不等式 (n≥2,n∈N＋)时,第一步应验证不等式（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解答：n0＝2时,首项为1,末项为
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析即可
9. 在用数学归纳法证明不等式“当 时 ”时，第2步由n=k(k≥2)不等式成立，推证n=k+1时左边的表达式为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：解答：本题考查了数学归纳法的步骤的第二步②注意从k到k+1的变化. 显然不是第k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k收尾故n=k+1时最后一项应为 所以在3k后面还有3k+1、3k+2.最后才为3k+3即3(k+1)应选择C
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据观察不等式结合数学归纳法证明不等式的步骤分析即可
10. 用数学归纳法证明“ (n∈N＋)”的过程中的第二步n＝k＋1时(n＝1已验，n＝k已假设成立)，这样证明： ，
∴当n＝k＋1时，命题成立，此种证法( )
A.是正确的 B.归纳假设写法不正确
C.从k到k＋1推理不严密 D.从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设
答案：D
解析：
解答：∵在上面的证明中，当n＝k＋1时证明过程没有错误，但没有用到当n＝k时的结论，这样就失去假设当n＝k时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法.∴A、B、C都不对，选D.
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析即可
二、填空题
11. 利用数学归纳法证明不等式：时，由不等式成立推证时，左边应添加的代数式是
答案：
解析：解答：利用数学归纳法证明不等式：时，由不等式成立推证时，左边应添加的代数式是
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据
12.用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为 ．
答案：8
解析：解答：左边的和为，当n=8时，和为2-2-7＞，故答案为8
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据注意观察式子的结构特点，先求和，再确定使不等式成立的n值
13. 用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是_______
答案：
解析：解答：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可
三、解答题
14. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）= ．
答案：证明：①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=
左边=右边．
②假设n=k时等式成立，即1+2+3+…+（k+3）=
那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+（k+3）+（k+4）=+（k+4）
=等式成立．
综上1+2+3+…+（n+3）= 成立．
解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据第一步验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立
15、用数学归纳法证明不等式
答案：证明：①当n=1时，左边=1，右边=2，∴n=1不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时成立，即
那么当n=k+1时，左边=
∵4k2+4k＜4k2+4k+1，可得，
即：．这就是说n=k+1时不等式也成立．
综上①②可知不等式对所有的n∈N*
解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据第一步验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立
16. 若，观察下列不等式：
请你猜测满足的不等式，并用数学归纳法加以证明.
答案：解答：满足的不等式为 ,
证明如下：①当n=2时，猜想成立；
②假设当n=k时，猜想成立，即，
那么n=k+1时
则当n=k+1时猜想也成立，根据①②可得猜想对任意的n(n)都成立.
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式结合所给不等式分析计算证明即可
17. 观察下列各不等式：
…
（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数有关的一般性结论；
答案：解：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为
且.
（2）用数学归纳法证明你得到的结论．
答案：以下用数学归纳法证明这个不等式．
证明：①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.
②假设当n=k时，不等式成立，即
那么，当n=k+1时，有
.
所以当n=k+1时，不等式也成立.
根据①和②，可知不等式对任何且都成立.
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系与右侧分子与分母的特征写出一个正整数，有关的一般性结论；（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.
18. 设，其中为正整数．
（1）求，，的值；
答案：解：分别把n=1、2、3代入
求得
（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．
答案：猜想：
证明：①当时，成立
②假设当时猜想正确，即
∴
由于
∴，即成立
由①②可知，对成立
解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3）由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.
19. 设个正数满足（且）．
（1）当时，证明：；
答案：证明：因为（且）均为正实数，
左—右=
=0，
所以，原不等式成立
（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．
答案：归纳的不等式为：
（且）．
记，
当（）时，由（1）知，不等式成立；
假设当（且）时，不等式成立，即
．
则当时，
=
=
=，
因为，，，
所以，
所以当，不等式成立．
综上所述，不等式（且）成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）由于与积为，所以利用基本不等式进行证明：，，，三式相加得，即（2）本题结构对称，易于归纳出，用数学归纳法证明时的难点在于明确时式子与式子关系：其差为，问题转化为证明，这可利用作差，因式分解得证.
20. 已知．经计算得．
（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；
答案：解：由题意知，…1分
．
由此得到一般性结论：
（或者猜测也行）
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
答案：证明：①当时，， 所以结论成立
②假设时，结论成立，即
那么，时，
所以当时，结论也成立．
综上所述，上述结论对都成立，所以猜想成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）由归纳推理进行猜想；（2）利用数学归纳法的步骤进行证明
21. 已知数列的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有 成立，且．
（1）求，的值；
答案：解：因为 ，
当时，由，即有，
解得．因为为正整数，故．
当时，由，
解得，所以．
（2）猜想数列的通项公式，并给出证明．
答案：解：由，，，猜想：
下面用数学归纳法证明．
①当，，时，由（1）知均成立．
②假设成立，则，
由条件得，
所以，
所以
因为，，，
又，所以．
即时，也成立．
由①，②知，对任意，．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）先列出所满足条件，化简得，再根据数列的各项均为正整数这一限制条件求出，同理可得（2）猜想：，用数学归纳法证明的关键由k成立推出k+1成立，其推导思路同（1）：由条件得，所以，所以因为，，，所以
22. 证明：
答案：证明： ①当，不等式显然成立．
②假设时不等式成立，
即
当时，
左边=
不等式成立．
由①②可知，对一切都有
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据
23. 由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
答案：解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
①当时，，猜想成立；
②假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可
24. 设曲线在点处的切线斜率为,且.对一切实数,不等式恒成立(≠0).
(1) 求的值；
答案：解：由，所以
(2) 求函数的表达式；
答案：解：，由，得
又恒成立，则由恒成立得
，
同理由恒成立也可得:
综上，，所以
(3) 求证:＞．
答案：证明：方法一：
要证原不等式，即证
因为
所以=
所以
方法二：由
当时，左边=1，右边=，左边>右边，所以，不等式成立
假设当时，不等式成立，即
当时，
左边=
由
所以
即当时，不等式也成立。综上得
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤结合所给条件分析计算得到，然后运用数学归纳法证明所求结论即可
25. 已知，考查
①；
②；
③．
归纳出对都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
答案：解答：归纳：，
证明：①当时，显然成立；
②假设当时，不等式成立，
即，
则时，
由①②，不等式对任意正整数成立.
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化
26. 设满足数列是公差为，首项的等差数列； 数列是公比为首项的等比数列，求证：
答案：解答：首先， ，
，
用归纳法证明 ，
由于，即i=1成立，
假设 成立，
则
。
所以，。
归纳证明，
首先 ，假设 成立，
则
。
故命题成立。
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤结合所给条件及等差数列，等比数列有关性质分析计算证明即可，有一定难度
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