第2课时 平面向量基本定理及坐标表示
[考试要求] 1．了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝____________________，a－b＝____________________，λa＝______________，|a|＝__．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝____________________，||＝__．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b _______________．
[常用结论]
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为．
3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底． ( )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标． ( )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是＝． ( )
(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P31例6改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
2．(人教A版必修第二册P30例5改编)已知 ABCD的三个顶点为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为( )
A．(1，4) B．(1，5)
C．(2，4) D．(2，5)
3．(多选)(人教A版必修第二册P60复习参考题6T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
＝＝(－2，1)
＝＝(2，3)
＝＝(6，－8)
＝＝
4．(人教A版必修第二册P33练习T5改编)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为________．
考点一 平面向量基本定理的应用
[典例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
(2)如图，在△ABO中，已知＝a，＝b，＝a，＝b，AN与BM交于点P，则＝________(用向量a，b表示)．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
[跟进训练]
1．(1)(2024·上海浦东新区三模)给定平面上的一组不共线向量，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是( )
A．2e1＋e2和e1－e2
B．e1＋3e2和e2＋3e1
C．3e1－e2和2e2－6e1
D．e1和e1＋e2
(2)(2024·江西重点中学协作体联考)如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P．若＝x＋y，则x＋y＝________．
考点二 平面向量的坐标运算
[典例2] (1)在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为( )
A． B．
C． D．
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
(3)在特殊的平面图形中恰当建立直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，有时更简单．
[跟进训练]
2．(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
(2)如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．
考点三 向量共线的坐标表示
利用向量共线求参数
[典例3] (1)(2024·贵州贵阳二模)已知向量a＝，b＝，若∥，则实数x＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－4
(2)(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若连接AB，BC，AC能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B．
C．1 D．－1
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用向量共线求坐标
[典例4] 已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1．
(2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
[跟进训练]
3．(1)在平面直角坐标系中，向量＝(1，4)，＝(2，3)，＝(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
(3)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
第2课时 平面向量基本定理及坐标表示
梳理·必备知识
1．(1)不共线 有且只有 (2)不共线
2．(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (2)(x2－x1，y2－y1)
3．x1y2－x2y1＝0
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)× (4)√
二、1．D [∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
∴，
∴＝(－1，2)，故选D．]
2．B [设D(x，y)，则由，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
即D(1，5)．]
3．AD [对于＝＝(－2，1)，
∴1×1－2×(－2)≠0，∴两向量不共线，
∴两向量可作为基底，∴A正确；
对于＝＝(2，3)，
∴易知两向量共线，
∴两向量不能作为基底，∴B错误；
对于＝＝(6，－8)，
∴－3×(－8)－4×6＝0，∴两向量共线，
∴两向量不能作为基底，∴C错误；
对于＝＝，
∴2×－(－3)×≠0，∴两向量不共线，
∴两向量可作为基底，∴D正确．
故选AD．]
4．(3，1)或(1，－1) [∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)，∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故P点坐标为(3，1)或(1，－1)．]
考点一
典例1 (1)B (2)a＋b [(1)因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即＝2()，所以＝3－2＝－2m＋3n．故选B．
(2)设＝ma＋nb，又＝a，＝b，
所以＝3m＋n＝m＋2n．
又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，
所以解得
所以＝a＋b．]
跟进训练
1．(1)C (2) [(1)对于A，不存在实数λ，使得2e1＋e2＝λ，
故2e1＋e2和e1－e2不共线，可作基底；
对于B，不存在实数λ，使得e1＋3e2＝λ，
故e1＋3e2和e2＋3e1不共线，可作基底；
对于C，对 3e1－e2和2e2－6e1，因为e1，e2是不共线的两个非零向量，且存在实数－2，使得2e2－6e1＝－2，
故3e1－e2和2e2－6e1共线，不可作基底；
对于D，不存在实数λ，使得e1＝λ，故e1和e1＋e2不共线，可作基底．故选C．
(2)因为在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，所以＝＝2，
所以＝＝)．
又＝x＋y．
所以x＝y＝，x＋y＝．]
考点二
典例2 (1)C (2) [(1)因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－)＝．
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
∴＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，
∵＝λ＋μ，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)＝(－2λ＋μ，λ＋2μ)，
∴
解得故λ＋μ＝．]
跟进训练
2．(1)4 (2)6 [(1)如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，可得a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴解得
∴＝4．
(2)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B，C．
由，
得解得所以λ＋μ＝6．]
考点三
考向1 典例3 (1)D (2)ABD [(1)3a－b＝，a＋2b＝，
由∥，则有1×－5×＝0，解得x＝－4．故选D．
(2)由题知＝＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1·(m＋1)－2m＝0，
即m＝1．所以若连接AB，BC，AC能构成三角形，
则m≠1．故选ABD．]
考向2 典例4 (3，3) [法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝＝(4λ－4，4λ)．
又＝＝(－2，6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y．
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3)．]
跟进训练
3．(1)C (2) (3)(2，4) [(1)因为A，B，C三点共线，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1，即(x，1)＝λ(1，4)＋μ(2，3)＝(λ＋2μ，4λ＋3μ)，则
解得故选C．
(2)因为a＝(2，5)，b＝(λ，4)，a∥b，
所以8－5λ＝0，解得λ＝．
(3)∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
∴＝2，
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，
又＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即∴
∴点D的坐标为(2，4)．]
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第五章
平面向量、复数
第2课时
平面向量基本定理及坐标表示
[考试要求] 1．了解平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．
链接教材·夯基固本
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
不共线
有且只有
不共线
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝____________________，a－b＝____________________，λa＝______________，|a|＝_________.
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝____________________，||＝_____________________．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b _____________．
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
[常用结论]
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为．
3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底． ( )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标． ( )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是＝． ( )
(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2． ( )
×
×
×
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P31例6改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
D [∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
∴a＝b＝，
∴a－b＝＝(－1，2)，故选D．]
2．(人教A版必修第二册P30例5改编)已知 ABCD的三个顶点为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为( )
A．(1，4) B．(1，5)
C．(2，4) D．(2，5)
√
B [设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得即D(1，5)．]
3．(多选)(人教A版必修第二册P60复习参考题6T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
＝＝(－2，1)
＝＝(2，3)
＝＝(6，－8)
＝＝
√
√
AD [对于＝＝(－2，1)，
∴1×1－2×(－2)≠0，∴两向量不共线，
∴两向量可作为基底，∴A正确；
对于＝＝(2，3)，
∴易知两向量共线，
∴两向量不能作为基底，∴B错误；
对于＝＝(6，－8)，
∴－3×(－8)－4×6＝0，∴两向量共线，
∴两向量不能作为基底，∴C错误；
对于＝＝，
∴2×－(－3)×≠0，∴两向量不共线，
∴两向量可作为基底，∴D正确．
故选AD．]
4．(人教A版必修第二册P33练习T5改编)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为__________________．
(3，1)或(1，－1) [∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)，∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故P点坐标为(3，1)或(1，－1)．]
(3，1)或(1，－1)
考点一 平面向量基本定理的应用
[典例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
典例精研·核心考点
√
(2)如图，在△ABO中，已知＝a，＝b，＝a，＝b，AN与BM交于点P，则＝________(用向量a，b表示)．
a＋b
(1)B (2)a＋b [(1)因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即＝2()，所以＝3－2＝－2m＋3n．故选B．
(2)设＝ma＋nb，又＝a，＝b，
所以＝3m＋n＝m＋2n．
又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，
所以解得
所以＝a＋b．]
名师点评 平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
[跟进训练]
1．(1)(2024·上海浦东新区三模)给定平面上的一组不共线向量，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是( )
A．2e1＋e2和e1－e2
B．e1＋3e2和e2＋3e1
C．3e1－e2和2e2－6e1
D．e1和e1＋e2
√
(2)(2024·江西重点中学协作体联考)如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P．若＝x＋y，则x＋y＝________．
(1)C (2) [(1)对于A，不存在实数λ，使得2e1＋e2＝λ，
故2e1＋e2和e1－e2不共线，可作基底；
对于B，不存在实数λ，使得e1＋3e2＝λ，
故e1＋3e2和e2＋3e1不共线，可作基底；
对于C，对 3e1－e2和2e2－6e1，因为e1，e2是不共线的两个非零向量，且存在实数－2，使得2e2－6e1＝－2，
故3e1－e2和2e2－6e1共线，不可作基底；
对于D，不存在实数λ，使得e1＝λ，故e1和e1＋e2不共线，可作基底．故选C．
(2)因为在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，所以＝＝2，
所以＝＝)．
又＝x＋y．
所以x＝y＝，x＋y＝．]
【教用·备选题】
1．(多选)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ＝μ＋3μ，则( )
A．P为线段OC的中点时，μ＝
B．P为线段OC的中点时，μ＝
C．无论μ取何值，恒有λ＝
D．存在μ∈R，λ＝
√
√
AC [＝＝＋λ＝＋λ()＝(1－λ)＋λ．因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为OC的中点时，则＝＝μ×3μ，则
解得μ＝，故A正确，B错误．故选AC．]
2．如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：
①＋2；②；③；④，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
√
B [由向量共线的充要条件可得当点P在线段AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得＝u＋v成立，且u＋v＝1．
可以证明点P位于阴影区域内的充要条件是满足＝u＋v，且u＞0，v＞0，u＋v＞1．
∵1＋2＞1，∴点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B．]
考点二 平面向量的坐标运算
[典例2] (1)在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为( )
A． B．
C． D．
√
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
(1)C (2) [(1)因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝
(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－)＝．
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
∴＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，
∵＝λ＋μ，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)＝(－2λ＋μ，λ＋2μ)，
∴
解得故λ＋μ＝．]
【教用·备选题】
1．在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝BC＝CD，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A． B．
C． D．2
√
B [设AB＝，如图，以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(0，－1)，C(1，0)，D(1，)，＝(2，0)，＝(1，－1)，＝(2，)，因为＝λ＋μ，所以(2，0)＝λ(1，－1)＋μ(2，)，
所以解得λ＝2－2，
μ＝2－，所以λ＋μ＝．故选B．]
2．已知向量＝(3，4)，将向量绕原点O逆时针方向旋转45°到的位置，则点P′(x′，y′)的坐标为( )
A．(－4，3) B．(－3，4)
C． D．
√
C [如图，设与x轴正半轴的夹角为α，
由题可得||＝＝5，sin α＝，cos α＝，则sin (α＋45°)＝sin αcos 45°＋cos αsin 45°＝＝，cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝
＝－，则x′＝||·cos (α＋45°)＝
5×＝－，y′＝||·sin (α＋45°)
＝5×＝，所以P′的坐标为．故选C．]
名师点评 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
(3)在特殊的平面图形中恰当建立直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，有时更简单．
[跟进训练]
2．(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
4
(2)如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．
6
(1)4 (2)6 [(1)如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，可得a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴解得
∴＝4．
(2)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B，C(3，)．
由＝λ＋μ，
得解得所以λ＋μ＝6．]
考点三 向量共线的坐标表示
考向1 利用向量共线求参数
[典例3] (1)(2024·贵州贵阳二模)已知向量a＝，b＝，若∥，则实数x＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－4
(2)(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若连接AB，BC，AC能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B．
C．1 D．－1
√
√
√
√
(1)D (2)ABD [(1)3a－b＝，a＋2b＝，
由∥，则有1×－5×＝0，解得x＝－4．故选D．
(2)由题知＝＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1·(m＋1)－2m＝0，
即m＝1．所以若连接AB，BC，AC能构成三角形，
则m≠1．故选ABD．]
考向2 利用向量共线求坐标
[典例4] 已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
(3，3)
(3，3) [法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝＝(4λ－4，4λ)．
又＝＝(－2，6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y．
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3)．]
名师点评 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1．
(2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
[跟进训练]
3．(1)在平面直角坐标系中，向量＝(1，4)，＝(2，3)，＝(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
(3)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
√
(2，4)
(1)C (2) (3)(2，4) [(1)因为A，B，C三点共线，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1，即(x，1)＝λ(1，4)＋μ(2，3)＝(λ＋2μ，4λ＋3μ)，则
解得故选C．
(2)因为a＝(2，5)，b＝(λ，4)，a∥b，
所以8－5λ＝0，解得λ＝．
(3)∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
∴＝2，
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，
又＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即∴
∴点D的坐标为(2，4)．]
题号
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一、单项选择题
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
13
课后作业(三十) 平面向量基本定理及坐标表示
√
B [对于A，C，D，都有e1∥e2，所以只有B成立．]
2．已知点A(1，0)，B(2，2)，向量＝(2，－1)，则向量＝
( )
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(3，1) D．(－3，－1)
题号
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√
C [＝(1，2)，＝＝(1，2)＋(2，－1)＝(3，1)．故选C．]
3．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝
( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－5，－10) D．(－4，－8)
题号
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√
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D [因为a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以m＝－4，b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(－4，－8)，故选D．]
4．(2024·河北秦皇岛二模)已知向量a＝，b＝，则“m＝－”是“a与b共线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
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√
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A [向量a＝，b＝，
若a与b共线，则m＝0，解得m＝－或m＝1，所以“m＝－”是“a与b共线”的充分不必要条件．故选A．]
题号
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题号
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5．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝
( )
A． B．
C．3 D．2
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√
题号
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A [如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(1，0)，C(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝．]
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题号
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6．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A． B．
C． D．
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√
题号
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B [因为p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以c2－a2－b2＋ab＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，
所以2ab cos C＝ab，所以cos C＝，
因为0＜C＜π，所以C＝．
故选B．]
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题号
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二、多项选择题
7．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形不可能为( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
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√
√
√
题号
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BCD [根据题意，A，B，C，D四点坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，
则＝＝，即＝，故∥且 ≠，
又A，B，C，D四点不共线，故此四边形为梯形，即不可能为菱形、矩形、正方形，故选BCD．]
题号
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8．(2024·安徽亳州期末)已知向量a，b，c满足c＝λa＋b(0<λ<1)，且c＝，则a，b的坐标可以为( )
A．a＝，b＝ B．a＝，b＝
C．a＝，b＝ D．a＝，b＝
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√
√
题号
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BC [设＝a，＝b，＝c，O为坐标原点，
则由c＝λa＋b(0<λ<1)可知A，B，C三点共线，且C在A，B两点之间，
选项A：＝＝与不平行，选项A错误；
选项B：＝＝与平行，且C在A，B两点之间，选项B正确；
选项C：＝＝与平行，且C在A，B两点之间，选项C正确；
选项D：＝＝与平行，但C不在A，B两点之间，选项D错误．故选BC．]
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题号
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三、填空题
9．已知O为坐标原点，＝－2，若P1，P2，则与共线的单位向量为____________________．
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或
题号
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或 [由＝－2得＋2＝0，即＝0，＝＝＝2＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，＝＝5，与同向的单位向量为＝，与反向的单位向量为．]
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题号
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10．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点P为矩形ABCD内(包括边界)一点，则||的取值范围是________．
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[0，2]
题号
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[0，2] [法一(坐标法)：将矩形放在平面直角坐标系中，设P(x，y)，
则A(0，0)，B(2，0)，＝(－x，－y)＋
(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，||＝
＝2，
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题号
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转化为矩形内的点到定点(1，0)的距离的2倍，
由图可知点D(0，1)和点C(2，1)到定点(1，0)的距离相等且同时为最大值：＝．
故||的取值范围是[0，2]．
法二(向量法)：取AB的中点H，易知＝2，
∴||＝2||，结合题意可知0≤||≤．
故||的取值范围为[0，2]．]
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题号
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11．(人教A版必修第二册P53习题6.4T11改编)已知对任意平面向量＝(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝
(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点A(1，2)，点B(1－，2＋2)，点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为( )
A．(1，3) B．(－3，1)
C．(2，5) D．(－2，3)
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√
题号
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C [依题意有点A(1，2)，点B(1－，2＋2)，所以＝(－，2)，点B绕点A沿顺时针方向旋转可以看作点B绕点A沿逆时针方向旋转，
即向量绕点A逆时针旋转得到向量＝，
即＝(1，3)，设P(x，y)，则解得x＝2，y＝5，即P(2，5)．
故选C．]
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题号
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12．如图，在△ABC中，D为BC的中点，＝2，AD与BE交于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A．－a＋b B．a－b
C．－a－b D．a＋b
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√
题号
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11
12
A [设＝x＝x＝xb－xa，＝y，则＝
－＝－＋y＝－＝b＋a，
而a与b不共线，∴解得
∴＝－a＋b．故选A．]
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题号
1
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9
10
11
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13．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
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√
题号
1
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D [法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＝＋λ＝＋λ()＝(1－λ)＋λ．又＝x＋(1－x)，且不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是，故选D．
法二：∵＝x－x，∴＝x()，即＝x＝－3x，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，∴0＜－3x＜1，∴－＜x＜0．故选D．]
13
谢 谢！课后作业(三十) 平面向量基本定理及坐标表示
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共67分
一、单项选择题
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
2．已知点A(1，0)，B(2，2)，向量＝(2，－1)，则向量＝( )
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(3，1) D．(－3，－1)
3．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－5，－10) D．(－4，－8)
4．(2024·河北秦皇岛二模)已知向量a＝，b＝，则“m＝－”是“a与b共线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝( )
A． B．
C．3 D．2
6．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形不可能为( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
8．(2024·安徽亳州期末)已知向量a，b，c满足c＝λa＋b(0<λ<1)，且c＝，则a，b的坐标可以为( )
A．a＝，b＝ B．a＝，b＝
C．a＝，b＝ D．a＝，b＝
三、填空题
9．已知O为坐标原点，＝－2，若P1，P2，则与共线的单位向量为________．
10．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点P为矩形ABCD内(包括边界)一点，则||的取值范围是________．
11．(人教A版必修第二册P53习题6.4T11改编)已知对任意平面向量＝(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点A(1，2)，点B(1－，2＋2)，点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为( )
A．(1，3) B．(－3，1)
C．(2，5) D．(－2，3)
12．如图，在△ABC中，D为BC的中点，＝2，AD与BE交于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A．－a＋b B．a－b
C．－a－b D．a＋b
13．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
课后作业(三十)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．B [对于A，C，D，都有e1∥e2，所以只有B成立．]
2．C [＝(1，2)，＝＝(1，2)＋(2，－1)＝(3，1)．故选C．]
3．D [因为a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以m＝－4，b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(－4，－8)，故选D．]
4．A [向量a＝，b＝，
若a与b共线，则m＝0，解得m＝－或m＝1，所以“m＝－”是“a与b共线”的充分不必要条件．故选A．]
5．A [如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(1，0)，C(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝．]
6．B [因为p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以c2－a2－b2＋ab＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，
所以2ab cos C＝ab，所以cos C＝，
因为0＜C＜π，所以C＝．
故选B．]
7．BCD [根据题意，A，B，C，D四点坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，
则＝＝，即＝，故∥且 ≠，
又A，B，C，D四点不共线，故此四边形为梯形，即不可能为菱形、矩形、正方形，故选BCD．]
8．BC [设＝a，＝b，＝c，O为坐标原点，
则由c＝λa＋b(0<λ<1)可知A，B，C三点共线，且C在A，B两点之间，
选项A：＝＝与不平行，选项A错误；
选项B：＝＝与平行，且C在A，B两点之间，选项B正确；
选项C：＝＝与平行，且C在A，B两点之间，选项C正确；
选项D：＝＝与平行，但C不在A，B两点之间，选项D错误．故选BC．]
9．或 [由＝－2得＋2＝0，即＝0，＝＝＝2＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，＝＝5，与同向的单位向量为＝，与反向的单位向量为．]
10．[0，2] [法一(坐标法)：将矩形放在平面直角坐标系中，设P(x，y)，
则A(0，0)，B(2，0)，＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，||＝＝2，
转化为矩形内的点到定点(1，0)的距离的2倍，
由图可知点D(0，1)和点C(2，1)到定点(1，0)的距离相等且同时为最大值：＝．
故||的取值范围是[0，2]．
法二(向量法)：取AB的中点H，易知＝2，
∴||＝2||，结合题意可知0≤||≤．
故||的取值范围为[0，2]．]
[B组 在综合中考查关键能力]
11．C [依题意有点A(1，2)，点B(1－，2＋2)，所以＝(－，2)，点B绕点A沿顺时针方向旋转可以看作点B绕点A沿逆时针方向旋转，
即向量绕点A逆时针旋转得到向量＝，
即＝(1，3)，设P(x，y)，则解得x＝2，y＝5，即P(2，5)．
故选C．]
12．A [设＝x＝x＝xb－xa，＝y，则＝－＝－＋y＝－＝b＋a，
而a与b不共线，∴解得
∴＝－a＋b．故选A．]
13．D [法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＝＋λ＝＋λ()＝(1－λ)＋λ．又＝x＋(1－x)，且不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是，故选D．
法二：∵＝x－x，∴＝x()，即＝x＝－3x，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，∴0＜－3x＜1，∴－＜x＜0．故选D．]
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