(共26张PPT)
第五章
平面向量、复数
阶段提能(六) 平面向量、复数
题号
1
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2
4
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9
10
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12
一、单项选择题
1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝( )
A．0 B．1
C． D．2
13
√
14
C [若z＝－1－i，则|z|＝＝．故选C．]
2．(2025·广东广州模拟)若＝2－i，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
题号
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√
A [由＝2－i，得1＋＝2－i，所以＝1－i，
所以z＝＝＝1＋i．
故选A．]
3．(2024·山西朔州一模)已知＝2，b＝，且a⊥b，则＝( )
A．2 B．2
C．4 D．2
题号
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√
C [因为b＝，a⊥b，则b2＝3，a·b＝0，
则＝a2－4a·b＋4b2＝4－0＋4×3＝16，故＝4．故选C．]
4．(2025·北京海淀模拟)已知向量a＝(1，1)，b＝(x，－2)，则“x<2”是“a与b的夹角为钝角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
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√
B [由已知得a·b＝x－2，
当a与b共线时，可得1×＝x，解得x＝－2．
当a与b的夹角为钝角时，可得a·b<0且a与b不共线，
则x－2<0且x≠－2，解得x<2且x≠－2．
因此，当x<2时，若x＝－2，则a＝(1，1)，b＝(－2，－2)，
此时b＝－2a，a与b的夹角为π，不是钝角，则充分性不成立；
当a与b的夹角为钝角时，有x<2且x≠－2，可知x<2成立，则必要性成立．
综上，“x<2”是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B．]
题号
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5．(2025·江苏南通模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点M是BC的中点，则＝( )
A． B．
C． D．
题号
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√
D [依题意可得＝＝＝＝．
故选D．]
题号
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6．(2025·河北衡水模拟)在△ABC中，D是BC的中点，直线l分别与AB，AD，AC交于点M，E，N，且＝＝2＝λ，则λ＝( )
A． B．
C． D．
题号
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√
B [由＝2，得＝＝＝＝．
因为M，E，N共线，所以＝1，解得λ＝．故选B．]
题号
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7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ()，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．外心
C．内心 D．垂心
题号
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√
A [由题意＝λ()，当λ∈(0，＋∞)时，如图，
可知点P在BC边上的中线所在直线上，
所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心．故选A．]
题号
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8．(2025·江苏南京模拟)已知向量a，b为单位向量，a＋2b＋c＝0且＝，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
题号
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√
C [设a与b的夹角为θ，
因为a＋2b＋c＝0，
所以a＋2b＝－c，
所以＝，
所以a2＋4b2＋4a·b＝c2，
即＋4＋4cos θ＝，
又＝＝1，＝，
所以1＋4＋4cos θ＝7，所以cos θ＝，又θ∈，所以θ＝，即a与b的夹角为．
故选C．]
题号
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二、多项选择题
9．(2025·广东潮汕模拟)设＝z－1，其中为z的共轭复数，则( )
A．z的实部为2
B．的虚部是－2
C．＝
D．在复平面内对应的点在第二象限
题号
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√
√
AC [设z＝a＋bi，因为＝z－1，所以a－bi＝－1，
所以a－bi＝i，所以，
所以a＝2，b＝1，所以z＝2＋i，＝2－i，
对于A，z的实部为2，所以A正确；
对于B，的虚部是－1，所以B错误；
对于C，＝＝，所以C正确；
对于D，＝＝＝＝1－i，所以在复平面内对应的点在第四象限，所以D错误．
故选AC．]
题号
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10．已知向量a＝，b＝，则下列结论正确的是( )
A．|a|＝|b|
B．a与b的夹角为π
C．⊥a
D．b在a上的投影向量是
题号
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√
√
√
BCD [对于A，＝＝＝＝2，故A错误．
对于B，cos 〈a，b〉＝＝＝－，因为〈a，b〉∈，所以〈a，b〉＝，故B正确；
对于C，·a＝a2＋a·b＝2－2＝0，则⊥a，故C正确；
对于D，b在a上的投影向量是cos 〈a，b〉·＝2×＝－a＝，故D正确．故选BCD．]
题号
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11．设e1，e2均为单位向量，且|e1－2e2|≤，a＝e1－e2，b＝3e1＋e2，则( )
A．〈e1，e2〉＞
B．|a|的最大值为2
C．a·b的最大值为1
D．|a－b|≥2
题号
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√
√
CD [由e1，e2均为单位向量，|e1－2e2|≤，得5－4e1·e2≤3，即e1·e2≥，则cos 〈e1，e2〉＝，又〈e1，e2〉∈[0，π]，所以0≤〈e1，e2〉≤，故A错误；|a|2＝－2e1·e2≤1＋1－2×＝1，所以|a|max＝1，故B错误；a·b＝－2e1·e2≤3－1－2×＝1，故C正确；a－b＝－2e1－2e2，则|a－b|2＝4＋4＋8e1·e2≥12，所以|a－b|≥2，故D正确．]
题号
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三、填空题
12．(2024·广东广州二模)若1＋i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2＋kx＋2＝0的一个虚根，则实数k＝________．
题号
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－2 [1＋i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2＋kx＋2＝0的一个虚根，
1－i也是关于x的实系数一元二次方程x2＋kx＋2＝0的一个虚根，
1＋i＋＝－k，解得k＝－2．]
－2
13．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，＝，则＝________．
题号
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[∵AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，∴＝||·||cos ∠BAC＝2×1×＝1．∵＝，∴＝)，∴＝(3)，＝(3)·＝(3)·()＝(3－4)＝(3×1－4×1＋4)＝．]
题号
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14．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝___________；F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则的最小值为___________．
－
－ [以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
题号
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则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，
可得＝(－1，0)，＝(0，1)，＝，
因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，
则所以λ＋μ＝．
因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈ 上，设F(a，－3a)，a∈，
因为G为AF中点，则G，
可得＝(a＋1，－3a)，＝，
则＝＋(－3a)·＝5－，
且a∈，所以当a＝－时，取到最小值－．]
题号
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9
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11
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谢 谢！阶段提能(六) 平面向量、复数
一、单项选择题
1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝( )
A．0 B．1
C． D．2
2．(2025·广东广州模拟)若＝2－i，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
3．(2024·山西朔州一模)已知＝2，b＝，且a⊥b，则＝( )
A．2 B．2
C．4 D．2
4．(2025·北京海淀模拟)已知向量a＝(1，1)，b＝(x，－2)，则“x<2”是“a与b的夹角为钝角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2025·江苏南通模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点M是BC的中点，则＝( )
A． B．
C． D．
6．(2025·河北衡水模拟)在△ABC中，D是BC的中点，直线l分别与AB，AD，AC交于点M，E，N，且＝＝2＝λ，则λ＝( )
A． B．
C． D．
7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ()，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．外心
C．内心 D．垂心
8．(2025·江苏南京模拟)已知向量a，b为单位向量，a＋2b＋c＝0且＝，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2025·广东潮汕模拟)设＝z－1，其中为z的共轭复数，则( )
A．z的实部为2
B．的虚部是－2
C．＝
D．在复平面内对应的点在第二象限
10．已知向量a＝，b＝，则下列结论正确的是( )
A．|a|＝|b|
B．a与b的夹角为π
C．⊥a
D．b在a上的投影向量是
11．设e1，e2均为单位向量，且|e1－2e2|≤，a＝e1－e2，b＝3e1＋e2，则( )
A．〈e1，e2〉＞
B．|a|的最大值为2
C．a·b的最大值为1
D．|a－b|≥2
，所以0≤〈e1，e2〉≤，故A错误；|a|2＝－2e1·e2≤1＋1－2×＝1，所以|a|max＝1，故B错误；a·b＝－2e1·e2≤3－1－2×＝1，故C正确；a－b＝－2e1－2e2，则|a－b|2＝4＋4＋8e1·e2≥12，所以|a－b|≥2，故D正确．]
三、填空题
12．(2024·广东广州二模)若1＋i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2＋kx＋2＝0的一个虚根，则实数k＝________．
13．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，＝，则＝________．
14．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝___________；F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则的最小值为___________．
阶段提能(六)
1．C [若z＝－1－i，则|z|＝＝．故选C．]
2．A [由＝2－i，得1＋＝2－i，所以＝1－i，
所以z＝＝＝1＋i．
故选A．]
3．C [因为b＝，a⊥b，则b2＝3，a·b＝0，
则＝a2－4a·b＋4b2＝4－0＋4×3＝16，故＝4．故选C．]
4．B [由已知得a·b＝x－2，
当a与b共线时，可得1×＝x，解得x＝－2．
当a与b的夹角为钝角时，可得a·b<0且a与b不共线，
则x－2<0且x≠－2，解得x<2且x≠－2．
因此，当x<2时，若x＝－2，则a＝(1，1)，b＝(－2，－2)，
此时b＝－2a，a与b的夹角为π，不是钝角，则充分性不成立；
当a与b的夹角为钝角时，有x<2且x≠－2，可知x<2成立，则必要性成立．
综上， “x<2”是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B．]
5．D [依题意可得＝＝＝＝．
故选D．]
6．B [由＝2，得＝＝＝＝．
因为M，E，N共线，所以＝1，解得λ＝．故选B．
]
7．A [由题意＝λ()，当λ∈(0，＋∞)时，如图，
可知点P在BC边上的中线所在直线上，
所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心．故选A．]
8．C [设a与b的夹角为θ，
因为a＋2b＋c＝0，
所以a＋2b＝－c，
所以＝，
所以a2＋4b2＋4a·b＝c2，
即＋4＋4cos θ＝，
又＝＝1，＝，
所以1＋4＋4cos θ＝7，所以cos θ＝，又θ∈，所以θ＝，即a与b的夹角为．
故选C．]
9．AC [设z＝a＋bi，因为＝z－1，所以a－bi＝－1，
所以a－bi＝i，所以，
所以a＝2，b＝1，所以z＝2＋i，＝2－i，
对于A，z的实部为2，所以A正确；
对于B，的虚部是－1，所以B错误；
对于C，＝＝，所以C正确；
对于D，＝＝＝＝1－i，所以在复平面内对应的点在第四象限，所以D错误．
故选AC．]
10．BCD [对于A，＝＝＝＝2，故A错误．
对于B，cos 〈a，b〉＝＝＝－，因为〈a，b〉∈，所以〈a，b〉＝，故B正确；
对于C，·a＝a2＋a·b＝2－2＝0，则⊥a，故C正确；
对于D，b在a上的投影向量是cos 〈a，b〉·＝2×＝－a＝，故D正确．故选BCD．]
11．CD [由e1，e2均为单位向量，|e1－2e2|≤，得5－4e1·e2≤3，即e1·e2≥，则cos 〈e1，e2〉＝，又〈e1，e2〉∈[0，π]，所以0≤〈e1，e2〉≤，故A错误；|a|2＝－2e1·e2≤1＋1－2×＝1，所以|a|max＝1，故B错误；a·b＝－2e1·e2≤3－1－2×＝1，故C正确；a－b＝－2e1－2e2，则|a－b|2＝4＋4＋8e1·e2≥12，所以|a－b|≥2，故D正确．]
12．－2 [1＋i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2＋kx＋2＝0的一个虚根，
1－i也是关于x的实系数一元二次方程x2＋kx＋2＝0的一个虚根，
1＋i＋＝－k，解得k＝－2．]
13． [∵AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，∴＝||·||cos ∠BAC＝2×1×＝1．∵＝，∴＝)，∴＝(3)，＝(3)·＝(3)·()＝(3－4)＝(3×1－4×1＋4)＝．]
14． － [以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，
可得＝(－1，0)，＝(0，1)，＝，
因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，
则所以λ＋μ＝．
因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈ 上，设F(a，－3a)，a∈，
因为G为AF中点，则G，
可得＝(a＋1，－3a)，＝，
则＝＋(－3a)·＝5－，
且a∈，所以当a＝－时，取到最小值－．]
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