2024-2025学年北师大版九年级数学下册课件3.5 确定圆的条件（共30张PPT）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北师大版九年级数学下册课件3.5 确定圆的条件（共30张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 950.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-22 08:52:10 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
第三章 圆
3.5 确定圆的条件
1.确定圆的条件
2.三角形的外接圆与外心. （重点、难点）
学习目标
新课导入
1、过一点可以作几条直线？
2、过几点可确定一条直线？
3、过几点可以确定一个圆呢？
新课讲解
经过一个已知点A能确定一个圆吗
你怎样画这个圆
A
经过一个已知点能作无数个圆.
新课讲解
A
经过两个已知点A、B能确
定一个圆吗
经过两个已知点A、B能作无数个圆
经过两个已知点A、B
所作的圆的圆心在怎
样的一条直线上
它们的圆心都在线段AB的中垂线上.
新课讲解
A
B
C
过如下三点能不能做圆 为什么
不在同一直线上的三点确定一个圆
新课讲解
例
如图所示，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：
（1）四个点中取三个点的组数；
（2）去掉三点共线的组数.
C
新课讲解
解：
过不在同一条直线上的三点确定一个圆，在点A，
B，C，D 四个点中取三个点的方法有：点A，B，C；点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D，共四组. 又因A，B，C 三点在同一条直线上，故过这四
个点中的任意三个点能画圆的个数为3.
新课讲解
A
B
C
O
已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.
新课讲解
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
新课讲解
C
A
B
O
如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.
外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
新课讲解
三角形外接圆的作法：
(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一
点的距离为半径作圆即可．
新课讲解
求三角形的外接圆半径的方法：
求三角形的外接圆半径时, 最常用的方法是作出圆心与三角形顶点的连线( 即半径)，或延长使这条半径变为直径, 将求半径转化为直角三角形中求边的长.
课堂小结
(1)只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小
才唯一确定.
(2)经过一个已知点能作无数个圆.
(3)经过两个已知点A、B能作无数个圆！这些圆的圆
心在线段AB的垂直平分线上.
(4)不在同一直线上的三个点确定一个圆.
(5)外接圆，外心的概念.
当堂小练
1.下列说法中正确的是( )
A．两个点确定一个圆
B．三个点确定一个圆
C．四个点确定一个圆
D．不共线的三个点确定一个圆
C
当堂小练
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，则经画图操作可知△ABC的外心坐标应是( )
A．(0，0)
B．(1，0)
C．(－2，－1)
D．(2，0)
C
拓展与延伸
若点O是等腰三角形ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为( )
A．2＋ B.
C．2＋ 或2－ D．4＋2 或2－
C
1.下列结论正确的是( )
A.三点确定一个圆
B.过同一直线上的三点可确定一个圆
C.三角形的外心到三角形各边的距离相等
D.任意三角形一定有一个外接圆
D
课后练习
2.(北师9下P85、人教9上P93)如图，已知三点A，B，C，用尺规作☉O，使☉O经过点A，B，C.
解：连接AB，AC，BC，作任意两条边的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆即可，图略.
3.下列关于三角形的外心的说法中，正确的是( )
A.三角形的外心在三角形外
B.三角形的外心到三边的距离相等
C.三角形的外心到三个顶点的距离相等
D.等腰三角形的外心在三角形内
4.已知Rt△ABC的两条直角边长分别为3和4，则Rt△ABC的外接圆的半径为 .
2.5
C
小结：找一段完整的弧，可在这段弧上任作两条不平行的弦，再作出这两条弦的垂直平分线，交点就是圆心.
A.点P B.点M
C.点R D.点Q
5.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
D
6.【例2】如图，已知△ABC，∠A＝60°，BC＝6.
(1)用尺规作△ABC的外接圆☉O；
(2)∠BOC的度数为 ；
(3)☉O的半径为 .
2
120°
(1)作任意两条边的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆即可，图略.
7.【例3】(创新题)如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在☉O上.
(1)求证：AE＝AB；
(2)若∠BAC＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长.
(1)证明：由题意得△ADE≌△ADC，
∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC.
∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD.
∴AB＝AC，∴AE＝AB.
(2)若∠BAC＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长.
(2)解：如图，过点A作AH⊥BE于点H.
∵AB＝AE，BE＝2，
∴BH＝EH＝1，∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，
∵cos∠ADB＝，
∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝，，∴AC＝AB＝3.
∵∠BAC＝90°，AC＝AB，∴BC＝3
8.(北师9下P88、人教9上P95)如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心.如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为 .
2
9.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝16，AC＝12.
(1)用尺规作△ABC的外接圆☉O；
(2)☉O的面积为 .
100π
(1)作线段AB的垂直平分线，交AB于点O，以点O为圆心，OC长为半径画圆即可，图略.
★10. 0.50 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE.
(1)求证：AC＝AE；
(2)若AC＝6，CB＝8，求△ACD外接圆的直径.
(1)证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AD为圆的直径，∴∠AED＝90°，
∵AD是△BAC的∠CAB的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∠ACD＝∠AED，∠CAD＝∠EAD，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(AAS)，∴AC＝AE.
(2)若AC＝6，CB＝8，求△ACD外接圆的直径.
(2)解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，
∴AB＝＝10.
∵由(1)知，AC＝AE，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝90°，
∴设CD＝x，则BD＝8－x，BE＝AB－AE＝10－6＝4，在Rt△BDE中，BE2＋DE2＝BD2，
即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2，
即62＋32＝AD2，解得AD＝3 ，
即△ACD外接圆的直径为3
请完成课本本节对应习题
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第三章 圆
3.5 确定圆的条件
1.确定圆的条件
2.三角形的外接圆与外心. （重点、难点）
学习目标
新课导入
1、过一点可以作几条直线？
2、过几点可确定一条直线？
3、过几点可以确定一个圆呢？
新课讲解
经过一个已知点A能确定一个圆吗
你怎样画这个圆
A
经过一个已知点能作无数个圆.
新课讲解
A
经过两个已知点A、B能确
定一个圆吗
经过两个已知点A、B能作无数个圆
经过两个已知点A、B
所作的圆的圆心在怎
样的一条直线上
它们的圆心都在线段AB的中垂线上.
新课讲解
A
B
C
过如下三点能不能做圆 为什么
不在同一直线上的三点确定一个圆
新课讲解
例
如图所示，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：
（1）四个点中取三个点的组数；
（2）去掉三点共线的组数.
C
新课讲解
解：
过不在同一条直线上的三点确定一个圆，在点A，
B，C，D 四个点中取三个点的方法有：点A，B，C；点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D，共四组. 又因A，B，C 三点在同一条直线上，故过这四
个点中的任意三个点能画圆的个数为3.
新课讲解
A
B
C
O
已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.
新课讲解
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
新课讲解
C
A
B
O
如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.
外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
新课讲解
三角形外接圆的作法：
(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一
点的距离为半径作圆即可．
新课讲解
求三角形的外接圆半径的方法：
求三角形的外接圆半径时, 最常用的方法是作出圆心与三角形顶点的连线( 即半径)，或延长使这条半径变为直径, 将求半径转化为直角三角形中求边的长.
课堂小结
(1)只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小
才唯一确定.
(2)经过一个已知点能作无数个圆.
(3)经过两个已知点A、B能作无数个圆！这些圆的圆
心在线段AB的垂直平分线上.
(4)不在同一直线上的三个点确定一个圆.
(5)外接圆，外心的概念.
当堂小练
1.下列说法中正确的是( )
A．两个点确定一个圆
B．三个点确定一个圆
C．四个点确定一个圆
D．不共线的三个点确定一个圆
C
当堂小练
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，则经画图操作可知△ABC的外心坐标应是( )
A．(0，0)
B．(1，0)
C．(－2，－1)
D．(2，0)
C
拓展与延伸
若点O是等腰三角形ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为( )
A．2＋ B.
C．2＋ 或2－ D．4＋2 或2－
C
1.下列结论正确的是( )
A.三点确定一个圆
B.过同一直线上的三点可确定一个圆
C.三角形的外心到三角形各边的距离相等
D.任意三角形一定有一个外接圆
D
课后练习
2.(北师9下P85、人教9上P93)如图，已知三点A，B，C，用尺规作☉O，使☉O经过点A，B，C.
解：连接AB，AC，BC，作任意两条边的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆即可，图略.
3.下列关于三角形的外心的说法中，正确的是( )
A.三角形的外心在三角形外
B.三角形的外心到三边的距离相等
C.三角形的外心到三个顶点的距离相等
D.等腰三角形的外心在三角形内
4.已知Rt△ABC的两条直角边长分别为3和4，则Rt△ABC的外接圆的半径为 .
2.5
C
小结：找一段完整的弧，可在这段弧上任作两条不平行的弦，再作出这两条弦的垂直平分线，交点就是圆心.
A.点P B.点M
C.点R D.点Q
5.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
D
6.【例2】如图，已知△ABC，∠A＝60°，BC＝6.
(1)用尺规作△ABC的外接圆☉O；
(2)∠BOC的度数为 ；
(3)☉O的半径为 .
2
120°
(1)作任意两条边的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆即可，图略.
7.【例3】(创新题)如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在☉O上.
(1)求证：AE＝AB；
(2)若∠BAC＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长.
(1)证明：由题意得△ADE≌△ADC，
∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC.
∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD.
∴AB＝AC，∴AE＝AB.
(2)若∠BAC＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长.
(2)解：如图，过点A作AH⊥BE于点H.
∵AB＝AE，BE＝2，
∴BH＝EH＝1，∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，
∵cos∠ADB＝，
∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝，，∴AC＝AB＝3.
∵∠BAC＝90°，AC＝AB，∴BC＝3
8.(北师9下P88、人教9上P95)如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心.如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为 .
2
9.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝16，AC＝12.
(1)用尺规作△ABC的外接圆☉O；
(2)☉O的面积为 .
100π
(1)作线段AB的垂直平分线，交AB于点O，以点O为圆心，OC长为半径画圆即可，图略.
★10. 0.50 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE.
(1)求证：AC＝AE；
(2)若AC＝6，CB＝8，求△ACD外接圆的直径.
(1)证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AD为圆的直径，∴∠AED＝90°，
∵AD是△BAC的∠CAB的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∠ACD＝∠AED，∠CAD＝∠EAD，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(AAS)，∴AC＝AE.
(2)若AC＝6，CB＝8，求△ACD外接圆的直径.
(2)解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，
∴AB＝＝10.
∵由(1)知，AC＝AE，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝90°，
∴设CD＝x，则BD＝8－x，BE＝AB－AE＝10－6＝4，在Rt△BDE中，BE2＋DE2＝BD2，
即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2，
即62＋32＝AD2，解得AD＝3 ，
即△ACD外接圆的直径为3
请完成课本本节对应习题
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