2024-2025学年北师大版九年级数学下册课件3.4课时1 圆周角定理及其推论1（共32张PPT）

(共32张PPT)
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
课时1 圆周角定理及其推论1
1.圆周角的定义
2.圆周角和圆心角的关系
3.圆周角和弧的关系. （重点、难点）
学习目标
新课导入
什么是圆心角？它具有哪些性质？
新课讲解
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
A
O
B
C
顶点在圆上，并且两
边都和圆相交的角叫
圆周角．如∠ACB．
新课讲解
圆周角的特征：
①角的顶点在圆上；
②角的两边都与圆相交，这两个特征是判定圆周角
不可缺少的条件．
新课讲解
练一练
下列四个图中，∠x为圆周角的是(　　)
C
新课讲解
如图, ∠ AOB = 80°.
(1)请你画出几个 所对的圆周角，这几
个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
(2 )这些圆周角与圆心角∠ AOB的大小有什 么关系？你是
怎样发现的？与同伴进行交流.
在图中，改变∠ AOB的度数，你得到的结论还成立吗？
新课讲解
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
新课讲解
1. 圆周角定理的证明：
已知：如图, ∠ C是 所对的圆 周角， ∠ AOB是
所对的圆心角.
求证： ∠ C= ∠ AOB
分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：
新课讲解
(1)圆心O在∠ C的一条边上，如图 (1);
(2)圆心O在∠ C的内部，如图 (2);
(3)圆心O在∠ C的外部，如图 (3).
在三种位置关系中，我们选择(1)给出证明，其他情况可以
转化为(1)的情况进行证明.
(1)圆心O在∠ C的一条边上，如图 (1).
∵ ∠ AOB是△AOC的外角，∴ ∠ AOB = ∠ A + ∠ C.
∵ OA = OC，∴ ∠ A = ∠ C.
∴ ∠ AOB = 2 ∠ C,
即 ∠ C = ∠ AOB.
请你完成图 (2)和图 (3)两种情况的证明.
证明：
新课讲解
例
如图，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之间的度数关系．
解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如
所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC， 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周
角是∠ADC.
分析：
新课讲解
∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°.
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，
∴∠ADC＝ ∠α＝105°.
∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，
∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC与∠ADC相等．
又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，
∴∠ABC和∠ADC互补．
解：
新课讲解
在如图的射门游戏中，当球员在B ， D，E处射门
时，所 形成的三个张角∠ ABC， ∠ ADC， ∠ AEC的
大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
新课讲解
练一练
如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？
解：∠BDC＝∠BAC，如图，
相等的角还有∠ADB＝∠ACB，
∠ACD＝∠ABD，
∠CAD＝∠CBD，
∠1＝∠2，∠3＝∠4.
课堂小结
(1)一个概念（圆周角）；
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的
圆心角的一半；
(3)一个推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相
等. 相等的圆周角所对的弧相等。
当堂小练
1.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB＝________．
25°
当堂小练
2.如图，在⊙O中，AB＝BC，点D在⊙O上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝(　　)
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
B
拓展与延伸
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为(　　)
A．2 B．4 C．4 D．8
C
A B C D
1.下列各圆中，∠A是圆周角的是( )
A
课后练习
2.(北师9下P79、人教9上P86)如图，当圆心O分别在圆周角∠ABC内部、外部时，求证：∠ABC＝AOC.(选一个证明)
证明：当圆心O在圆周角∠ABC内部时，
由知识点2可得∠ABD＝AOD，∠CBD＝COD，
∴∠ABD＋∠CBD＝AOD＋COD，∴∠ABC＝AOC.
当圆心O在圆周角∠ABC外部时，
由知识点2可得∠ABD＝AOD，∠CBD＝COD，
∴∠CBD－∠ABD＝COD－AOD，∴∠ABC＝AOC.
3.如图，点A，B，C在圆O上，若∠ACB＝36°，则∠AOB＝　 　.
　72°　
4.(人教9上P89)如图，在☉O中，，∠C＝75°，则∠A＝　 　.
　30°　
小结：本题求圆心角的解题思路：目标角→对应弧→对应圆周角.
5.(北师9下P80改编)如图，点A，B，P为☉O上的点，若∠PBO＝15°，且PA∥OB，则∠AOB＝　 　.
　30°　
小结：本题求圆周角的解题思路：目标角→对应弧→对应圆周角.
6.(人教9上P122)(2024枣庄)如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B＝
　 　.
　40°　
小结：本题的关键是连半径，创造条件利用圆周角定理求解.
7.【例3】如图，在☉O中，∠C＝15°，且，则∠E＝　 　.
　40°　
8.(人教9上P124改编)(2024安徽模拟)如图，点A，B，C在圆上，AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交该圆于点E，连接BE.求证：BE＝DE.
证明：由图可得∠EBC＝∠EAC.
∵AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAE＝∠EAC，∠DBC＝∠ABD，
∴∠EBC＝∠BAE，∴∠EBC＋∠DBC＝∠BAE＋∠ABD.
又∵∠EBC＋∠DBC＝∠EBD，∠BAE＋∠ABD＝∠BDE，
∴∠EBD＝∠BDE，∴BE＝DE.
小结：巧用圆周角定理转化角相等.
9.(北师9下P80、人教9上P88)如图，点A，B，C为☉O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝
　 　.
　20°　
A.30° B.50°　 C.60° D.70°
10.如图，在☉O中，两弦AB，CD相交于点E，且AB⊥CD，若∠A＝30°，则∠B等于( )
C
11.(创新题)(2023鞍山)如图，AC，BC为☉O的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，☉O的半径为2.若∠C＝45°，则DG的长为 　.
★12. 0.55 如图，点A，B，C在圆上，△ABC的高AD，BE相交于点H，延长AD交该圆于点G，连接BG.求证：HD＝GD.
证明：∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠C＋∠DAC＝90°，∠AHE＋∠DAC＝90°，
∴∠C＝∠AHE，
∵∠AHE＝∠BHG，∴∠BHG＝∠C，
∵∠C＝∠G，∴∠G＝∠BHG，∴BH＝BG，
又∵AD⊥BC，∴HD＝GD.
请完成课本本节对应习题
布置作业
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