广州市第六中学2024级高一下学期数学期中考试
参考答案与评分标准
一、客观题答案和解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B A D C D D C AB ACD BCD
12. 13. 14.
1．【详解】由，可得，所以的虚部是，
2．【详解】由角的终边经过点，则
3．【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，，
所以
.
4．【详解】由正弦定理，得，
所以，故，
所以或，即或，故为直角三角形或等腰三角形．
5．【详解】对于选项A，若，，则与平行、相交或异面，A错误；
对于选项B，若，，，则与可能相交，平行，异面，B错误；
对于选项C，因为，，，所以且，所以，C正确；
对于选项D，若，，则与可能相交，如三棱柱的三个侧面，D错误．
6．【详解】已知，，所以.因为，
所以.所以，即.
已知，，所以.因为，所以.
所以，即.
因为，根据两角和的正切公式可得：
7．【详解】判断充分性，由正弦定理可得.
已知，即（因为），由于，所以.
当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么可能有两解，所以由不能推出有且仅有一解，充分性不成立.
判断必要性，若有且仅有一解，有两种情况：
情况一：且，由，可得，因为，所以.
情况二：且或，当时，；当时，.
所以由有且仅有一解不能推出，必要性不成立.
则“”是“有且仅有一解”的既不充分也不必要条件.
8．【详解】连接，不妨设，棱台的高设为，所以
．因为，分别是棱，的中点，则，．又因为平面∥平面，可知几何体是三棱台，
则．
所以分割之后较大部分的体积为，
所以较小部分与较大部分的体积之比为．
9．【详解】对于A，因为，则点的轨迹是两个圆心为原点，半径分别为的圆形成的圆环，则点的集合所构成的图形的面积为，A正确；
对于B，因为是实系数方程的一个根，
所以，，
所以，解得，则，B正确.
对于C，由，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，圆上的点对应复数有无数个，C错误；
对于D，是一个纯虚数，则，，，所以，D错误；
10．【详解】对于A项，存在点为与的交点，使得，理由如下：若点为与的交点，则三点共线，由正方体性质得，，所以四边形是平行四边形，所以，因为为中点，所以，所以，即，A正确；
对于B项，如图，连接，H为侧面中心，则平面与平面和平面分别交于线，若存在G点使平面平面，则，又，则四边形为平行四边形，即，，此时G应在延长线上，B错误；
对于C项，随着G移动但G到面的距离始终不变即，故是定值，C正确；
对于D项，如图，当为靠近C的四等分点时，平面截正方体的截面为正六边形，D正确。
11．【详解】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，
对于A，，A错误；
对于B，，则以为邻边的正方形对角线长是的倍，
可得，B正确；
对于C，在上的投影向量为，C正确；
对于D，设的夹角为，则，
其中为定值，只需最大即可，，
延长交延长线于，当在线段上运动时，最大，
易知为等腰直角三角形，且，
则在中，，
在等腰三角形中，，则，D正确
12．【详解】由是等边三角形，则，于是
13．【详解】由题意得： ，故： ，
即向量 与的夹角为
14.【解析】显然，令，则，
（1）当时，，由正弦曲线图像可知，两个最值点对应t的值为和，零点对应t的值为和，于是，解得
（2）当时，，由正弦曲线图像可知，两个最值点对应t的值为和，零点对应t的值为和，于是，解得
综上，的取值范围是
二、解答题和评分标准
15．已知平面向量，，，．
(1)若，求x的值；(2)若，求的值．(3)若与的夹角是锐角，求x的取值范围．
【详解】（1）若，则， 2分
整理得，解得或． 3分
（2）若，则有，整理得，解得或，5分
当时，，，则，得； 6分
当时，，，则，得； 7分
所以，的值为或5． 8分
（3）因与的夹角是锐角，则，即，得， 10分
又当与共线时，有，得，不合题意，则， 11分
综上，的取值范围为． 12分
16．在中，角，，的对边分别为，，．且满足．
(1)求角的大小；(2)若的面积，内切圆的半径为，求；
【详解】（1）由，得， 2分
则，即， 3分
而，所以. 5分
（2）由，得，即， 7分
由，得，即， 9分
由余弦定理，得， 11分
联立三式，得，解得. 13分
17．如图，正方体的棱长为2，为中点，与平面交于点.(1)求证：为的中点；(2)求到平面的距离.
【详解】（1）依题意连接，
易得，又平面，平面，可得平面， 2分
因为与平面交于点，即平面平面，可得， 4分
因此，又为中点，可得为的中点； 6分
（2）在中，，，，由余弦定理，，则，于是 9分
由等体积法，可知，即， 12分
故，即到平面的距离为 15分
18．2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济。广州市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线为直线距离均为如图，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为，需在A，B，C之间设置补能点无人机需经过补能点M更换电池，且，设
(1)当时，求无人机从A到C运输航程的值;
(2)求的取值范围.
【详解】（1）当时，， 2分
作，则，所以，4分
故从A到C运输航程； 6分
（2）由已知，，，，故
9分
令，，
11分
无人机最远运输距离为，所以，故， 13分
故，所以， 14分
当时，， 15分
当时，， 16分
故的范围是 17分
19．多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决问题：
（1）碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数。
（2）规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.证明：任何简单多面体的总曲率是常数.
（3）如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体。设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
【详解】（1）由题意可知，，由可得， 1分
设正五边形的个数为，正六边形的个数为，则，
因为一条棱连着两个面，所以足球烯表面的棱数， 3分
联立，解得，即32个面中正六边形面的个数是20. 5分
（2）设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号,分别为号.
设第号 多边形有 条边，多面体有条棱. 7分
由题意，多面体共有个顶点.
号多边形内角之和，所有多边形内角之和 9分
故总曲率为 11分
（3）由某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，可知，12分
于是，将其代入，所以，所以，14分
因此，又，故所有五组正整数解为：，15分
当时，，则，此时正多面体为正四面体，
当时，，则，此时正多面体为正六面体，
当时，，则，此时正多面体为正十二面体，
当时，，则，此时正多面体为正八面体，
当时，，则，此时正多面体为正二十面体，
所以正多面体仅有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种. 17分广州市第六中学2024级高一下学期数学期中考试
本试卷共2页，19道题，满分150分。考试用时120分钟。
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ）
A． B． C． D．
4．中，角对边分别为，若，则形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
5．设是三条不同直线，是三个不同平面，若，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则异面
C．若，，，则 D．若，，则
6．已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
8．已知正四棱台，，分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点的集合所构成的图形的面积为
B．若点坐标为，且是实系数方程的一个根，则
C．若，则或
D．若是纯虚数，则的共轭复数
10．如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为线段上一个动点，则（ ）
A．存在点，使
B．存在点，使平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．存在点G，使得平面截正方体所得截面为正六边形
11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4
二、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 .
13．若向量与不共线也不垂直， 且， 则 .
14．设函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是 .
三、解答题（本大题共5个小题，共77分，其中书写分3分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（12分）已知平面向量，，，．
(1)若，求x的值；
(2)若，求的值；
(3)若与的夹角是锐角，求x的取值范围．
16．（13分）在中，角的对边分别为.且满足．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，内切圆的半径为，求.
17．（15分）如图，正方体的棱长为2，为中点，与平面交于点.
(1)求证：为的中点；
(2)求到平面的距离.
18．（17分）2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.广州市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线为直线距离均为（如图），计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为，需在A，B，C之间设置补能点（无人机需经过补能点更换电池），且，，设.
(1)当时，求无人机从A到C运输航程的值；
(2)求的取值范围.
19．（17分）多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题：
（1）碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数；
（2）规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.证明：任何简单多面体的总曲率是常数；
（3）如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体.
