福建省龙岩市一级校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题(含详解)

福建省龙岩市一级校2024 2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设函数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ）
A． B． C． D．
6．给出下列四个图象：

函数大的大致图象的可以是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
7．给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若函数在上单调递减，则实数的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
11．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．若动点是内部一点（含边界，除点外），则对任意，都有平面
B．若，分别为，的中点，则平面截该正方体所得的截面周长为
C．若动点满足，则的最小值是
D．若动点在上，点在上，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知事件与事件相互独立，且，，则
13．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ．
14．已知且，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．

(1)证明：平面PBF．
(2)若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．
16．已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，求m的值；
(2)若，求的极值．
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，，且分别为的中点．

(1)证明：．
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18．甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和．
(1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率；
(2)求甲在每轮比赛中获胜的概率；
(3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率．
19．已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”．
(1)已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值．
(2)证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”．
(3)已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由导数的定义可得，
.
故选D.
2．【答案】A
【详解】因为三点共线，
所以，
即，
所以，解得，
所以，
故选A.
3．【答案】D
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选D.
4．【答案】B
【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为.
故选B.
5．【答案】C
【详解】由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，，
，
由条件概率公式可得.
故选C.
6．【答案】C
【详解】当时，是一个指数函数，在R上单调递减，所以②正确，①错误；
当时，由，即，解得，函数与轴交于两点，显然四个图象都不相符；
当时，，所以③不相符；由，方程的，当时，，有两个不等的实根，则函数两个极值点，当时，，当时，，所以④相符.
故选C.
7．【答案】B
【详解】对于①，若互斥，则，又，
，不相互独立，①正确；
对于②，，；
扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于一点”，
则，，，
满足，但不是对立事件，②错误；
对于③，扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于六点”，
则，，，，，
满足，此时，
事件不相互独立，③错误；
对于④，，事件与互斥，，
又，，
即，事件相互独立，④正确.
故选B.
8．【答案】D
【详解】令，取自然对数得，令
令，得
若，单调递增，单调递增；
若，单调递减，单调递减，
因为，所以，而，，所以；
因为，所以，而，，所以
故.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】根据题意可得函数的定义域为，
又，
若函数在上单调递减，可得在上恒成立；
即在上恒成立，所以，
根据对勾函数性质可得在上单调递增，
当时，当时，所以，
所以，
结合选择可知B、C、D符合题意.
故选BCD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由，则与互斥，所以，故A正确；
对于B，由，则，所以，故B错误；
对于C，由，则，即与相互独立，
所以，故C正确；
对于D，由，且，，
可得，即，
解得，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】BCD
【详解】对于选项A，当运动到点时，易知不垂直于，
所以不垂直于平面，故A错误；
对于选项B，如图，设，
连接交于点，连接交于点，连接，
则五边形即截面，
由题意得为等腰直角三角形，则，
由，得，则，，
所以，，
同理可得，，
因为分别为的中点，
所以，则截面周长为，故B正确；
对于选项C，由，得平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆，
空间中点的轨迹是球面，球心在直线上，
由得；得，
则半径，，
则，
所以的最小值为，故C正确；
对于选项D，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设且，
因，
则，
则，令，则，
所以异面直线AC和的距离为，
因的最小值即异面直线和的距离，
故的最小值为，故D正确．
故选BCD．
12．【答案】/
【详解】因为事件、是相互独立的，则，
所以，.
13．【答案】
【详解】因为
，
所以，
因为，，，
所以，
因为四点共面，
所以，所以，
因为，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
14．【答案】
【详解】由题意可知：的定义域为，
令，则，可得，
构建，可得，
令，注意到且，则在内单调递增，
可知与有2个不同的交点，
对于函数，
令，则，解得；令，则，解得；
又因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且当趋近于时，趋近于0，
可得的图象如图所示：

由图象可知：，则且，可得且，
所以实数a的取值范围是.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，取PB的中点G，连接EG，GF．
，G分别是PA，PB的中点，，且．
，且，，,
四边形EGFD为平行四边形，
．又平面PBF，平面PBF，平面PBF；
（2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向
建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．

设平面PBF的法向量为，则，
取，则，所以，
则，
直线PD与平面PBF所成角的正弦值为．
16．【答案】(1)
(2)极小值，无极大值
【详解】（1）函数，求导得，
则，由切线与直线相互垂直，得，所以.
（2）当时，的定义域为，
则，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，取的中点M，连接
因为E为PC的中点，所以，．
又因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，则．
因为，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以，
又，所以．
（2）由（1）知平面．取AB的中点G，连接，则，
所以平面，所以与平面所成的角为，即．
又因为，所以．
又因为，所以．
以G为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，所以，．
设平面的法向量为，
则，取，则．
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面所成的锐二面角为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，设甲在一轮比赛中共抢到（）道题为事件，
甲在一轮比赛中得（）分为事件，
则，
，
∴甲在一轮比赛中获得1分的概率为.
（2）由题意及（1）得
设甲在一轮比赛中获胜为事件，
∵，
，
，
，
∴
，
∴甲在每轮比赛中获胜的概率为.
（3）由题意，（1）及（2）得，
，，
，，
设甲前三轮累计得分恰为6分为事件，
∴
∴甲前三轮累计得分恰为6分的概率为.
19．【答案】(1)是，理由见解析，的最小值是
(2)证明见解析；
(3)
【详解】（1）假设是的＂—陪伴函数＂，
则，
即，
则．
因为且，所以，则，
因此，因此是的＂－ 伴函数＂，且的最小值是．
（2）已知，
，
.
记，则．
记，则，
即，
因此是的＂M—陪伴函数＂，
即在同一给定闭区间上的函数是函数的＂M－陪伴函数＂．
（3）由题知，
即，不妨假设，
则，
则，且，
所以函数单调递增，函数单调递减，
所以，
则．又，
所以，
故．
令，则，
令，易知在上单调递减，
则，所以，
则在上单调递减，则，
因此．
令，则．
令，易知在上单调递减，且，
则，即．
当时，，即，则在上单调递增；
当时，，即，则在上单调递减．
所以．
由，得，则，
因此．
又，所以，
即实数的取值范围为．