福建省漳州市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题(含答案)

福建省漳州市第三中学2024 2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题
1．若向量，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
2．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ）
A．密码被成功破译的概率为 B．恰有一人成功破译的概率为
C．密码被成功破译的概率为 D．密码破译失败的概率为
4．如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
D．若空间向量，，则在的投影向量为
7．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数，则下列说法正确的有（ ）
A．不等式的解集为
B．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为
C．当时，总有恒成立
D．函数在单调递增，在单调递减
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
10．如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PC的中点，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．
C．直线AM与平面所成角的余弦值为
D．点M到平面的距离为
11．如图，某电子实验猫线路图上有、两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，、两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在、两处遇到红灯的次数之和为，则（ ）

A．
B．
C．一次实验中，、两处至少遇到一次红灯的概率为
D．当时，
三、填空题
12．一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为.若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为 .
13．已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 .
14．若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为 .
四、解答题
15．某年级有6名数学老师，其中男老师4人，女老师2人，任选3人参加校级技能大赛.
(1)设所选3人中女老师人数为，求的期望和方差；
(2)如果依次抽取2人参加县级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到是女老师的概率.
16．已知函数.
(1)若在处取得极值，求函数的单调区间和极值；
(2)若≥恒成立，求实数的取值范围.
17．如图，在直三棱柱中，AC⊥BC，，点P为棱的中点，点Q为线段上的一动点.

(1)求证：当点Q为线段的中点时，PQ⊥平面；
(2)设，试问：是否存在实数λ，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.
18．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.
(1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
(2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案
19．已知函数，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数单调性；
(3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】ABD
10．【答案】AD
11．【答案】BCD
12．【答案】
13．【答案】/
14．【答案】
15．（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得：
，，，
的分布列为：
0 1 2
所以，
；
（2）设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到女老师为事件
则第1次抽到男老师且第2次抽到女老师为事件，
根据分步计数原理，．
所以．
16．（1）当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）因为恒成立，得，，
令，，则，
当，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，
因此，则，
所以的取值范围为.
17．（1）连接，

∵点Q为线段的中点，四边形为矩形，
∴三点共线，且点Q为的中点.
∵点P，Q分别为和的中点，
∴.
在直三棱柱中， 平面，，
∴平面，
又平面，∴，
又，∴四边形为正方形，
∴，∵，平面，
∴平面.
而，∴平面.
（2）以C为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，连接，则.
设，

∵，∴，.
∴，
∵点Q在线段上运动，
∴平面的法向量即为平面的法向量.
设平面的法向量为，
∵，
∴，.
则，
令，得，.
设平面的法向量为，
∵，∴，，.
由，
令，得，.
由题意得 ==，
∴，解得或.
∴当或时，平面与平面所成夹角的余弦值为.
18．（1）记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，事件=“测试结果语音识别成功”.
根据题意得
（i）由全概率公式得
（ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件发生的条件下发生的概率，
即
（2）方案一的测试次数的数学期望为4.
用表示“方案二测试的次数”，由题意得的可能取值为3，5.
则
所以方案二测试次数的数学期望为.
又因为，
所以以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一.
19．（1）由求导可得，，
又，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由题意，，，定义域为，
则，
因为，所以，
当时，，故在上单调递减；
当时，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，若对于任意，总存在，使得，
即在上的最小值大于等于在的最小值，
由（2）知，时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
，，
因为，所以在上恒成立，故在上单调递减，
则，
所以，即，
令，，
则，
故在上单调递减，
又，
所以当时，，当时，，
故m的取值范围为.