安徽省部分校2024-2025学年高二下学期3月联考数学（B卷）试题(含详解)

安徽省部分校2024 2025学年高二下学期3月联考数学（B卷）试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B．10 C．19 D．38
3．下列求导的运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知单调递减的等比数列满足，则（ ）
A． B． C．512 D．1024
5．已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，，点P满足，则面积的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（ ）
A． B．5 C． D．
二、多选题
9．已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C表示椭圆
B．当时，曲线C表示双曲线
C．曲线C可能表示两条直线
D．曲线C不可能表示抛物线
10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象在的切线的斜率为0
B．函数在上单调递减
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值
11．将个数排成行列的一个数阵，如：
…
…
…
… … … … …
…
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．函数的图象在处的切线方程是 ．
13．已知数列的前n项和为，若，则 ．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与双曲线C的右支和左支分别交于点A，B，若的面积为，且的面积是面积的2倍，则双曲线C的离心率为 ．
四、解答题
15．已知与只有一条公切线l，且公切点为M，点P是l上异于点M的一点，过点P作的另一条切线，切点为N．
（1）求a的值及直线l的方程；
（2）若是等腰直角三角形，求直线的方程．
16．已知数列满足．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：对且，都有．
18．已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴与y轴，且C经过点．
（1）求C的标准方程；
（2）若F是C的右焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点．求四边形面积的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面．
（1）若点，求平面的方程；
（2）求证：是平面的一个法向量；
（3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，
所以，
所以．
故选B．
2．【答案】C
【详解】因为数列是等差数列，
所以．
故选C．
3．【答案】C
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选C.
4．【答案】A
【详解】在等比数列中，，所以，又，解得，
设的公比为q，则，解得，
因为单调递减，所以．
故选A
5．【答案】B
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
过点F作，交直线m于点E，
由抛物线的定义可知，，
所以当P在线段上时，取得最小值，．
故选B.
6．【答案】C
【详解】设点，因为，所以，
整理得，
所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以点P到直线的最大距离，
所以面积的最大值为．
故选C.
7．【答案】D
【详解】令，则，所以在上单调递减，
因为，所以不等式可变为，即，
所以，即，所以不等式的解集为．
故选D．
8．【答案】D
【详解】因为，
所以
，
所以．
故选D
9．【答案】BD
【详解】若曲线C表示椭圆，则，解得，故A错误；
若曲线C表示双曲线，则，解得，故B正确；
曲线C不可能表示两条直线，故C错误；
无论m取何值，曲线C都不可能表示抛物线，故D正确．
故选BD．
10．【答案】AD
【详解】由图可知，所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确；
由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误；
由图可知时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故C错误；
由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减，
故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确．
故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】因为，所以，解得（舍去），故A正确；
，，故B错误；
，，故C正确；
，
故D正确．
故选ACD．
12．【答案】
【详解】由已知，得，所以，
所以所求切线方程为，即.
13．【答案】2500
【详解】因为，
所以，所以数列是常数列，
因为，所以，
所以.
14．【答案】
【详解】因为，所以，
即，
因为，
所以，所以，即，
设，由的面积是面积的2倍，得，则，
在中，，所以，解得，
所以，
因为，所以，得，即，
所以双曲线C的离心率为．

15．【答案】（1），
（2）或
【详解】（1）可化为，圆心，半径，
可化为，圆心，半径．
因为与只有一条公切线，所以两圆内切，，即，解得．
两圆相减，得公切线l的方程为，即．
（2）由题意，得，若是等腰直角三角形，所以，故，
由（1）可知直线的斜率，所以直线的斜率．
设直线的方程为，
所以点到直线的距离，解得或．
所以直线的方程为或．
16．【答案】（1）证明见解析，
（2）
【详解】（1）证明：因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）解：因为，
所以．
其中．
令，
，
两式相减，得．
所以，
所以．
17．【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【详解】（1）
因为，定义域为，
所以．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，恒成立，所以函数在上单调递增．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）
不妨设，则，要证对，都有，
只需证，即需证．
构造函数，则要证，需证函数在上为增函数，
因为，
所以函数在上为增函数成立，
所以当时，对且，都有．
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设C的方程为，
将点代入，得解得
所以C的标准方程为．
（2）由（1）可知，，
当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，，
当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，，
所以四边形的面积．
当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
联立得，
由题意得．
所以，
同理，
四边形的面积．
令，则，
所以当，即时，，所以．
综上所述，四边形面积的取值范围．
19．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1），
设是平面的一个法向量，
则令，得，所以．
设点是平面内任意一点，由，得，
所以平面的方程为．
（2）记平面的方程为，
在平面上任取一条直线，直线上任取两点，
则有
因为，
所以．
所以，即垂直于平面上任意一条直线，
所以是平面的一个法向量．
（3），
设为平面的一个法向量，则令，得，
所以．
因为平面的方程为，所以由（2）知平面的一个法向量为，
设直线的一个方向向量为，则
令，得，所以．
因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直，
所以，解得，所以．
所以平面与平面夹角的余弦值为．