安徽省合肥市第九中学2024 2025学年高二下学期第一次单元质量检测数学试卷
一、单选题
1.曲线y=在点处的切线方程为 ( )
A.y=x B.y=x
C.y=x+ D.y=x+
2.同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
3.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为( ).
A. B.e C. D.
6.上午要上语文、数学、体育和外语四门功课,而数学老师因故不能上第二节和第四节,则不同排课方案的种数是( )
A.24 B.22 C.20 D.12
7.设是R上的可导函数,分别为的导函数,且,则当时,有( )
A.
B.
C.
D.
8.若都有成立,则的最大值为( )
A. B.1 C. D.
二、多选题
9.下列说法正确的是( )
A.
B.设函数的导函数为,且,则
C.函数的单调递减区间为
D.函数有两个极值点
10.定义在上的函数的导函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值
11.若函数既有极大值也有极小值,则( ).
A. B. C. D.
三、填空题
12.《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜,之后持续狂飙,上映16天票房突破100亿;21天登顶全球动画电影票房榜,电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个,按顺序排列成法阵对抗敌人,已知风灵珠和火灵珠不能相邻,问共有多少种法阵组合方式 .(用数字作答)
13.已知函数,若在上恒成立,则实数的取值范围是 .
14.程大位(1533-1606)是明代珠算发明家,徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一,它完成了计算由筹算向珠算的转变,使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”.现有一种算盘(如图1)共三档,自右向左分别表示个位、十位和百位,档中横以梁,梁上一珠,下拨一珠记作数字5:梁下五珠,上拨一珠记作数字1.例如:图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠,则可以表示不同的三位整数的个数为 .
四、解答题
15.盒子里装有六个大小相同的小球,分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次,每次抽取1个小球,按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.
(1)一共能组成多少个不同的三位数?
(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数?
16.已知函数,且满足
(1)求实数的值;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
17.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若对于任意,都有(为自然对数的底数),求实数的取值范围.
18.已知函数, ,
(1)若,求函数的最小值;
(2)设函数,讨论函数的单调性;
(3)若在区间上存在一点,使得成立,求的取值范围.
19.设函数在区间D上的导函数为,且在D上存在导函数(其中).定义:若区间D上恒成立,则称函数在区间D上为凸函数.
(1)若函数,判断在区间上是否为凸函数,说明理由;
(2)若函数.
(ⅰ)若在上为“凸函数”,求a的取值范围;
(ⅱ)若,判断在区间上的零点个数.
参考答案
1.【答案】C
【详解】命题点:曲线在某点处的切线方程
y'==,y'|x=1=,所以曲线y=在点处的切线方程为y-=(x-1)(提示:利用点斜式求直线方程),整理得y=x+,故选C.
2.【答案】B
【详解】设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片,
故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法,
所以共有种分配方式.
故选B.
3.【答案】C
【详解】解:由,得:,
整理得,解得:,
由题可知,且,
则或,
即原不等式的解集为:.
故选C.
4.【答案】C
【详解】因为,定义域为,
则为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;
由,故排除A;
,当时,可得,
当时,为增函数,故排除D.
故选C.
5.【答案】C
【详解】依题可知,在上恒成立,显然,所以,
设,所以,所以在上单调递增,
,故,即,即a的最小值为.
故选C.
6.【答案】D
【详解】因为数学教师因故不能上第二节和第四节课,
所以先排数学老师的课,共有种排课方案,
然后再排剩下三位老师的课,共有种排课方案,
由分步计数乘法原理可得共有种排课方案,
故选.
7.【答案】C
【详解】∵,
∴函数是R上的减函数.
∴当时,,
故选C.
8.【答案】B
【详解】根据题意,若,则.
设.
所以可得在,函数为增函数.
对于,其导数.
若,解得,即函数的递增区间为;
若都有成立,即在,函数为增函数,则的最大值为1.
故选B.
9.【答案】BD
【详解】对于A,常数的导数为0,则,A错误;
对于B,由,求导得,
令,解得,B正确;
对于C,的定义域为,求导得,
由,得,函数的单调递减区间为,C错误;
对于D,,的变号零点为,函数有两个极值点,D正确.
故选BD.
10.【答案】AD
【详解】由函数的导函数的图象可知,
当时,,所以在上单调递增,故B错误;
当时,,所以在上单调递减,故A正确;
所以函数在处取得极大值,不是极小值点,故C错误,D正确.
故选AD.
11.【答案】BCD
【详解】函数的定义域为,求导得,
因为函数既有极大值也有极小值,则函数在上有两个变号零点,而,
因此方程有两个不等的正根,
于是,即有,,,显然,即,A错误,BCD正确.
故选BCD.
12.【答案】84
【详解】由题知共分两种情况:
第一种情况:风、火灵珠选出一个,水、雷、土三种灵珠均被选出,
共有种法阵组合;
第二种情况:风、火灵珠均被选出,水、雷、土三种灵珠选出两个,
先从水、雷、土三种灵珠中选出两个进行排列,共有种方法,
再将风、火灵珠进行插空,共有种方法,
则共有种法阵组合,
所以共有种法阵组合.
13.【答案】
【详解】,则在上恒成立,
令,则,
则得,得,
则在上单调递增,在上单调递减,
则,故,
则实数的取值范围是.
14.【答案】26
【详解】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有:300、700;
“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有:210、250、201、205,610、650、601、605;
“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有:120、102、160、106、111、151、115、155;
520、502、506、560、511、551、515、555.
则符合条件的三位整数的个数为26.
15.【答案】(1)120
(2)40
【详解】(1)解:(1)因为抽取的三位数各不同,所以组成三位数的总数为.
(2)解:百位为或,则个位、十位是剩余5个数字中的两个,
则有个大于500的三位数.
16.【答案】(1)
(2)函数在区间上的最大值为,最小值为
【详解】(1)因为,
所以,
令,即方程,
解得
(2)由(1)知,,所以,
令,即,
解得.
列表如下:
2 3
+ 0 - 0 +
当时,单调递增:
当时,单调递减:
当时,单调递增.
所以有极大值;有极小值
又.
所以函数在区间上的最大值为,最小值为.
17.【答案】(1)
(2)
【详解】(1)由,得,
又,,所以在点处的切线方程为.
(2)由题可知,,
所以,设,,
则,令,解得,
当时,,所以在单调递减,
当时,,所以在单调递增,
又,即,所以.
18.【答案】(1)
(2)答案见详解
(3)
【详解】(1)当时,,其中,则,
由可得,由可得,
所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为,
所以,.
(2)因为,其中,
则,
当时,即当时,由可得,由可得,
此时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
当时,即当时,
由可得,由可得或,
此时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;
当时,即当时,对任意的,,
此时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时,即当时,
由可得或,由可得,
此时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.
综上所述,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
当时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;
当时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.
(3)由(2)可知,当时,函数在上单调递增,则,不合乎题意;
当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
(i)若,则时,则函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,,
设,其中,则,
所以,函数在上单调递减,则,合乎题意;
(ii)若,即当时,函数在上单调递减,
所以,,解得,
因为,则.
综上所述,实数的取值范围是.
19.【答案】(1)为凸函数,理由见解析
(2)(ⅰ);(ⅱ)
【详解】(1)∴,,
∴,因为,∴,
∴在区间上为凸函数.
(2)(ⅰ)由可得其定义域为R,且,
所以,
若在上为“凸函数”可得在恒成立,
当时,显然符合题意;
当时,需满足,可得,
综上可得a的取值范围为;
(ⅱ)若,可得,所以,
令,则;
易知在区间上恒成立,
因此可得在上单调递减;
显然,
根据零点存在定理可得存在使得,
当时,,即在上为单调递减,
当时,,即在上为单调递增;
又,显然在上不存在零点;
而,结合单调性可得在上存在一个零点;
综上可知,在区间上仅有1个零点.