(共29张PPT)
一个菱形的两条对角线的长分别为4 cm和8 cm，求它的边长．
1.
解：如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=8 cm,BD=4 cm,则OA=4 cm,OB=2 cm,∠AOB=90°.
根据勾股定理，得
AB= = cm.
∴该菱形的边长为 cm.
如图，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, 且OA=OB=OC=OD= AB，则四边形ABCD是正方形吗？
2.
解：由OA=OB= AB,
可知OA2+OB2=AB2,则∠AOB=90°.
∵OA=OB=OC=OD,
∴AC,BD互相垂直平分且相等，
∴四边形ABCD是正方形.
如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？
3.
解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.
一个菱形的周长是200 cm，一条对角线长60 cm，求：
（1）另一条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
4.
解：如图,菱形BACD中,对角线AC,BD相交于O，AC=60 cm,周长为200 cm.
（1）由题意,得AC⊥BD,AB= ×200=
50(cm),OA=OC= AC= 30 cm,OB=OD.
∴在Rt△AOB中,OB= =40 cm.
∴另一条对角线BD=2OB=80 cm.
（2）S菱形ABCD= AC BD= ×60×80=2400(cm2 ).
证明：如果四边形两条对角线垂直且相等，那么以它的四边中点为顶点可组成一个正方形.
5.
已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,AC=BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.
求证：四边形EFPQ为正方形.
证明：∵E,Q分别为AB,AD的中点，
∴EQ BD.
同理,得FP BD,EF AC.
∴EQ FP.∴四边形EFPQ为平行四边形.
∵AC=BD,∴EF=EQ.
∴四边形EFPQ为菱形.
∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.
∴∠QEF=90°.
∴四边形EFPQ是正方形.
如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上 一点，且AC=EC，求∠DAE的度数．
6.
解：∵AC=EC,∴∠E=∠CAE.
∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BE.
∴∠DAE=∠E=∠CAE.
∵∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°，
∴∠DAE= ∠DAC=22.5°.
（1）如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形吗？为什么？
7.
解：（1）这个菱形是正方形，理由如下：
因为一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，所以这个菱形相邻内角相等.因为菱形的相邻内角互补，所以这个菱形的内角都为90°.所以这个菱形是正方形.
解：这个四边形是正方形，理由如下：
因为四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，所以这个四边形各邻边相等.所以这个四边形为菱形.
由（1），这个四边形是正方形.
（2）如果一个四边形绕对角线的交点旋转 90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形吗？为什么？
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．求证： 四边形AEDF是菱形．
8.
证明：如图，∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.∵DE∥AC,∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.∴AE=DE.
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
又AE=DE,∴四边形AEDF是菱形.
已知：△ABC的两条高分别为 BE，CF，点M为BC的中点．求证：ME=MF．
9.
证明：如图，
∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线，
∴ME= BC.同理得MF= BC.
∴ME=MF.
已知正方形的对角线的长为l，求这个正方形的周长和面积．
10.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l．求正方形ABCD的周长和面积.
解：依题意得AB=BC,∠ABC=90°.
在Rt△ABC中,AB +BC =AC ,即2AB =l ,
∴AB= .
∴正方形ABCD的周长为4AB=4× = l,
正方形ABCD的面积为AB2=( l )2 = l2.
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P．求证：四边形CODP是菱形．
11.
证明：∵CP∥BD,DP∥AC,
∴四边形CODP是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.
∵OC= AC,OD= BD,∴OC=OD.
∴四边形CODP是菱形.
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O，点M，P，N，Q分别在AO，BO，CO，DO 上，且AM=BP=CN=DQ．求证：四边形MPNQ是矩形．
12.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC,OB=OD.
又∵AM=BP=CN=DQ,
∴OM=ON,OP=OQ.
∴四边形MPNQ是平行四边形.
∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,
∴MN=PQ,
∴四边形MPNQ是矩形.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为
E，F．求证：四边形CEDF是正方形．
13.
证明：∵DF⊥AC,DE⊥BC,
∴∠DFC=∠DEC=90°.
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DFCE是矩形（有三个角是
直角的四边形是矩形）.
∵∠ACB=90°,CD平分∠ACB,
∴∠FCD= ∠ACB=45°.
∴∠FDC=90°－∠FCD=45°.
∴∠FCD=∠FDC. ∴FC=FD.
∴四边形CEDF是正方形
（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
如图，在矩形ABCD中，AB=20 cm．动点P从点A开始沿AB边以4 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以
1 cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为 t s，则当 t 为何值时，四边形APQD是矩形？
14.
解：依题意AP=4t cm，CQ=t cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=20 cm，
则DQ=DC-CQ=(20-t) cm.
当四边形APQD是矩形时，DQ=AP,
∴20-t=4t，解得t=4.
∴当t=4时，四边形APQD是矩形.
如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形？试说明理由．
15.
解：重合部分△BFD是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
由折叠得∠FBD=∠DBC,
∴∠FBD=∠ADB.∴BF=DF.
∴重合部分△BFD是等腰三角形.
如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC的度数．
16.
解：由题意，得AB=CE,BC=EF,AC=CF,
∴△ABC≌△CEF(SSS),
∴∠ACB=∠CFE.
∵∠CFE+∠FCE=90°,
∴∠ACB+∠FCE=90°.∴∠ACF=90°.
∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形.
∴∠AFC=45°.
小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方．商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验（如图）．小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验．小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾．
17.
解：这块纱巾不一定是正方形，还可能是菱形.
若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等.
你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形吗？你认为用什么方法可以检验纱巾是不是正方形？
已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
18.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥DA.∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AH平分∠DAB,BH平分∠ABC,
∴∠HAB+∠HBA= (∠DAB+∠ABC)=90°.
∴∠H=90°.同理可证∠F=90°,∠HEF=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？
（1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形．
19.
解：答案不唯一，如图所示图形仅供参考.
将相应的条件填在相应的箭头上，使得下图能清楚地表达几种四边形之间的关系．
20.
解：答案不唯一，举例如图.
两组对边
分别平行
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
已知两条对角线，利用尺规作一个菱形．
21.
解：如图，已知线段a,b.求作菱形ABCD,使得a,b分别为菱形ABCD的两条对角线.
作法:（1）作线段AC=a；
（2）作AC的中垂线,交AC于点O；
（3）以点O为圆心, 为半径画弧,
分别交AC的中垂线于B,D两点；
（4）顺次连接AB,BC,CD,DA,四边形ABCD即为所求.(共6张PPT)
解：设正方形的边长为x cm，
则x2+x2=22，解得x= .
∴正方形的边长为 cm.
对角线长为2 cm的正方形，边长是多少？
1.
如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB的度数．
2.
解：∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC.
∵△CBE是等边三角形,
∴BE=BC=AB,∠EBC=60°.∴∠ABE=30°.
∴∠AEB= (180°－∠ABE)=75°.
如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD= QC．证明两条直路BP=AQ且BP⊥AQ．
3.
证明：如图，AQ与BP交于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∠BAD=∠D=90°.
∵PD=QC,∴AP=DQ.
∴△ABP≌△DAQ(SAS).
∴BP=AQ,∠1=∠2.
∵∠BAD=∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°.
∴∠AOB=90°，即BP⊥AQ.
在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽度）．你有几种方法？（至少说出三种）
4.
解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分.
如图所示即为所求（答案不唯一）.(共6张PPT)
已知：如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形.
1.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AB,BC∥AD.∴∠B+∠BAD=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°,
∴∠B=60°.∵BC=AB,
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）.
2.
如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD是菱形,
BD=6,AC=8,
∴AD=DC=CB=BA,AC⊥BD,
AO= AC= ×8=4,DO= BD= ×6=3.
∴在Rt△AOD中,由勾股定理,
得AD= =5.
∴菱形ABCD的周长为4AD=4×5=20.
3.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,AC⊥BD,DO=BO.
∴△ABD是等腰三角形.
∴AO是等腰△ABD底边BD上的高,中线,
也是∠DAB的平分线.
∴AC平分∠BAD.
同理可证AC平分∠BCD,
BD平分∠ABC和∠ADC.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形和直角三角形？
4.
解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.(共6张PPT)
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F.求证：四边形AFCE是菱形.
1.
证明：在□ABCD中,
∵AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO
（两直线平行，内错角相等）.
∵EF是AC的垂直平分线,
∴AO=CO.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴AE=CF.∵AE∥CF,
∴四边形AFCE是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边
形是平行四边形）.
∵EF⊥AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形.
2.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,
OC,OD的中点，
∴OE= OA,OG= OC,OF= OB,OH= OD,
∴OE=OG,OF=OH.
∴四边形EFGH是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是
平行四边形）.
∵AC⊥BD,即EG⊥HF,
∴四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论.
3.
解：四边形CDC′E是菱形.
证明如下：由题意得△C′DE≌△CDE.
∴∠C′DE=∠CDE,C′D=CD,C′E=CE.
又∵AD∥BC,
∴∠C′DE=∠CED.
∴∠CDE=∠CED.
∴CD=CE（等角对等边）.
∴CD=CE=C′E=C′D.
∴四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）.(共7张PPT)
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE．
(1)试判断四边形ABEC的形状；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？
1.
解：（1）∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，又∵DE=AD，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线
互相平分的四边形是平行四边形）.
（2）当△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°时，四边形ABEC是矩形.证明如下：
∵∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，
∴BC=2AD.又AE=2AD，∴AE=BC.
∴四边形ABEC是矩形（对角线相等的
平行四边形是矩形）.
如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D．试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．
2.
解：四边形ACBD是矩形.
证明如下：如图，
∵CD∥MN,∴∠2=∠4.
∵BD平分∠ABN,∴∠1=∠4.
∴∠1=∠2.
1
2
3
4
∴OB=OD（等角对等边）.
同理可证OB=OC,∴OC=OD.
∵O是AB的中点，∴OA=OB.
∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
∵BC平分∠ABM,
∴∠3= ∠ABM.
∵BD平分∠ABN,
1
2
3
4
∴∠1= ∠ABN.
∵∠ABM+∠ABN=180°，
∴2∠3+2∠1=180°.
∴∠3+∠1=90°,即∠CBD=90°.
∴四边形ACBD是矩形（有一个角
是直角的平行四边形是矩形）.
1
2
3
4
如图，已知菱形ABCD，作一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍．
3.
解：做法如下：如图，
（1）连接AC,BD;
（2）过A,C两点分别作EF∥BD,
GH∥BD;
E
F
H
G
（3）同法作FG∥AC,EH∥AH,
与EF,GH相交点E,F,G,H,
则矩形EFGH即为所求，
且S矩形EFGH=2S菱形ABCD.
E
F
H
G(共6张PPT)
一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长.
1.
解：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，AB=AC=6.
在△AOB中，OA=OB=3，∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AOB=90°，AB= .
同理AD=BC=AD= .
∴这个矩形的各边长都是 .
一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长.
2.
解：如图，在矩形ABCD中，对角线
AC，BD相交于点O，AC=BD=15，
∠AOB=60°.
∴AO= AC=7.5，BO= BD=7.5.∴OA=OB.
∴△AOB是等边三角形，∴AB=7.5.
如图，在 Rt △ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．
3.
解：四边形ADCE是菱形.证明如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
D为AB的中点，∴CD= AB=AD.
∵AE//CD,CE//AD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵AD=CD,
∴平行四边形ADCE是菱形（一组邻边
相等的平行四边形是菱形）.
证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4.
已知：如图，在△ABC中，
BO为AC边上的中线，且BO= AC.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：如图，∵BO为AC边上的中线，
∴OA=OC= AC.
∵OB= AC,∴OA=OB=OC.
∴∠A=∠1,∠C=∠2.
∵∠A+∠1+∠C+∠2=180°，
∴2（∠1+∠2）=2∠ABC=180°.
∴∠ABC=90°.
∴△ABC是直角三角形.(共9张PPT)
证明：对角线相等的菱形是正方形．
1.
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC.∵AB=BA,BD=AC,
∴△ABD≌△BAC（SSS）.
∴∠DAB=∠CBA.
∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°.
∴∠DAB=∠CBA=90°.
∴四边形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形．
2.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CB,AD∥CB.
∴∠ADF=∠CBE.
又∵BE=DF,
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE,∠AFD=∠CEB.
∴∠AFE=∠CEF.∴AF∥CE.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE.
又∵BE=DF,∴△AFD≌△AEB（SAS）.
∴AF=AE.
∴四边形AECF是菱形（一组邻边
相等的平行四边形是菱形）.
如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？
3.
解：四边形EFGH是正方形.
理由如下：在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD,
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CG=DH,
∴BE=CF=DG=AH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS).
∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°.
∴∠EHG=90°.
∴四边形EFGH是正方形.
如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′-C′O与正 方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论．
4.
解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的 .证明如下：
①重叠部分为等腰直角三角形时,重叠部分的面积为正方形ABCD面积的 ,即S重叠=S△AOB=S△BOC=
S△COD=S△AOD= S正方形ABCD.
②重叠部分为四边形时,设OA′与AB相交于
点E,OC′与BC相交于点F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°,∠AOB=90°.
E
F
又∵∠A'OC'=90°,∴∠AOE=∠BOF.
∴△AOE≌△BOF(AAS).
∴S△AOE=S△BOF.
∴S重叠=S△BOE+S△BOF=S△BOE+S△AOE=
S△AOB= S正方形ABCD.
综上，重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的 .
E
F(共11张PPT)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，求矩形ABCD的面积．
1.
解：在矩形ABCD中，AC=BD=4，
∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AB= AC= ×4=2.
在Rt△ABC中，由勾股定理，
得BC=
∴S矩形ABCD=BC AB= ×2= .
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E．已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度数．
2.
解：在矩形ABCD中，
∠BAD=90°，
即∠BAE+∠EAD=90°.
∵∠EAD=3∠BAE,
∴∠BAE+3∠BAE=90°.∴∠BAE=22.5°.
∵AE⊥BO,∴∠AEB=90°,
∴∠ABE=67.5°.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠ABE=67.5°.
∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=45°.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形．
3.
证明：∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BC,AE=BD,AB=DE.
∵D为BC的中点,∴CD=BD=AE.
∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形）.
又∵AB=AC,∴ED=AC.
∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长．
4.
解：将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，得到的图形如图所示.
依题意，得AE=CE,EF垂直平分AC，
连接AC交EF于点O.
设CE=AE=x cm，则BE=(8-x)cm.
在Rt△ABE中，由勾股定理，
得AE =AB +BE ，即x =6 +(8-x) .
解得x= ，即EC= cm.
在Rt△ABC中，由勾股定理，
得AC= =10 cm.
∴OC= AC=5 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EOC=90°.
在Rt△EOC中，由勾股定理，
得EO =EC -OC ，即 cm.
∴折痕EF=2EO= cm.
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值．
5.
解：如图，连接PO.
在Rt△ABC中，
∵AC= =5,
∴AO=DO= AC= .
∴S△AOD=S△APO+S△DPO= AO·PE+ DO PF=
AO·(PE+PF)= × (PE+PF)
= （PE+PF）.
又∵S△AOD= S矩形ABCD= ×3×4=3，
∴ (PE+PF)=3，
∴PE+PF= .(共9张PPT)
已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE=BF.
求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠DEF=∠DFE.
1.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠C.
∵BE=BF,
∴AB-BE=BC-BF,即AE=CF.
在△ADE和CDF中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）.
（2）∵△ADE≌△CDF,
∴DE=DF.
∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）.
证明：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
2.
已知：如图，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.
求证：S菱形ABCD= AC BD.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.
∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD= AO·BO.
∴S菱形ABCD=4× AO BO= ×2AO 2BO=
AC·BD,即菱形的面积等于
其对角线长的乘积的一半.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD的高DH.
3.
解：在菱形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°,AO= AC= ×16=8，
BO= BD= ×12=6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，
得AB= =10.
∵S菱形ABCD= AC BD= ×16×12=96，
又∵DH⊥AB,
∴S菱形ABCD=AB DH=96,即96=10DH.
∴DH=9.6.
∴菱形ABCD的高DH为9.6.
已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点.求证：四边形EGFH是菱形.
4.
证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,
AC,BD的中点，
∴GF是△ADC的中位线，EH是
△ABD的中位线.
∴GF∥AD,GF= AD,EH∥AD,EH= AD,
∴GF∥EH,GF=EH.∴四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
同理FH是△BDC的中位线,∴FH= BC.
又∵AD=BC,∴GF=FH.
∴平行四边形EGFH是菱形
（一组邻边相等的平行四边形
是菱形）.
如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A为菱形的一个内角吗？
5.
解：请自己动手折叠试一试.
（提示：折叠过程中要依据
菱形的判定定理）
