1.2第2课时矩形的判定 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
学习目标
1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握
矩形的判定定理；（重点）
2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)
复习引入
导入新课
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
思考 工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
讲授新课
对角线相等的平行四边形是矩形
一
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
已知：如图，在□ ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
证明：∵ AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
证一证
矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
归纳总结
几何语言描述：
在平行四边形 ABCD 中，∵ AC = BD，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
A
D
C
B
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线的长相等，那么窗框一定是矩形，
你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC = AC，
OB = OD = BD.
又∵ OA = OD，
∴ AC = BD.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
典例精析
例2 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等)，
AO = BO = CO = DO（矩形的对角线互相平分）.
∵ AE = BF = CG = DH，
∴ OE = OF = OG = OH.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，
且 EG = FH.
∴ 四边形 EFGH 是矩形.
练一练
1. 如图，在 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
A
A
D
C
B
O
2. 如图，□ABCD 中，∠1 = ∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形 ABCD 是矩形.
理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，DO = BO.
又∵∠1 = ∠2，
∴ AO = BO.
∴ AC = BD.
∴ □ABCD 是矩形.
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形
二
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证一证
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
例3 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、
∠ABC 的平分线，
A
B
D
C
H
E
F
G
∴ 四边形 EFGH 为矩形．
同理可得∠FEH =∠EHG = 90°，
∴∠AFB = 90°.
∴∠GFE = 90°.
∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°.
例4 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形．
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM.
＝ (∠BAC＋∠CAM )＝90°.
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°.
∴ 四边形 ADCE 为矩形．
练一练
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中合理的是 （　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
当堂练习
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形；
×
×
×
×
√
√
√
√
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.
2.如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于 A、C 两点，AB、CB、CD、AD 分别是∠EAC、∠MCA、∠ ACN、∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 （ ）
A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
3.如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，
AB = 5，BC = 12，AC = 13．求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：四边形 ABCD 中，∵ AB∥CD，∠BAD = 90°，
∴∠D = 90°.
在△ABC 中，∵ AB = 5，BC = 12，AC = 13，
∴ AB2 + BC2 = AC2.
∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是矩形．
A
B
C
D
4. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交
于点 O，延长 OA 到 N，使 ON＝OB，再延长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB 为矩形．
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ OA＝OC，OD＝OB.
∵ AN＝CM，ON＝OB，
∴ ON＝OM＝OD＝OB.
∴ 四边形 NDMB 为平行四边形，且 MN＝BD.
∴ 平行四边形 NDMB 为矩形．
5.如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的高，AE 是外角的平分线，DE∥AB 交 AE 于点 E，求证：四边形 ADCE 是矩形．
证明：∵ AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
∵ AE 是△ABC 的外角平分线，
∴∠FAE＝∠EAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴ AE∥BC.
又∵DE∥AB，∴ 四边形 AEDB 是平行四边形.
∴ AE 平行且等于 BD.
又∵ BD＝DC，
∴ AE 平行且等于 DC.
故四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴ 平行四边形 ADCE 是矩形．
6. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 方向向点 B 以 3 cm/s 的速度运动．点 P、Q 分别从点 A和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1) 经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？
解：设经过 x s 时四边形 PQCD 是平行四边形，
则 PD = CQ，所以 24－x = 3x，
解得 x = 6.
即经过 6 s 时四边形 PQCD 是平行四边形.
能力提升：
(2)经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？
解：设经过 y s，四边形 PQBA 为矩形，
则 AP = BQ，
∴ y = 26－3y，
解得 y = 6.5.
即经过 6.5 s 时四边形 PQBA 是矩形．
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理