1.1第3课时菱形的性质、判定与其他知识的综合 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
1. 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些
相关问题，并掌握菱形面积的求法；(重点、难点)
2. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会
数形结合、转化等思想方法.
学习目标
1．平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 ．
2．菱形具有 的一切性质．
3．菱形是 图形也是 图形．
4．菱形的四条边都 ．
5．菱形的两条对角线互相 ．
平行且相等
相等
互相平分
平行四边形
轴对称
中心对称
相等
垂直且平分
复习引入
导入新课
菱形的面积
一
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE.
E
讲授新课
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·(BO + DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例1 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其
中对角线 BD 长 10 cm. 求：
(1) 对角线 AC 的长度；
(2) 菱形 ABCD 的面积.
解：(1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠AED = 90°，
(2) S菱形ABCD
∴ AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm).
D
B
C
A
E
菱形的面积计算有如下方法：
(1) 一边长与两对边的距离 (即菱形的高) 的积；
(2) 四个小直角三角形的面积之和 (或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
(3) 两条对角线长度乘积的一半．
归纳
例2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到 0.01 m 和 0.1 m2）.
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵ 花坛 ABCD 是菱形，
【变式题】如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2，周长是 8 cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
解：（1）∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC，AC⊥BD，AD∥BC.
∴∠ABC +∠BAD = 180°.
∵∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2，
∴∠ABC = ×180° = 60°.
∴ △ABC 是等边三角形，∠ABO = ∠ABC = 30°.
∵ 菱形 ABCD 的周长是 8 cm，∴ AB = 2 cm.
∴ OA = AB = 1 cm，AC = AB = 2 cm.
∴ BD = 2OB = cm .
= ×2× = （cm2）．
菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形求解，当菱形中有一个角是 60° 或 120° 时，菱形可被较短的对角线分为两个等边三角形.
归纳
（2）S菱形ABCD = AC BD
练一练
如图，已知菱形的两条对角线分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　）
A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm
B
菱形的判定与性质的综合问题
二
如图的两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？
做一做
平行四边形
如图的两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是什么图形？为什么？
菱形
A
C
D
B
分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等，
然后通过证△ABE≌△ADF，即可得 AB = AD.
E
F
例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.
(1) 求证：四边形 BCFE 是菱形；
证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且 BC＝2DE.
又∵ BE＝2DE，EF＝BE，
∴ EF＝BC，EF∥BC.
∴ 四边形 BCFE 是平行四边形.
又∵ EF＝BE，∴ 四边形 BCFE 是菱形.
解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°.
∴ △EBC是等边三角形.
∴ 菱形的边长为 4，高为 .
∴ 菱形的面积为 .
(2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出是菱形；如果只知道一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证明这个四边形是平行四边形．
归纳
练一练
如图，在 □ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ABCD 的周长.
解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD.
∵ AC 平分∠DAB，
∴∠DAC =∠BAC.
∴∠DAC =∠ACD.
∴ AD = CD.
∴ 四边形 ABCD 为菱形.
∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8.
1. 已知菱形的周长是 24 cm，那么它的边长是______.
2. 如图，菱形 ABCD 中∠BAD＝120°，
则∠BAC＝_____°.
6 cm
60
3. 如图，菱形的两条对角线长分别为 10 cm 和 24 cm，则菱形的边长
是（ ）
C
A. 10 cm B. 24 cm C. 13 cm D. 17 cm
A
B
C
D
O
当堂练习
4. 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
∴ S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30.
∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
而菱形两对边的距离相等，
∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h.
∴ 13h＝120，解得 h＝ .
A
B
C
D
O
5. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，OB = OD = BD = ×6 = 3.
在等腰△ABD 中，
∵∠BAD = 60°，
∴△ABD 是等边三角形.
∴ AB = BD = 6.
A
B
C
O
D
在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴ OA = = =
∴ AC = 2OA = .
A
B
C
O
D
证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得
AB = AF，∠BAE =∠FAE.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB.
∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE.
∴ BE = FA.
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形.
∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形.
6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF．
（1）求证：四边形 ABEF 为菱形；
（2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长．
解：∵ 四边形 ABEF 为菱形，
∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO．
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4，
∴ AE = 2AO = 8．
课堂小结
菱形的性质与判定的综合性问题
菱形的面积
综合运用
菱形面积 = 底×高
= 两条对角线乘积的一半