1.3第1课时正方形的性质 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
学习目标
1. 理解正方形的概念；
2. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形、正方形之间的联系和区别；(重点、
难点)
3. 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
（难点）
导入新课
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
情景引入
你还能举出其他的例子吗？
讲授新课
矩 形
||
||
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
问题引入
正方形的性质
正方形
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形的定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
归纳总结
(1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形，
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)，
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
证一证
(2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ 正方形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
对称性： ，
对称轴： .
轴对称图形
4 条
A
B
C
D
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等；
2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
归纳总结
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形
分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD
相交于点 O.
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等
腰直角三角形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC = BD，AC⊥BD，AO = BO = CO = DO.
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都
是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
典例精析
A
D
C
B
O
例2 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：
①∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴ BC = DC，∠BCE = 90°，
∴∠DCF = 180° -∠BCE = 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵ CE = CF，
A
B
D
C
F
E
∴ △BCE≌△DCF (SAS).
∴ BE = DF.
A
B
D
F
E
② 延长 BE 交 DE 于点 M.
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF = 90°，
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°，即 BE⊥DF.
综和①②可知，BE = DF，且 BE⊥DF.
C
M
例3 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形，
求证： ∠EAD =∠EDA = 15°.
证明：∵ △BEC 是等边三角形，
∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.
∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.
∴△ABE，△DCE 是等腰三角形.
∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.
∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°.
【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．
解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况．
【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足
AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC =∠DCB = 90°．
∵ PB = PC，
∴∠PBC =∠PCB．
∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB，
即∠ABP =∠DCP．
又∵ AB = DC，PB = PC，
∴△APB≌△DPC．
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC =∠DAC = 45°．
∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP．
又∵AP = AB = AD，
∴ DP = AP = AD，
即 △APD 是等边三角形．
∴∠DAP = 60°．
∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°，
∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°．
∴∠BAP = 2∠PAC．
（2）求证：∠BAP = 2∠PAC．
例4 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 试说明：AP = EF.
A
B
C
D
P
E
F
解：
连接 PC，AC.
又∵ PE⊥BC，PF⊥DC，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC.
∴ 四边形 PECF 是矩形.
∴ PC = EF.
∴ AP = PC.
∴ AP = EF.
在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导.
归纳
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角互补 D. 对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质 （ ）
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
B
D
练一练
3.如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA＝2，求该正方形的周长与面积．
解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得
∴ 该正方形的周长为 4AD＝ ，
面积为 AD2＝8.
2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是（　）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
A
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
当堂练习
3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °.
4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45
90
22.5°
第3题图
第4题图
45
5. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，
AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．
解：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC.
∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE.
在 Rt△ABC 中，
∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm．
课堂小结
1. 四个角都是直角
2. 四条边都相等
3. 对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形