2.5一元二次方程的根与系数的关系（2）课件（共23张PPT）

(共22张PPT)
学习目标
1. 探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
导入新课
复习引入
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式
Δ = b2 - 4ac.
当 Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ ＜ 0 时，方程无实数根.
讲授新课
探索一元二次方程的根与系数的关系
一
算一算 解下列方程并完成填空：
(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2
x2 + 3x - 4 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
2x2 + 3x + 1 = 0
-4
1
2
3
-1
x1 + x2 = -3
x1·x2 = -4
x1 + x2 = 5
x1·x2 = 6
将二次项系数化为 1
猜一猜
（1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
重要发现
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
猜一猜
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以得到什么结论？
证一证：
注：b2 - 4ac≥0
↗
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为
x1， x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系的应用
二
例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 – 6x – 15 = 0；
解： a = 1，b = – 6 ， c = – 15 .
Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 ＞ 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，那么
x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15 .
（2）3x2 + 7x - 9 = 0；
x1 + x2 = ， x1 x2 =
解： a = 3，b = 7， c = -9.
Δ = b2 4ac = 72 – 4×3×( 9 ) = 157 ＞ 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，
求它的另一个根及 k 的值.
解： 因方程有两个实数根，故 Δ = k + 120，则 k 是任意数.设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2.
所以 x1·x2 = 2x2 = ，即 x2 =
由于 x1 + x2 = 2 + = ，
解得 k = -7.
答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7.
变式：已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是
1，求它的另一个根及 m 的值.
解：因方程有两个实数根，故 Δ = 18 - 12m，
得 m≤27.设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 1.
因为 x1 + x2 = 1 + x2 = 6，
所以 x2 = 5 .
由于 x1·x2 = 1×5 = ，解得 m = 15.
答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15.
例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的
平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则
(1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ；
(3) ； (4) .
4
1
14
12
练一练
归纳
例4 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两
个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值.
解：因方程有两个实数根，故 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0，
即 -8k + 4≥0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2
= 2k2 - 8k + 4 = 4.
解得 k1 = 0，k2 = 4.
∵ ，∴ k = 0.
常见的代数式求值如下：
当堂练习
2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = .
1
-2
1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____.
___
-3
3. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0.
解得 m = 16.
设另一个根为 x1，则
1 · x1 =
∴ x1 =
4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0 的两个根，
且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. (1)求 k 的值；(2)求 (x1 - x2)2 的值.
(1)根据根与系数的关系，得
∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 =
解得 k = -7.
(2)∵ k = -7，∴
则
解：依题意有 Δ = (2k)2 - 8(k - 1)≥0，则 k 是任意实数.
5.设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与
系数之间的关系，求下列各式的值.
（1）(x1 + 1)(x2 + 1)； （2）
解：由根与系数的关系，得
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 =
（2）
6. 当 k 为何值时，方程 2x2 - kx + 1 = 0 的两根之差为 1？
解：设方程两根分别为 x1，x2 (x1 ＞ x2)，则 x1 - x2 = 1.
由方程有两个实数根，得 Δ = k2 - 8≥0，即 k2≥8
∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1，
拓展提升
由根与系数的关系，得
7.已知关于 x 的一元二次方程 mx2 - 2mx + m - 2 = 0.
（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；
（2）若方程两根 x1，x2 满足 |x1 - x2| = 1，求 m 的值.
解：（1）∵方程有实数根，
∴ Δ = (-2m)2 - 4m(m - 2)
= 4m2 - 4m2 + 8m
= 8m≥0.
∵ m ≠ 0
∴ m 的取值范围是 m＞0.
（2）由根与系数的关系得
解得 m = 8，符合题意.
∵ |x1 - x2| = 1，
课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系
内 容
如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 ，那么
应 用
……