2.6第1课时行程(或动点)问题及平均变化率问题 课件（共26张PPT）

(共25张PPT)
学习目标
1. 掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.（重点、难点）
2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题．（难点）
导入新课
问题引入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 80 分，第二次月考增长了 10％，第三次月考又增长了 10％，问他第三次数学成绩是多少？
例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n
mile 处有一目标 B，在 B 的正东方向 200 n mile 处有一重要目标 C.小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头，小岛 F 位于 BC 的中点.一艘军舰
沿 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一
艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向
匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
利用一元二次方程解决行程（动点）问题
一
东
北
A
B
C
D
F
(1)小岛 D 与小岛 F 相距多少海里
解：连接 DF.
∵AD = CD，BF = CF，
∴DF 是△ABC 的中位线.
∴DF∥AB，且 DF = AB，
∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile，
∴DF⊥BC，DF = 100 n mile.
东
北
A
B
C
D
F
解: 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么
DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile，
EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x) n mile.
在 Rt△DEF 中，根据勾股定理得方程
x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 即 3x2 - 1200x + 100000 = 0，
解方程得 (舍)，
(2)已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C
的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到 0.1 海里)？
东
北
A
B
C
D
F
E
如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后五边形 APQCD 的面积为 64 cm2？
A
B
C
D
Q
P
(6 - t)
2t
针对练习
解：设所需时间为 t s，根据题意，得
2t(6 - t)÷2 = 6×12 - 64.
整理得 t2 - 6t + 8 = 0.
解方程，得 t1 = 2，t2 = 4 .
答：在第 2 秒和第 4 秒是五边形面积是 64 cm2.
A
B
C
D
Q
P
(6 - t)
2t
填空：假设某种糖的成本为每斤 2 元，售价为 3 元时，可卖 100 斤.
(1)此时的利润 w = _____.
(2)若售价涨了 1 元，每斤利润为_____元，同时少买了 10 斤，销售量为_____斤，利润 w =_______.
(3)若售价涨了 2 元，每斤利润为_____元，同时少买了 20 斤，销售量为____斤，利润 w =_______.
100元
2
90
180 元
3
80
240 元
平均变化率问题与一元二次方程
二
合作探究
(4)若售价涨了 3 元，每斤利润为____元，
同时少买了 30 斤，销售量为____斤，
利润 w =______.
(5)若售价涨了 4 元，每斤利润为____元，
同时少买了 40 斤，销售量为____斤，
利润 w =_______.
(6)若售价涨了 x 元，每斤利润为______元，
同时少买了_____斤，销售量为___________斤，
利润 w =_____________________.
4
5
(1 + x)
70
60
(100 - 10x)
10x
280 元
300 元
(1 + x)×(100 - 10x) 元
涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润
3 + x
3 - 2 + x
10x
100 - 10x
w = (3 - 2 + x)×
(100 - 10x)
试一试：假设某种糖的成本每斤为 2 元，售价为 3元
时，可卖 100 斤.每涨 1 元，少卖 10 斤.设利润为 x 元，则总利润 w 为多少元（用含有 x 的式子表示出来）？
0
1
2
3
4
x
2
2
2
2
2
2
3
3 + 1
3 + 2
3 + 3
3 + 4
0
3 - 2
3 - 2 + 1
3 - 2 + 2
3 - 2 + 3
3 - 2 + 4
10×4
10×3
10×2
10×1
100
100 - 10×1
100 - 10×2
100 - 10×3
100 - 10×4
w = (3 - 2) ×100
w = (3 - 2 + 1)×
(100 - 10×1)
w = (3 - 2 + 3)×
(100 - 10×3)
w = (3 - 2 + 4)×
(100 - 10×4)
w = (3 - 2 + 2)×
(100 - 10×2）
每 涨 一 元
少 卖 十 斤
总利润
（售价-进价） × 销售量 = 总利润
单件利润
×
销售量
=
涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润
3 + x
3 - 2 + x
10x
100 - 10x
w = (3 - 2 + x)×
(100 - 10x)
0
1
2
3
4
x
2
2
2
2
2
2
3
3 + 1
3 + 2
3 + 3
3 + 4
0
3 - 2
3 - 2 + 1
3 - 2 + 2
3 - 2 + 3
3 - 2 + 4
10×4
10×3
10×2
10×1
100
100 - 10×1
100 - 10×2
100 - 10×3
100 - 10×4
w = (3 - 2) ×100
w = (3 - 2 + 1)×
(100 - 10×1)
w = (3 - 2 + 3)×
(100 - 10×3)
w = (3 - 2 + 4)×
(100 - 10×4)
w = (3 - 2 + 2)×
(100 - 10×2）
填空：
1. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1 吨甲种药品的成本是 元.
探究归纳
7％
4324.5
下降率=
下降前的量-下降后的量
下降前的量
×100％
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元.
下降率 x
第一次降低前的量
5000(1 - x)
第一次降低后的量
5000
下降率 x
第二次降低后的量
第二次降低前的量
5000(1 - x)(1 - x)
5000(1 - x)2
5000(1 - x)
5000(1 - x)2
例2 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率.
解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得
5 000 (1 - x)2 = 4050，
解方程，得
x1 = 0.1，x2 = 1.9.
根据问题的实际意义，取 x = 0.1，
即甲种药品成本的年平均下降率为 10％.
注意
下降率不可为负，且不大于1.
练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，
随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率.
解：设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意，列方程，得
6000(1 y)2 = 3600
解方程，得
y1≈0.225， y2≈1.775.
根据问题的实际意义，取 y≈0.225，
即甲种药品成本的年平均下降率为 22.5％.
注意
下降率不可为负，且不大于 1.
解后反思
答：不能.甲种药品成本的年平均下降额为（5000 - 3000）÷2 = 1000 元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000 - 3000）÷2 = 1200 元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大，但甲的年平均下降率大于乙．
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？
问题2 你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或下降)百分率为 x，增长(或下降)前的是 a，增长(或下降)n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n = b(其中增长取“＋”，下降取“－”).
变式1 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.
已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.
（精确到 0.1％）
解：设原价为 1，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解方程，得
答：每次降价的百分率为 29.3％.
变式2 某药品两次涨价，零售价涨为原来的 1.2 倍，
已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率.
（精确到 0.1％）
解：设原价为 a 元，每次升价的百分率为 x，
根据题意，得
解这个方程，得
∵涨价的百分率不可能是负数，
∴ (不合题意，舍去)
答：每次涨价的百分率为 9.5％.
例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为
200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少？
解：设平均增长率为 x. 根据题意，得
答：平均增长率为 50％.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950，
整理方程，得
4x2 + 12x - 7 = 0.
解得
x1 = 3.5(舍去)，x2 = 0.5 = 50％.
当堂练习
1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( )
A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720
C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500
2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元．若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为
.
B
2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8
3. 某村种的水稻前年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率.
解：设该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为 x.
根据题意，得 7200(1 + x)2 = 8712.
解得 x1 = -1.1 (不符合题意，舍去)，x2 = 0.1 = 10％.
答：该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为 10％.
能力提升
菜农大伟种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，大伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售.
（1）求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得
5(1 - x)2 = 3.2.
解得 x1 = 1.8 (舍去)，x2 = 0.2 = 20％.
∴平均每次下调的百分率为 20％.
（2）小华准备到大伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，
大伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元. 试问小华选择哪种方案优惠更多？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为 3.2×0.9×5000 = 14400 (元)，
方案二所需费用为 3.2×5000 - 200×5 = 15000 (元).
∵ 14400＜15000，
∴ 小华选择方案一购买优惠更多.
利用一元二
次方程
解决行程问题
列方程步骤：
应用类型
行程问题
平均变化率
问题
面积问题
动点问题
审
设
列
解
检
答
课堂小结