2.4用因式分解法求解一元二次方程（2）课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
学习目标
1. 理解用因式分解解方程的依据.
2. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
导入新课
情境引入
我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解．你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？
讲授新课
因式分解法解一元二次方程
一
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度为 (10x - 4.9x2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 (精确到 0.01 s)
分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即
10x - 4.9x2 = 0. ①
解：
解：
∵ a = 4.9，b = -10，c = 0，
∴ b2－4ac = (-10)2 - 4×4.9×0
=100.
公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0
因式分解
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 - 4.9x = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是更简单？
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
x = 0
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，就可以用前面的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移— —使方程的右边为 0；
二分— —将方程的左边因式分解；
三化— —将方程化为两个一元一次方程；
四解— —写出方程的两个解.
简记歌诀：
右化零，左分解；
两因式，各求解.
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 2) = 0；
(1) x1 = 0，x2 = 2.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
(2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0；
(3) x1 = -2，x2 = 2.
(4) m2 = m.
(4) m1 = 0，m2 = 1.
例1 解下列方程：
解：(1)因式分解，得
∴ x - 2 = 0 或 x＋1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1.
(2) 移项、合并同类项，得
因式分解，得
(2x＋1)(2x - 1) = 0.
解得
∴ 2x＋1 = 0 或 2x - 1 = 0.
(x - 2)(x＋1) = 0.
典例精析
灵活选用适当的方法解方程
二
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边含公因式，
所以用因式分解法解答较快.
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
解得
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解：开平方，得
5x + 1 = ±1.
解得 x1 = 0，x2 =
(3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1.
分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快.
解：配方，得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62，
即 (x - 6)2 = 40.
开平方，得
解得 x1 = ，
x2 =
分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，则用公式法.
解：整理成一般形式，得
3x2 - 4x - 1 = 0.
∵Δ = b2 - 4ac = 28 > 0，
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.
拓展提升
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0，a ≠ 0)，应选用直接开平方法；
2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0，a ≠ 0)，应选用因式分解法；
3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0，a ≠ 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法.此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
要点归纳
一元二次方程的解法选择基本思路
1. 填空：
① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0；
④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8；
⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2).
最适合运用直接开平方法： ；
最适合运用因式分解法： ；
最适合运用公式法： ；
最适合运用配方法： .
当堂练习
⑥
①
③
⑤
⑦
⑧
⑨
②
④
2. 解方程：x2 - 3x - 10 = 18. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？请指出并改正过来.
解：原方程化为 (x - 5)(x + 2) = 18. ①
由 x - 5 = 3，得 x = 8； ②
由 x + 2 = 6，得 x = 4. ③
∴ 原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. ④
3. 解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，解得 x1 = ，x2 = .
x2 + x - 2 = 0
-2
1
解：原方程化为
x2 - 3x - 28 = 0，
(x - 7)(x + 4) = 0，
x1 = 7，x2 = -4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
解：因式分解，得
(2x + 11)( 2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0，
4.解方程：
解得
5. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为 r，
根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
解得 .
课堂小结
因式分解
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b)；
a2±2ab + b2 = (a±b)2；
a2 - b2 = (a + b)(a - b).