2.4用因式分解法求解一元二次方程(2)课件(共17张PPT)

文档属性

名称 2.4用因式分解法求解一元二次方程(2)课件(共17张PPT)
格式 ppt
文件大小 594.0KB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2025-05-24 15:22:26

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文档简介

(共17张PPT)
学习目标
1. 理解用因式分解解方程的依据.
2. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重点)
3. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.(难点)
导入新课
情境引入
我们知道,若 ab = 0,则 a = 0 或 b = 0.类似地,解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时,可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解.你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0 的解吗?
讲授新课
因式分解法解一元二次方程

引例:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛,那么经过 x s 物体离地面的高度为 (10x - 4.9x2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 (精确到 0.01 s)
分析:设物体经过 x s 落回地面,这时它离地面的高度为 0 m,即
10x - 4.9x2 = 0. ①
解:
解:
∵ a = 4.9,b = -10,c = 0,
∴ b2-4ac = (-10)2 - 4×4.9×0
=100.
公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0
因式分解
如果 a · b = 0,
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0,说明什么?
或 10 - 4.9x = 0
降次,化为两个一次方程
解两个一次方程,得出原方程的根
这种解法是不是更简单?
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
x = 0
当一元二次方程的一边为 0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,就可以用前面的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移— —使方程的右边为 0;
二分— —将方程的左边因式分解;
三化— —将方程化为两个一元一次方程;
四解— —写出方程的两个解.
简记歌诀:
右化零,左分解;
两因式,各求解.
试一试:下列各方程的根分别是多少?
(1) x(x - 2) = 0;
(1) x1 = 0,x2 = 2.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0;
(2) y1 = -2,y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0;
(3) x1 = -2,x2 = 2.
(4) m2 = m.
(4) m1 = 0,m2 = 1.
例1 解下列方程:
解:(1)因式分解,得
∴ x - 2 = 0 或 x+1 = 0.
解得 x1 = 2,x2 = -1.
(2) 移项、合并同类项,得
因式分解,得
(2x+1)(2x - 1) = 0.
解得
∴ 2x+1 = 0 或 2x - 1 = 0.
(x - 2)(x+1) = 0.
典例精析
灵活选用适当的方法解方程

例2 用适当的方法解方程:
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5); (2) (5x + 1)2 = 1;
分析:该式左右两边含公因式,
所以用因式分解法解答较快.
解:变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
解得
分析:方程一边以平方形式出现,另一边是常数,可用直接开平方法.
解:开平方,得
5x + 1 = ±1.
解得 x1 = 0,x2 =
(3) x2 - 12x = 4; (4) 3x2 = 4x + 1.
分析:二次项系数为 1,可用配方法解较快.
解:配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
解得 x1 = ,
x2 =
分析:二次项系数不为 1,且不能直接开平方,也不能直接分解因式,则用公式法.
解:整理成一般形式,得
3x2 - 4x - 1 = 0.
∵Δ = b2 - 4ac = 28 > 0,
填一填:一元二次方程的各种解法及适用类型.
拓展提升
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0,n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0,b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
1. 一般地,当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0,a ≠ 0),应选用直接开平方法;
2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0,a ≠ 0),应选用因式分解法;
3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0,a ≠ 0) 后,若一次项系数和常数项都不为 0,先看左边是否容易因式分解,若容易,宜选用因式分解法,否则就选用公式法或配方法.此时若二次项系数为 1,且一次项系数为偶数,则可选用配方法;否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
要点归纳
一元二次方程的解法选择基本思路
1. 填空:
① x2 - 3x + 1 = 0; ② 3x2 - 1 = 0; ③ -3t2 + t = 0;
④ x2 - 4x = 2; ⑤ 2x2 = x; ⑥ 5(m + 2)2 = 8;
⑦ 3y2 - y - 1 = 0; ⑧ 2x2 + 4x = 1; ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2).
最适合运用直接开平方法: ;
最适合运用因式分解法: ;
最适合运用公式法: ;
最适合运用配方法: .
当堂练习









2. 解方程:x2 - 3x - 10 = 18. 下面的解法正确吗?如果不正确,错误在哪?请指出并改正过来.
解:原方程化为 (x - 5)(x + 2) = 18. ①
由 x - 5 = 3,得 x = 8; ②
由 x + 2 = 6,得 x = 4. ③
∴ 原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. ④
3. 解方程 x(x + 1) = 2 时,要先把方程化为 ;
再选择适当的方法求解,解得 x1 = ,x2 = .
x2 + x - 2 = 0
-2
1
解:原方程化为
x2 - 3x - 28 = 0,
(x - 7)(x + 4) = 0,
x1 = 7,x2 = -4.
解:化为一般式为
因式分解,得
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
解:因式分解,得
(2x + 11)( 2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0,
4.解方程:
解得
5. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为 r,
根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2.
因式分解,得
于是得
答:小圆形场地的半径是
解得 .
课堂小结
因式分解
概念
步骤
简记歌诀:
右化零,左分解;两因式,各求解
如果 a ·b = 0,那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解,使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b);
a2±2ab + b2 = (a±b)2;
a2 - b2 = (a + b)(a - b).