2.3用公式法求解一元二次方程 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
知识点
用公式法解一元二次方程
1
2. 公式法
(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
(2)用求根公式解一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化成一般形式；
②确定a，b，c 的值；
③求出b2－4ac 的值；
④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解，若b2－4ac ＜ 0，则方程无实数解.
特别提醒：
1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法.
2.只有当方程ax2+bx+c=0中的a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式.
例 1
解题秘方：按照用求根公式解一元二次方程的步骤求解.
求b2-4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号.
B
1-2. 用公式法解下列方程 ：
(1)y2－2y－2=0；
(2)3x2－2x=4；
(3)x2+6=2(x+1)；
解：原方程可化为x2－2x＋4＝0.
a＝1，b＝－2，c＝4，
b2－4ac＝－12<0，
方程无实数根．
知识点
一元二次方程根的判别式
2
1. 定义 一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的情况可由b2－4ac 来判定. 我们把b2－4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac.
特别提醒：
确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0.
2. 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，
(1)Δ>0 方程有两个不相等的实数根.
(2)Δ=0 方程有两个相等的实数根.
(3)Δ<0 方程没有实数根.
对于任意实数k，关于x 的方程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根 D. 无法判断
例2
解题秘方：由根的判别式的正负性及是否为0判断根的情况.
解：∵ a=1，b=－2(k+1)，c=－k2+2k－1，
∴Δ =b2－4ac=［－2(k+1)］2－4×1×(－k2+2k－1)=8+8k2>0.
∴方程有两个不等的实数根.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出Δ=b2-4ac后，再对含字母的代数式进行分析，从而确定根的情况
答案：C
2-1. [中考·河南]一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
A
2-2. [中考· 通辽]关于x 的一元二次方程x2 －(k－3)x－k+1=0的根的情况，下列说法正确的是(　　)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定
A
[中考·凉山州]关于x 的一元二次方程(m－2)x2+2x+
1=0有实数根，则m 的取值范围是( )
A. m ≤ 3 B. m ＜ 3
C. m ＜ 3 且m ≠ 2 D. m ≤ 3 且m ≠ 2
例 3
解题秘方：紧扣根的判别式与根的情况的关系进行解答.
解：∵方程为一元二次方程，∴ m－2 ≠ 0，即m ≠ 2.
∵一元二次方程有实数根，
∴Δ ≥ 0，即4－4(m－2)≥ 0. ∴ m ≤ 3.
∴ m ≤ 3 且m ≠ 2.
答案：D
3-1. [中考·台州] 关于x的方程x2 － 4x+m=0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )
A. m>2 B. m<2
C. m>4 D. m<4
D
3-2. [中考·云南] 若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A. a<1 B. a ≤ 1
C. a ≤ 1 且a ≠ 0 D. a<1 且a ≠ 0
D
将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝
的长度为周长做成正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
例4
解题秘方：紧扣根的判别式，判断实际问题中一元二次方程根的情况.
(2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2 吗？若可能，分别求出两段铁丝的长度；若不可能，请说明理由.
解题秘方：紧扣根的判别式，判断实际问题中一元二次方程根的情况.
4-1. 学校为了美化校园环境，计划在一 块长为40 m， 宽为20 m 的矩形空地上新建一个长为9 m，宽为7 m 的矩形花圃.
(1)若要在这块空地上设计一个矩形花圃， 使它的面积比学校计划的面积多1 m2. 请给出你认为合适的三种不同的设计方案；
解：学校计划新建的花圃的面积为9×7＝63(m2)，比它多1 m2的矩形面积为64 m2.因此，可设计以下方案：
方案一：长和宽都为8 m；
方案二：长为10 m，宽为6.4 m；
方案三：长为20 m，宽为3.2 m.
答案不唯一，但要注意矩形空地的实际大小．
(2)在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下, 矩形花圃的面积能否增加2 m2 ？如果能，请求出矩形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
解：不能．理由如下：
假设在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积能增加2m2.计划新建的矩形花圃的周长为2×(9＋7)＝32(m)．设面积增加后的矩形花圃的长为x m，则宽为(16－x)m.
根据题意，得x(16－x)＝9×7＋2.整理，得x2－16x＋65＝0.
∵b2－4ac＝(－16)2－4×1×65＝－4<0，∴此方程没有实数根．
∴假设不成立，即在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积不能增加2 m2.
用公式法求解一元二次方程
用公式法
解方程
关键
根的判别式
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根