2.2第1课时直接开平方法与配方法(1) 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
1. 会用直接开平方法解形如 (x + m)2＝n (n＞0)的方程.（重点）
2. 理解配方法的基本思路.（难点）
3. 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程.
（重点）
学习目标
1. 如果 x2 = a，那么 x 叫做 a 的 .
导入新课
复习引入
平方根
2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = .
3. 如果 x2 = 64，那么 x = .
±8
4. 任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
讲授新课
直接开平方法
一
问题：一桶油漆可以刷 1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程
10×6x2 = 1500，
即 x2 = 25．
根据平方根的意义得 x = ±5，
即 x1 = 5，x2 = －5．
∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm．
试一试：
解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.
(1) x2 = 4；
(2) x2 = 0；
(3) x2 + 1 = 0.
解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2.
解：移项，得 x2 = -1．
∵ 负数没有平方根，
∴ 原方程无解.
解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0.
(2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3) 当 n ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根.
探究归纳
一般的，对于可化为 x2 = n (I) 的方程，
(1) 当 n ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ；
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
归纳
例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2 = 6；
(2) x2 - 900 = 0.
解：
直接开平方，得
解：移项，得
x2 = 900.
直接开平方，得
x = ± 30，
∴ x1 = 30，x2 = -30.
典例精析
方法点拨：通过移项把方程化为 x2 = n 的形式，然后直接开平方即可求解．
在解方程(I)时，由方程 x2 = 25 得 x = ±5.由此想到:
(x + 3)2 = 5 ， ②
得
对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5
探究交流
于是，方程 (x + 3)2 = 5 的两个根为
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
解题归纳
例2 解下列方程：
（1）(x＋1)2 = 2 ；
解析：第 1 小题中只要将 (x＋1) 看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
即 x1 = 1+
，x2 = 1
解： ∵x + 1 是 2 的平方根，
∴x + 1 =
解析：第 2 小题先将－4 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解.
（2）(x 1)2 4 = 0；
即 x1 = 3，x2 = 1.
解： 移项，得 (x 1)2 = 4.
∵x 1 是 4 的平方根，
∴x 1 = ±2，
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x＋m)2 = n (n≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
探讨交流
不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0.
配方的方法
二
问题1.下列完全平方公式你还记得吗？试着填一填.
(1) a2 + 2ab + b2 = ( )2；
(2) a2 - 2ab + b2 = ( )2.
a + b
a - b
探究交流
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2 + 4x + = ( x + )2；
（2）x2 6x + = ( x )2；
（3）x2 + 8x + = ( x + )2；
（4）
x2 x + = ( x )2.
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
填一填
对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式.
二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
填一填：
x2 + px + ( )2 = ( x + )2
配方的方法
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
三
探究交流
解方程：x2 + 6x + 4 = 0. (1)
问题1 方程 (1) 怎样变成 (x + n)2 = p 的形式呢？
解：
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
移项
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
两边都加上 9
二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方 — — 注意是在二次项系数为 1 的前提下进行的.
问题2 为什么在方程 x2 + 6x = -4 的两边加上 9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式 x2 + 2mx + m2 的形式.
一元二次方程配方的方法：
要点归纳
通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把一元二次方程化为 (x + m)2 = n 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．
例3 解方程 x2 + 8x - 9 = 0
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9 ，
两边都加 42（一次项系数 8 的一半的平方），得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42，
即 (x + 4)2 = 25 .
两边开平方，得
x + 4 = ± 5 ，
即 x + 4 = 5 或 x + 4 = -5.
所以 x1 = 1 ， x2 = -9.
试一试：解方程 x2 + 12x - 15 = 0 .
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 12x = 15 ，
两边都加 62（一次项系数 12 的一半的平方），得
x2 + 12x + 62 = 15 + 62，
即 (x + 6)2 = 51 .
两边开平方，得
x + 6 = ，
即 x + 6 = 或 x + 6 = .
所以 x1 = ， x2 = .
当堂练习
C. 解方程 4(x - 1)2 = 9，得 4(x - 1) =±3，x1 = ，
x2 =
D. 解方程 (2x + 3)2 = 25，得 2x + 3 =±5，x1 = 1， x2 = -4
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
A. 解方程 x2 = -2，得 x =±
B. 解方程 (x - 2)2 = 4，得 x - 2 = 2，x = 4
D
(1)方程 x2 = 0.25 的根是 .
(2)方程 2x2 = 18 的根是 .
(3)方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 .
3. 解下列方程：
(1) x2 - 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2＝4.
x1＝0.5，x2＝-0.5
x1＝3，x2＝-3
x1＝2，x2＝-1
2.填空:
x1＝9，x2＝-9.
x1＝5，x2＝-5.
x1＝1，x2＝-3.
4.(请你当小老师)下面是小李同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗？如果有错，指出具体位置并帮他改正.
①
②
③
④
解：
解：不对，从②开始错，应改为
解：
方程的两根为
5.解下列方程：
解： 移项，得
x2 - 8x= - 1，
配方，得
x2 - 8x + 42 = - 1 + 42 ，
( x - 4)2 = 15.
由此可得
即
解方程：
挑战自我
解：
∴方程的两根为
或
用配方法解
一元二次方程
直接开平方法：
基本思路：
解二次项系数为 1 的一元二次方程步骤
形如 (x + m)2 = n (n≥0)
将方程转化为(x + m)2 = n
(n≥0)的形式，在用直接开平
方法，直接求根.
1.移项
3.直接开平方求解
2.配方
课堂小结