2.3第1课时用公式法求解一元二次方程 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
学习目标
1. 经历求根公式的推导过程.（难点）
2. 会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）
3. 理解并会求一元二次方程根的判别式.
4. 会用判别式判断一元二次方程根的情况.
导入新课
复习引入
1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0
一、移常数项；
二、配方[配上 ]；
三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四、直接开平方法解方程.
解：x2 + 2x = ，即 (x + 1)2 = .
问题：老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
讲授新课
求根公式的推导
一
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：
ax2 + bx + c = 0.(a ≠ 0)
是否也能用配方法得出它的解呢？
合作探究
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
方程两边都除以 a，得
解：
移项，得
配方，得
即
问题：接下来能用直接开平方解吗？
一元二次方程的求根公式
特别提醒
∵ a ≠ 0，4a2 ＞ 0，
∴ 当 b2 - 4ac≥0 时，
当 b2 - 4ac＜0 时，
而 x 取任何实数都不能使上式成立，
∴ 此时方程无实数根.
归纳
由上可知，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为 ax2 + bx + c = 0 的一般形式，当 b2 - 4ac≥0 时，将 a，b，c 代入式子
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)；
2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算.
注意
求根公式：
视频：求根公式的趣味记忆
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公式法解方程
二
例1 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0.
解：
∴ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 ＞ 0.
典例精析
例2 解方程：
化为一般式：
解：
即
这里 a、b、c 的值分别是什么？
例3 解方程： （精确到 0.001）.
解：
用计算器求得：
例4 解方程：4x2 - 3x + 2 = 0.
∵ 在实数范围内负数不能开平方，
∴ 方程无实数根.
解：
要点归纳
公式法解方程的一般步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 - 4ac 的值；
4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解；
若 b2 - 4ac＜ 0，则方程没有实数根.
两个不等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的根的情况可由 b2 4ac 来判定，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的根的判别式.通常用希腊字母“Δ”表示.
Δ ＞ 0
Δ = 0
Δ ＜ 0
Δ ≥ 0
一元二次方程根的判别式
三
按要求完成下列表格：
练一练
的值
0
4
根的
情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不等的实数根
Δ
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定 a，b，c 的值.
要点归纳
根的判别式使用方法
2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号.
例5 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0.∵b2 - 4ac = 1-4×1×(-1) = 5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选 B.
B
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).
b2 - 4ac ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac ＜ 0 时，方程无实数根.
例6 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )
A. k＞-1 B. k＞-1且 k ≠ 0
C. k＜1 D. k＜1且 k ≠ 0
解析：由题知，方程有两个不相等的实数根，则 b2 - 4ac＞0，同时要求二次项系数不为 0，即 ，k ≠ 0.解得 k＞-1且 k ≠ 0，故选 B.
B
例7 不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1).
解：(1)3x2 + 4x－3 = 0，a = 3，b = 4，c = －3，
∴b2－4ac = 32－4×3×(－3) = 52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)方程化为：4x2－12x+9 = 0，
∴b2－4ac = (－12)2－4×4×9 = 0.
∴方程有两个相等的实数根．
(3) 7y = 5(y2 + 1).
解：(3)方程化为：5y2－7y + 5 = 0，
∴b2－4ac = (－7)2－4×5×5 = －51＜0.
∴方程无实数根．
1. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.
解：这里 a = 1，b = 7， c = -18.
∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 ＞ 0，
∴
即 x1 = -9，x2 = 2 .
当堂练习
2. 解方程 (x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0.
这里 a = 3，b = - 7，c = 8，
∴ b2 - 4ac = ( - 7 )2 - 4×3×8 = 49 - 96
= - 47 ＜ 0.
∴ 原方程没有实数根.
3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0.
解： 这里 a = 2，b = ，c = 3.
∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 ＞ 0 ,
∴
∴ x1 = ，x2 =
4.关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 .
注意：一元二次方程有两个实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解：
∴m≤1.
∵ b2 - 4ac = ( - 2)2 - 4×1×m = 4 - 4m≥0.
5.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2 + 3x 4 = 0； （2）x2 x + = 0；
解：（1）2x2 + 3x 4 = 0，a = 2，b = 3，c = 4，
∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0.
∴方程有两个不等的实数根．
（2）x2 x + = 0，a = 1，b = 1，c = ，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1× = 0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2 x + 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∴Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1×1 = 3 ＜ 0.
∴方程无实数根．
（3） x2 x + 1 = 0.
6.不解方程，判断关于 x 的方程
的根的情况.
解：
∴方程有两个实数根．
Δ ＝( k )2 4×1×k2 = 4k2.
∵k2 ≥ 0，
∴4k2 ≥ 0，
即 Δ ≥ 0.
能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：因为关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 b = 0 有两个相等的实数根，
所以 Δ = (b + 2)2 4(6 b) = b2 + 8b 20 = 0.
解得 b1= 10（舍去），b2 = 2.
由三角形的三边关系，得 c = 5.
所以△ABC 的三边长为 5，2，5，其周长为 5 + 2 + 5 = 12.
课堂小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
务必将方程化为一般形式
根的判别式 b2 - 4ac