2.1第2课时一元二次方程的解及其估算 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
1. 理解方程的解的概念.
2. 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)
3. 会估算一元二次方程的解.（难点）
学习目标
问1：一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数；
②未知数的最高次数是 2； ③整式方程
导入新课
问2：一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数， a ≠ 0)
复习引入
一元二次方程的根
一
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
解：
3 和 -2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个解(根).
讲授新课
例4 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想 — — 求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.
2.已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0，
即 4a = -9.
1.已知方程 5x + mx - 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的值为
练一练
_______．
一元二次方程解的估算
二
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度 x 满足方程(8 - 2x)(5 - 2x) = 18，你能求出这个宽度吗？
(1) x 可能小于 0 吗？说说你的理由．
(2) x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？
说说你的理由.
不能，因为 x 代表宽度，小于 0不符合实际.
（3）完成下表：
x 0 0.5 1 1.5 2
(8 - 2x)(5 - 2x)
（4）你知道地毯花边的宽 x (m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．
4
10
18
28
40
(1) 小明认为底端也滑动了 1 m，他的
说法正确吗？为什么？
(2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？
可能是 3 m 吗？为什么？
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 x2 + 12x - 15 = 0.
10 m
8 m
1 m
x m
你能猜出滑动距离 x 的大致范围吗？
下面是小亮的求解过程：
x 0 0.5 1 1.5 2 …
x2 + 12x - 15 - 15 - 8.75 - 2 5.25 13 …
可知 x 取值的大致范围是:1＜x＜1.5.
进一步计算：
故 1.1＜x＜1.2，因此 x 整数部分是 1，十分位部分是 1．
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数 x 的取值范围内排除一部分取值；
②根据题意所列的具体情况再次进行排除；
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想
归纳总结
例2 一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必需在距水面 5 m 以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间 t (s) 和运动员距水面的高度 h (m) 满足关系: h＝10＋2.5t－5t2. 那么他最多有多长时间完成规定动作？
5 ＝ 10＋2.5t－5t2.
2t2－t－2 ＝ 0.
即
解：根据题意得
列表如下：
由此看出，可以使 2t2 - t - 2 的值为 0 的 t 的范围是1.2＜t＜1.3 .故可知运动员完成规定动作最多有 1.3 s.
t … 1.1 1.2 1.3 1.4 …
2t2 - t - 2 … …
-0.68 -0.32 0.08 0.52
t … 0 1 2 3 …
2t2 - t - 2 … …
所以 1＜t＜2.进一步列表如下：
-2 -1 4 13
1.请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的正数根（精确到 0.1）.
解：（1）列表.依次取 x = 0，1，2，3…
由上表可发现，当 2＜x＜3 时，-1＜ x2 - 2x -1 ＜2；
x 0 1 2 3 …
x2 - 2x - 1 -1 -2 -1 2 …
当堂练习
（2）继续列表，依次取 x = 2.1，2.2，2.3，2.4，2.5…
由表发现，当 2.4＜x＜2.5 时，- 0.04＜x2 - 2x - 1＜0.25；
（3）取 x = 2.45，则 x2 - 2x - 1 ≈ 0.1025.
∴2.4＜x＜2.45.
∴x ≈ 2.4.
x 2.2 2.3 2.4 2.5 …
x2 - 2x - 1 - 0.79 - 0.31 - 0.04 0.25 …
2.根据题意，列出方程，并估算方程的解：
一面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为 x m，则长为(x + 2) m ，根据题意得：
x·(x + 2) = 120.
即 x2 + 2x - 120 = 0.
120 m2
(x + 2) m
x m
根据题意 x 的取值范围大致是 0＜x＜11.
由上可知，x 的取值范围大致是 0＜x＜11.
解方程 x2 + 2x - 120 = 0.
完成下表(在 0＜x＜11这个范围内取值计算，逐步逼近):
x … …
x2 + 2x – 120 … …
8 9 10 11
-40 -21 0 23
所以 x = 10.因此这苗圃的长是 12 米，宽是 10 米.
3.若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0
有一个根为 0，求 m 的值.
二次项系数不为零不容忽视
解：将 x = 0 代入方程 m2 - 4 = 0，
解得 m = ±2.
∵ m + 2 ≠ 0，
∴ m ≠ -2.
综上所述：m = 2.
拓广探索
已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)一个根为 1，求 a + b + c 的值.
解：由题意得
即
思考 1.若 a + b + c = 0，你能通过观察，求出方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的一个根吗
解：由题意得
∴方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根是 1.
2. 若 a - b + c = 0，4a + 2b + c = 0 ，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗
x = 2或 x = -1（写出一个即可）.
解一元二次方程
（“两边夹”方法）
确定其解的大致范围
列表、计算
进行两边“夹”
……
求得近似解
课堂小结